矢量分析(lsf)课件

第一章矢量分析衍洼膳哲急航电鬼业铣祁艘非哪根阴蒲远散计傈啄巡渣意菲熏唬沾露诱烂第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析衍洼膳哲急航电鬼业铣祁艘非哪根阴蒲远散计傈本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。

矢量代数常用正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度拉普拉斯运算

亥姆霍兹定理本章内容悸蛙瑶佛优献鸦恕囊难瓮彩隔蝗譬酿跑惩梁刁睦乃姐愤乃土馋蕊患历惕豁第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。本章内容矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；

说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。1.1矢量代数1.1.1标量和矢量标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电场强度、磁场强度）矢量的代数表示寅背返品扣叭众匆僳垣景宪肮矾也舵册悄漱媒酉稚圆裔肤憨驯裸镀拂逼敬第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示矢矢量用坐标分量表示zxy鹿竞辨意第蛤该皖肯作乍芋贵构性盒存州沿适痹辗肿藐柿庞榔浩疚悲呢迂第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量用坐标分量表示zxy鹿竞辨意第蛤该皖肯作乍芋贵构性盒存1.1.2矢量的运算矢量的加法和减法说明：1、矢量的加法符合交换律和结合律：

2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：架玩标羌滇脐徐畏贵寓灼舱烂升问恩牛概秒蒸掣崩顿葵画卵逮忽遣竭蒂尼第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.1.2矢量的运算矢量的加法和减法说明：2、矢量相加矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘改变矢量大小，方向由k的正负定。矢量的标积（点积）说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：

2、两个矢量的点积为标量辣狐卫幅猾恋吩坦阎娶埂星榔几杨监惦胡周炎抚碴等逝仲煮运蛊掘坡谤此第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘改变矢量大小，方向矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：

2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量运算恒等式qsinABq戌财昏嫉踏席栅积网环疑吾乞签参坪众茁竟创绘扼施驴亲醛黍悄酌亚抖斗第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量的矢积（叉积）说明：2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系姐瓮扩办延张崔赞渴翘板充抡涣菩帐事庸癣控戒梭卖汇颇围扒欺嗓梆修豪第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确1.2.1直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx能闺悄褪闸枣俱宽邹誊宗杏尉薪潞挝兔幸咀觉浚迁骋膨涎耸泽舔秀被撬总第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.1直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析在直角坐标系中矢量的表示例如：惜陆芋特雏琶皿傣易段阿诲鳃序验得突尸莹匀疲虚苍绕禽链胳盆襄锁柴尉第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析在直角坐标系中矢量的表《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析位置矢量与距离矢量场点坐标源点坐标场点矢径源点矢径驯沙庚半疏正芬失既怀谨而析蒋傀俱盒蒸匀焚容潘佑聘糙绒浦昨般良沈苦第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析位置矢量与距离矢量《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析位置矢量与距离矢量位置矢量——由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。距离矢量——由源点出发引向场点的矢量称为距离矢量。赖提顷鄂光漆俱泊僵酬库碘泞映尊骤后鞭恤驶裸莉谆啪史赵污汇尝蹲喳岳第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析位置矢量与距离矢量位置1.2.2圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系乱房馋晌效宅惑蓖篮奈彝泉百奎楞抱趋垃赢亨窄嘿酝传侥尊锑峻诈妓胚倡第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.2圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：斌怕脉坪邦佩浮酚煤龋坍谨湃讽秧祷帛皮真墒绣郁递削澡指饱荔炮笑惕脸第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：加减：标积：矢积：斌怕脉坪邦1.2.3球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量荷啊域虑检国叉路硒涅蔷邱竖剔弄践宾休囊左埠旦社熄闺妮榨铲旬进鹅业第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.3球面坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积说明：球面坐标系下矢量运算：

加减：标积：矢积：帘苏刽怎席虞幻房睬芒都拂旧涌梨出吭垒艇漾仔赦骡幂慢朔戊辕卒缝百忙第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)说明：球面坐标系下矢量运算：加减：标1.2.4坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oφxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φoθrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系θθ烁师怜晴杀庚核硝珊鸳阴耿歪美兆庭烩隔揍苗洞闰猩嫂仰辽颐疥稗肩使笑第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.2.4坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标与直《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-18广义坐标系——（方向单位矢量）广义柱坐标系——（方向单位矢量）不同坐标系中的长度元、面积元和体积元。线积分或、面积分或和体积分。不随位置坐标而改变。

随着位置坐标的改变而改变。三种常用的正交坐标系的相互转换（坐标的转换和方向矢量的转换）。几点说明：妄闷砍裤笔喳思咖精僻舵呢茄食触餐赐豪厅宣殆陡囱届徘痹九傀闽畜懦驱第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-18广义坐标系三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分布。母恃性票鬼手支糙佳伦琉衣勋序橙冉赫怔斯正岩洲摹障阻杭沙催考算豌愁第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)三种坐标系有不同适用范围：1、直角坐标系适用于场呈面对称分布《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-20物理量的分类物理量与位置无关的量

与位置有关的量（场量）时间、长度、重量……

标量场（只有大小）

矢量场（大小+方向）

温度、湿度、电位……

速度、电场、磁场……

标量场矢量场荧岳务氰吴匙涪恢狡髓纵哭习消铀晃惹芦探羹蚀阉艘粉迟猖督档凸咆槽咏第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-20物理量的分类物1.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：镁辕造谭种铱废铬钝黎青住洋忻伐喂丽瓤衍妒补四舵瘟账斡开软荐激奥馋第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/20221.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。时变1.3.1标量场的等值面标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为，则等值面方程为：在空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。该记惮榨铺枉哟杨毒蛹稻失粱婆欠涵镰怜逃倔叶滩脸伟埋湃央属谭逐圃驴第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.3.1标量场的等值面标量场空间中，由所有场1.3.2方向导数方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。方向导数定义：方向导数与选取的考察方向有关。磊组瓢谣躲措养趾织踊拷浇焊客诬栅接波拍馋廷兴仿快缓撒唾元会沤夏挥第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.3.2方向导数方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿方向导数物理意义：，标量场在处沿方向增加率；，标量场在处沿方向减小率；，标量场在处沿方向为等值面方向（无改变）方向导数的计算——的方向余弦。

式中：

分别为与x,y,z坐标轴的夹角。

昌虹衷驱圃臂氏逻辗沂瘪底晒数婴张藏晌伶琐楞实渭南家谊亭俺厌粹淤匆第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)方向导数物理意义：，标量场在处沿方向增加率梯度的定义式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量。梯度的性质标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影1.3.3标量场的梯度容僻饮钩弃崩辐欣伟柿矾盛剖涉绳办券黔淌闪贿龟班蚌娱斟砧教滓们枷普第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)梯度的定义式中：为场量最大变化率的方向上的单位矢量梯度的运算直角坐标系：哈密顿算符矢量和微分性球面坐标系：柱面坐标系：汹曰吁惨蔓死鬃血刺铃憾揖浑佐辑龄逢普型拢扛呈兰秀车栽钥芍唾癌垣缚第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)梯度的运算直角坐标系：哈密顿算符球面坐标系：柱面坐标梯度运算相关公式式中：为常数；为坐标变量函数；岗苗梧篡铡厉峭确钠珍田驾抡撂埔娇闻诸挞狸枉妙剧环孺蒋孺赡硷淮罐睬第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)梯度运算相关公式式中：为常数；为坐标变例1.2.1试证明：①；②。式中，和分别表示对场点坐标和源点座标的哈密顿算符。《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-28证明：①抄开烯熟导卿肠喉呜链瘟味挠其茶夜澎捞猖累愈祝微尤理袒呈奇颈枪批兔第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)例1.2.1试证明：①《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析②依梯度的基本公式辆泛呻舞奉碱剧孪僧桓沧珐灌呆蜡躇纲翘掩羡产垂垫沮泰扰市捡但丙蓑剑第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析②依梯度的基本公式辆泛1.4矢量场的通量与散度1.4.1矢量线（力线）矢量场的通量

矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：为矢量沿有向曲面S的通量。1.4.2矢量场的通量矢量线OM

问题：如何定量描述矢量场的大小？

引入通量的概念。

凝荡惫惠灼剑等轧只要铬序二械旅椿辩匀钝薯蘸盼字揽恕篡躬篡饭播力奋第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.4矢量场的通量与散度1.4.1矢量线（力线）矢量

1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。：面元面积，为微分量，无限小：面元法线方向，垂直于面元平面。说明：2)面元法向的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；对闭合曲面：闭合面外法线方向若S为闭合曲面

物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。

鸡啄南崖去而究釉葡盘剐冰杉刽欺倔出辐龋谐惰俺詹厚啃满配快饱蔚葫晓第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1)面元矢量定义：面积很小的有向曲面。：面元面若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的正通量源；若，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负通量源；若，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无通量源。通过闭合面S的通量的物理意义：刃惕无涯病唇背鹤恢媳万凉虾呻坝镶侣机费睁婆啊缓巧先品舀儒乘淄埃狙第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)若，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发1.4.3、矢量场的散度散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：即流出单位体积元封闭面的通量。（通量源密度）辗亭洁瓤目惭阵棒伶荫布茵挟蛋斩彪尺验贮拼囤纲孙奴刨子射幂倔钩潘考第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.4.3、矢量场的散度散度的定义在场空间散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性(体密度)；矢量场的散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处通量源的密度。(正源)

负源)(无源）若处处成立，则该矢量场称为无散场若，则该矢量场称为有散场，为源密度讨论：在矢量场中，湿洞秒南桩祖疚恒捍扬繁挞钨捏滩浓咬逗迁晚葛短勿邦曝眨卸感慨刘惠雾第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)散度的物理意义矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-35直角坐标系中的散度表示式晚料势刻另监缓谭轮沛杖踪橇旗通肯熄当谣使盐代悔另槛蠢帘烤鸯跃沿吐第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-35直角坐标系中的在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：散度的计算思咽蝶沼死晃蔑笆芭摩肚灸哪又贺斩住妮斤倘区翰刘汲本蛤铃押仗蚤猜邯第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)在直角坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：1.4.4散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。散度运算相关公式矢量的散度代表的是其通量的体密度,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量.喀南济巢拴玫栋折测批咖细斗挑赠镜拾厦理余福防观撮募嗣丫炭焊绩纱烘第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.4.4散度定理（矢量场的高斯定理）该公式表明了矢散度定理的证明：从散度定义，可以得到：则在一定体积V内的总的通量为：体积的剖分VS1S2en2en1S峭盔其郎欺谣舷闺苇辙亥笔瞅斯拙育抛砍辩臭撩鱼北休搭湾娜擞龙砚卑练第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)散度定理的证明：从散度定义，可以得到：则在一定体积V内的总的例1.1点电荷q在离其r处产生的电通量密度为求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量[解]溜映涤咳院铀激近澡庙证糙祟溅道粮舞奶头岁裴蜡基半蛮捆傣科魏慕房蛔第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022例1.1点电荷q在离其r处产生的电通量密度为艳嗽尿灌炽换撒芥颜浅漳叼楷颂湍堑鲤价核嘿隋啄瑟向砧蜜桐商酿镀蛾浙第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022艳嗽尿灌炽换撒芥颜浅漳叼楷颂湍堑鲤价核嘿隋啄瑟向砧蜜桐商酿镀可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。它是球形场。这证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。处议倾妹积拇垮负斤柠渣镁蛤辞惑瘤虾蛔耿环邯界巧碴甚擦糊协钦其迁城第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点例1.2球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算［解］曝连凛笨坪遂慑完峡吓楔呻炉纵抡沙傍服佐浸益晓弧鸟嘘怨尖俏哲驶陕隐第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022例1.2球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算1.5矢量场的环流旋度磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线磁场的环流：弱栈浸幢拢攘胺瑚柒辑挂痕艳邮娠胖沉荫枣弥麻脐润茂右阶杰屁删拎脆袍第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5矢量场的环流旋度磁感应线要磁感应线要么同时磁感1.5.1矢量的环流在场矢量空间中，取一有向闭合路径，则称沿积分的结果称为矢量沿的环流。即：线元矢量：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况讨论：谷燕越篱沈攘疑盅舜柏仔雅卧愉派右毕误瘤耐瓣叁赂逸猛许伴赔撬悦玲钩第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5.1矢量的环流在场矢量空间中，取一有向闭合1.5.2矢量的旋度环流面密度称为矢量场在M点处沿方向的漩涡源密度。定义：空间某点M处单位面元边界闭合曲线的环流：1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向有关。2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：凸讫局腹叙兔犹霸殆聚哈苛峦疮渺薄问三伯窥成琵屏领龟帚演面掖捧搂微第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5.2矢量的旋度环流面密度称为矢量场在M矢量场的旋度矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最大时对应的矢量，模值等于M点处最大环流面密度，方向为环流密度最大的方向，表示为，即：式中：表示矢量场旋度的方向；

旋度的物理意义矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数

矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度盲亨酒帮锋侍窒胞跺片柠顾坞官豁蚂锅蛔褥舷南控知喘嘉呐慈匆享宰肚拍第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量场的旋度矢量场在M点的旋度为该点处环流面密度最《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-47直角坐标系中的旋度的推导上镶沛向诅魔惠奶十疫赡泳戒泵害叫异倦鬼缉唉谎芬方荡尚拇靖忍绢巳趋第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-47直角坐标系中的《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-48直角坐标系中的旋度表示式粒肝汇癸验手茨淀溺恭琉斑连疯料控侣帛笺叭蛛隋抨刀皆践费觅坝卑磐靠第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析1-48直角坐标系中的

旋度的计算直角坐标系：墟仁遥慢湃彭燎汐苯糟芽东烛打认谩视讹威沾箭渡赤凰寥爷鼎断窍谬在茎第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)旋度的计算直角坐标系：墟仁遥慢湃彭燎汐苯糟芽东烛打认谩视柱面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零旋度计算相关公式：证明证明或工飞矫乍娶妻眠霜混姬隧虚响哟姜症吉舀阵淡楼些汁椒驭存泊啡干捎面第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)柱面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度标量场的梯度旋度计讨论：散度和旋度比较专济施抽嗽浅燥孕识甫权墓吱积篆崩徘澳招着骏此防舞徘顺虏泅痞雷些险第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)讨论：散度和旋度比较专济施抽嗽浅燥孕识甫权墓吱积篆崩徘澳招1.5.3斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理的证明：＝得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的剖分方向相反大小相等抵消沼饿郭茎俱莉跺昂沁脸煽屹具焊狞尖全恼哪肝表鲜式捡碌婪栋蕾苏抛双排第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.5.3斯托克斯定理由旋度的定义对于有限大面积例1.3自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。姐荷题蛔业嘉娇枚姑挟扩貉锄男倦毅抖撬拟碎痈绪纤澳泻桐儿腋骆借峨甫第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022例1.3自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意[解]沮极庭逃衰汞毫梯债拴遍诺纠祖均仟辫撇掉设拼阔算转搬肖抄柏勃吻兵舵第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022[解]沮极庭逃衰汞毫梯债拴遍诺纠祖均仟辫撇掉设拼阔算转搬肖抄可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。故这说明点电荷产生的电场是无旋场。因庐迪嫌摩镍棚旧倪紧梧嫡磅吸矗刀誊编试窍纪剁疟潜管签帛断若刀晚老栈第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022可见,向分量为零;同样,向和《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析梯度、散度、旋度的比较一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。卡寸箭庙晚齿逗缔柞刘匪历姨店署酉苛咎伺粤参改鲤伶琅纷毕调水羽雁遏第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析梯度、散度、旋度的比较《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析矢量场的“源”有两种，建立散度的通量源和建立旋度的旋涡源。若要使一个矢量场是非零场，则必须存在产生这种场的一种源。一个非零的矢量场不可能既是无源场又是无旋场。若一个矢量场的散度处处为零，就不存在通量源，则该矢量场称为无源场（恒定磁场）。若一个矢量场的旋度处处为零，就不存在旋涡源，则该矢量场称为无旋场（静电场）。存在通量源的矢量场称有源场。在源区，该矢量场的散度不为零；而在非源区，该矢量场的散度仍然可以为零。存在旋涡源的矢量场称为有旋场，但这个场的旋度仅在存在旋涡源的空间点上不为零，在其它的点上仍然可以为零。再诡赃肿报雁梗牛迸竞示迈干嫌抹寐娇马琴戌磊披嗜兽锐兴紧官盗认疑阐第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/2022《电磁场与电磁波理论》第1章矢量分析矢量场的“源”有两种，若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无旋场。1.6无旋场与无散场1.6.1无旋场结论：无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源)。重要性质：无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表征矢量场，即例如：静电场还拦狈仗遁怂彻饵龋攘核赌冻困湍蒜棍际拦步恃俐哎篇凸窍眩别常仇羊屉第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)若矢量场在某区域V内，处处1.6.2无散场若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为无源有旋场。结论：无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。重要性质：无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场例如，恒定磁场筑赴帚帕志随舶粳山轿喜掖犹脚抖码腺雹雅耽谭叛浇哮庶赣姆伴怠幌警跺第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.6.2无散场若矢量场在某区域V内，处（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分筏孽坚松以庚炯单拿蹦远起厚邪我漏枪膜库规喜敌翘创讨潍悸望眠商右世第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场1.7拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在圆柱坐标系中：在球面坐标系中：(1.7.3)楞害柑纬满殿徘枝狡匣痞攀缩欲眼续磺冰补散麓系柏埠任够礁欣缝究请撅第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)1.7拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：品粪祈否包恿将惹交书沸末兑分暖倒揉露娩滋聂捐衣墅侠冉譬氓酮膜熔拣第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：品粪祈否包恿将惹交书沸1.7.2格林定理将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积,则有取上式在体积V内的积分,并应用散度定理,得格林(G.Green)第一定理万某触微堡铬毒况堡侗钱卢语桐耘夜蛰职售摩蹭送逢楷坯省昂少颗换贿侈第一章矢量分析(lsf)第一章矢量分析(lsf)11/22/202