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3x13x1定积分及其应用习题课1．求极限：
limn
n
n!n
；2．
f(x为[]
上的非负单调增加的连续函数，又
x()
是它的反函数，试用定积分的几何意义证明：
a
(x)dx
f)
g(y)dy()
。0
f(0)3设
f(x)
为
[
上的单调增加的连续函数，
f(0)0
，
limf(x)
又
xg()x是它的反函数，试用定积分的几何意义说明：对任意的
0
，总有
f(x)
gy)
，并进一步说明等号成立的条件。
4．设
f(x)
在
[]
恒正，
f
，
f
，将下列积分值按大小顺序排列：I
a)
f(bf()b
()]，I
)dx，I
f(a)dx
。．计算
sin2xdx
。6．计算
x|
。．设
(x)
x
y
dy
，求
1
(x
2
x)dx
。0
0．设
(x)
2
2
(x)
1
x)dx，(x)
。0
0．设
f(x)
及其反函数
()
都可微且有关系式
1
f(x)
1g(tdt(x2求()3
。10求多项式f()使它满足方程
1
(xt)t
x
t
3
x
。0
0．设
fx)
lnt1dt，中0，()f()1x
。广义积分中值定理：设
f(x
在
连续，
()
在
，则在
至少存在一，得
fx)g(x)dxf()
。
12证明下面极限：（）
lim
sinx
dx；（）
limn0
xnex
x
。/
coscos13．
f(x)
在
[B]
上连续，且
AaB
，求证：lim0a
f(x)f(h
dx(b)f(a)14证明恒等式：
sinx
tttd
4
x
2
)
。15.设
f(x
在
[
上连续，且单调增加，试证明对任何
ba0
，皆有
1(x)[2
f(x)
f(xdx]
。16设
f
在
f()0
，证明
a0
f)
Ma
2
，其中
maxf
。．设
f(x在
(
可导，且
12
f(x)dxf
，证明：在(
内至少存在3一点使
)
。．设
f(x)在
f(1)2
xf()
，证明：在
(0,1)
内至少存在一点使
f
f
。19设
f(x)
在
f
e
1
f()
，证明：在
(
内至少存在一点使f
。20
f(x)
在
[
连续
(0,1)
可微满足
f
f(x)
明
内至少存在一点，
f
)
)(
)
。．设
f(x),g()在
()0
，试证：至少存在一点
a,)
，使得
f)x()dx
f/
bbbb22设函数f()在[a]上连,在a内导,且
f
，若
limx
f(2x)x
存在，证明）(,b内(x)>0；在()内存在点使
2f)x
2f
；a（3在ab内在与
相异的点
使f)f()dxa
。23．
f(x在(
上连续，证明：
f(x
是周期为的函数的充分必要条件为：积分值
f(xy)
与
无关。24试确定常数
的值，使反常积分
0
x
c2x
收敛，并求出积分值。25.在间
[]
上求一点使线ln与xy及y所图面积最小。26
f(x)在加明
(a,b
内存在一点线f(x)
与两直线
yxa
所围图形的面积S是曲线
y(x)
与两直线
yfx所围图形的面积
S
的三倍。27．平面图形
由
xy2
与
y
所确定，求图形
绕直线
x
旋转一周所得旋转体的体积。28证明曲边扇形
绕极轴旋转而成的体积为2r(329径为R,密为的沉入深为(H>2)的池底,水密度
0
现其从水池中取需多少功?30为清除井底污,用缆将抓斗放入井,抓污后提出井口，已知井深30，抓斗自重400N，绳每米重50N抓斗抓起的污泥重，升速度为3
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