考研辅导讲课题

考研辅导题(数二)第二章、导数与微分一、导数概念.一点的导数.左右导数.区间上可导函数.f(x)在Xo可导■左右导数存在且相等。例卜lim/(xo+Ay)-/(xo-Ax)=_TOC\o"1-5"\h\z&to Ax../U)=例2：设/'(°)=4/(°)=°，则 sinx..f(x)Ahm =A反过来，若已知f(x)连续且,T°sinx，问/'(0)=.例3：设/(x)=1x-aIe(x),其中9在x=a连续，且求/'(a).例4：设f(x)是偶函数，/'(0)存在，求/'(0)。例5：/(x)=x(x—l)(x—2)•••(x-9),求/'(0).二八导数的几何意义与物理意义.几何意义：切线斜率。特别，导数为无穷大，对应切线是铅直的。(二元函数偏导数的几何意义是什么？).物理意义：变化率。注：隐函数，由参数方程确定的函数的曲线的切线放在相关部分讲。例6：(10年，4分)曲线y=%2与y=a［nx(aH0)相切，贝Ua=A)4eB)3eC)2eD)e例7：设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为*,于是分布在区间［(),1］上细棒的质量是x的函数m=m(x)•应怎样确定细棒在点I。处的线密度(对于均匀细棒来说,单位长度细棒的质量叫作这细棒的线密度)？例8：(10年，4分)已知一个长方形长/以2cm/s速率增加，宽卬以3cn?/s速率增加。当/=12cm,w=5cm时，其对角线增加的速率是.三、导数计算.四则运算法则.反函数求导法则.复合函数求导法则.隐函数求导法则，对数求导法.参数方程表示的函数的求导法则.抽象函数的求导.用定义求导

(3)(08年，4分)曲线&11(*丫)+1110-*)=*在(0,1)处的切线方程是_(x+l)yjx~\⑷y(》+4)%,求导小设y=x(sinx)8s二求y'.例12.参数方程求导(I)fx=2t2(I)fx=2t2+t=5r3+4r(2)证明x=e'sin£，y=e'cosf满足方程(x+y)2?4=2(x孚-y)axax⑶(。2数2)已知曲线的极坐标方程是“1-COS。，求该曲线上对应于嗯处的切线与法线的直角坐标方.程。注意:曲线的极坐标方程可化为直角坐标下的参数方程。化为参数方程:注意:曲线的极坐标方程可化为直角坐标下的参数方程。化为参数方程:x=(l-cos^)cos^y=(l-cos^)sin^例13.抽象函数求导。设f(u)是二阶可导函数，求下述函数的二阶导数⑴y=/(e*);(2)y=/(sinx)四、高阶导数.直接法.间接法.四则运算法则k=0.五大公式(e')M=ex(sinkx)in>=k"sin(fcc+/?•—) (cosfcr)<n>=kncos(fcc+n•—)2 2(x0严=a(a-1)…(a-〃+1)尸(Inx)M=(-If-1 (-)(n)=(-1)"4ttX X X例15.间接法(1)设y求严.厂-1(2)y=siny=x2y=x2e2x,,(1)求函数的微分；2)求dy；(3)求函数在x=0点的微分；4)求函数在x=0,Ax=0.1时的微分；5)填空dy=e2xd+x2d例16.直接法设y=xlnx,求/卬(1)。五、微分.微分的概念.可微条件.微分计算微分法则：d(u+v)=du±dv d(Cu)-Cdu⑴」,、 , , vdu-udva(uv)=vdu+udva(—)= vv(2)微分形式的不变性无论x是自变量还是中间变量，函数y=/(x)的微分形式总是dy=f\x)dx

第三章、导数应用一、中值定理.极值、最值概念.费马定理及其证明证明：对极小点考虑。£(%)=lim/⑴―<0,《(%)=lim >0XTX0X-Xn XTx+() X—Xn而八净)存在,所以，/'(%)=乃(%)=斤*0)，从而/'(%)=0..三个中值定理的几何解释.泰勒定理的条件及两个不同的余项表示定理涉及的函数定理条件结论的意义备注RolleThf(x)3个条件切线斜率LagrangeThf(X)2个条件CauchyThf(x)和g(x)3个条件分母不为零的条件如何保证TaylorThf(x)1个条件用多项式近似函数注：中值定理是大范围成立的结论。尤其是泰勒定理，有多种表述方式。定理：设f(x)在区间(a,b)中有直到n+1阶的导数，则对区间中任一点玉)，函数f(x)可以用泰勒多项式(x-x0/勒多项式(x-x0/来近似这一近似的误差(余项)是/•(n+1)/Ex/?„(x)= (X-X。)",J在x与X。之间 Lagrange余项(〃+1)!把区间缩小为%的邻域，则可用pieno余项：/?„(x)=o[(x-x0)n].由于只在X。的邻域中讨论问题，这一余项主要用于处理极限问题。例1：泰勒中值定理本身题(03年，4分)y=2、的麦克洛林公式中x"的系数是⑵把/(x)=按x4的黑展开为Lagrange余项的3解泰勒公式。例2.讨论“存在一点”的问题(1)(08,4分)设/(%)=X2。-1)。一2),则广(》)的零点个数是A)0B)lC)2 D)3.

(2)设f(x)在(0,1)上可导，在［0,1］上连续，f(0)=f(l)=0,求证：至少存在一点Je(0,1),使/'©+/《)=0证明:一般先考虑用罗尔定理。为此要构造函数。令/(x)=e'/(x),F(0)=F(l)=0则满足罗尔定理条件，根据/'(x)="(/(x)+/'(x)),立即得证。(3)设f(x)在［0,1］上可微，对［0,1］上每个x,函数f(x)的值都在(0,1)内，且/'(X)W1.求证：在(0,1)内有且仅有一个x,使f(x)=x.(4)设f(x)在［1,2］上可微。证明：存在一点关(L2),使〃2)-2〃D="C)-fC).证明：因为,所以考虑构造函数尸。)=/区。但分母去不掉,\XJ X X,一'(X)-/(X)因此重新考虑用Cauchy定理，令/(无)=4»,G(x)=-,则上舁= £ .x xG(x)二X2二、极限计算常用结论:TOC\o"1-5"\h\zlimy[n=1,limy[k=1,〃—>8 n—(«lim&'=0,lim—=0,VileN+， n"18Yi p例3：(1)lim(—\ sin~xx(2)limlnxln(l(2)limlnxln(l—x)x->r(3)X—X—(4)lim( arctan/z)ln/,.(4)〃T82三、方程根方程根的问题用零值定理证明存在性，用单调性或洛尔定理证明唯一性。如果要判别根的个数，就要利用函数图形。例：方程■?-3x+l=0的实根的范围与个数解：令f(x)=x+x例12.(07,4分)曲线y=L+ln(l+e*)的渐近线的条数XA)0 B)1 C)2 D)3例13.(01,3+x例12.(07,4分)曲线y=L+ln(l+e*)的渐近线的条数XA)0 B)1 C)2 D)3例13.(01,3分)y=(x-l)2(x-3)2的拐点个数与极大值。f(-l)=3,f(l)=-l.而/(-°°)=-8,/(8)=8.草图是例4.求证：方程x"+x"T+…+尤=1(〃>1)在［0,1］上有且只有一个实根。证明：^f(x)=xn+xn-'+--+x-\(〃>1),贝iJf(O)=-l,f(l)=n,根据零值定理，存在根。f\x)=nxn~'+(n-l)x"-2+•••+2x4-1(«>1),在［0,1］上/'(x)>0,所以函数单.调，因此只能有一个零点。例5.讨论方程xe-=a(a>0)有几个实根。解：令/(x)=xeT-a(a>0),则/''(x)=e7(l-x)J"(x)=-eT(2-x),驻点x=l对应极大点，f(1)=e~'-a,/(-oo)=lim(xe~x-a)= /(°°)=lim(--a)=-a.X—>—«« X—>4-00c例6.使/(x)=2x3—9f+12x—a恰有两个不同零点的a应等于A)2 B)4 C)6 D)8.解：/'(x)=6x2_18x+12=6(%2_3x+2),f\x)=6(2x-3),x=l是极大点，x=2是极小点。f(l)=5-a,f(2)=6-a,f(-°°)= f(°°)=o°.四、等式与不等式可以用中值定理，单调性，凹凸性，最大最小值，泰勒定理等等一系列手段处理不等式，注意区分。例7.设a>b>0,求证：—~~-<In—<-—.abb证明：令/(X)=Inx,在也a]上，"?二"动==le[l,l].b-a 4ab例8.求证：xlnx+yIny>(x-Fy)ln—,(x>0,y>0,xWy)证明：令f(x)=xlnx(x>0),则/"(x)=」>0,所以，对应曲线是凹的。根据凹函数定义,Xf(x+y)i/(x)+/(y)所以冒+(右口+>1xlnx+ylnyTOC\o"1-5"\h\z2 2 ' 2 2 2例8'：求证:当0<x<l时,4/+，23Xc1 1 7证明：令/(x)=4f+±-3J'(x)=8x—《,/'(幻=8+彳>0.所以，在[0,1]上函数X X X是凹函数，驻点x=l/2取最小值f(l⑵=0,既然是最小值就有/(x)>0.例9设xe(0,1),求证：(l+x)ln2(l+x)<x2»证明：令f(x)=(l+x)ln2(l+x)-则/'(x)=ln2(l+x)+21n(l+x)-2x.21n(l+x) 2c21n(l+x)2xj(x)= + 2= l+x l+x 1+x1+x| 2x7T例10.求证：当xN1,arctanx——arccos-=—.2 1+x242x证明：令/(x)=arctanx——arccos 大,则TOC\o"1-5"\h\z1+x, [ 1 ] 2(1+x2)-2x.2x'==+/卜(2x大一(1+7)2-VW1 .1 2(l-x2) 1 1n= 1 = =(J.\+x22I1-x2I(1+x2)1+x21+jc2TT TT所以，f(x)为常数。因为/6=arctanl-/arccosl=w-0=w，TT该常数就是2。4五、函数性态单调区间与凹凸区间极值与最值，(可导函数与不可导函数的求法有区别)斜渐近线例11例11.(10,4分)y=——亍的渐近线方程是.A)0 B)1 C)2 D)3例14.求证：/(尤)=(1+!)<在(0,+8)内单调增加。X例14：求方程e-y+y=0所确定的函数的极值。解：(2xy+X2yf)ex2>4-/=0>解出<="百e:,得驻点x=0或y=0.把x=0代入方程得y=-l,把y=0. 1+/J)代入知不满足方程，因此驻点只有一个：(0,-1).〃 _(-2y-2xy^-2xy(2xy+x2y))erv-exy(2x+x2(2冲+/)/)) _y (1+x?产> ,o-i,~或者在(2冲+x2/)Z'+/=0上再求导，(2y+2xy'+2xyf+x2yr)e^+(2xy+x2/)2Zy+/z=0,(-2)e°+(0)2e°+y"=0=>y,z=2.因此，(0,-1)对应极小.极小值是-1.例15,设(x)的导数在x=a连续，又lim£^=—l,贝！Jlax-aA)x=a是f(x)的极小值点 B)x=a是f(x)的极大值点C)(aJ(a))是函数的拐点必以=2不是极值点，(4，/(。))也不是函数的拐点例16.f(x)在x=O的某邻域内连续，且f(O)=O,lim,⑴=2,则在x=O处xtO1-COSXA)不可导 B)可导且广(0)。0C)取得最大值 D)取得最小值例17.y=f(x)是y"-2y'+4y=0的一个解，且/(%)>0,/'(%)=0,则在丫处人0A)取得最大值 B)取得最小值C)某邻域内单调增加D)某邻域内单调减少。六、曲率弧微分：ds=[1+y"dx,ds=｛律 dt曲率：K曲率：KI枷"一例19.求y=lnx上曲率最大的点。第四章、一元积分学.原函数概念.定积分的牛顿-莱卜尼茨公式.变上限积分的性质.广义积分收敛的概念一、原函数，不定积分例1.已知/'(Inx)=1+Inx,则f(x)=.例2.已知f(x)的一个原函数是l/x,则j¥'(x)dx=.例3. xe-x,f(l)=0,则/(x)=.二、定积分的性质例4.(03,4分)设1㈣±公/=^^—dx,则力x ■tanxA);,>Z2>1;B)1>/,>Z2;C)I2>/,>1;0)1>I2>IV三、变上限积分do例5.——fxcos/2Jz= dx,?例6.例6.sin(x-r)2Jr1(x>0)例7.设/(x)=TOC\o"1-5"\h\z0(x=O),F(x)=例7.设/(x)=-l(x<0) °F(x)在x=0不连续； B)F(x)在(-8产)连续但在x=0不可导；F(x)在(一8尸)可导且/'(x)=/(x);D)F(x)在(一8产)可导但不一定有尸'(x)=/(x).例8j(x)=f511/力送。)=7-+-^,则当X->0时取)是8。)的o 5 6A)低阶无穷小；B)高阶无穷小；C)等价无穷小； D)同阶但不等价的无穷小。x］n,例9.求/(x)=12.，力在区间［e,e2］上的最大值。四、积分计算例10.分部积分伊3dx(2-x)2/、rarctanxsirrx例11.换元积分jx3例12.指数函数积分'"re'Ve'—Idx(2)- ，d+3例13.代数函数积分fdx⑴⑼，3分)J充?r x+5(99,3分) dxjx2-6x+13(01,6分)f j(2x2+1)Vx2+(1)x+lxl2+x2例14.分段函数枳分(1)x+lxl2+x2dx(2)jmin(^—,x2)Jx.一2 "I例15.分部积分应用x/(%)=dti(1)设। ,求J/(x)dxo(2) /(x)=求^xf(x)dx.例16.积分证明TOC\o"1-5"\h\zX XU设f(x)连续，求证：j/(w)(x-w)Jw=j(|f(t)dt)du.0 00a a设f(x)连续，求证：j/(x)Jx=^f(a-x)dxo o五、广义积分7dx例*.⑴MJ分）匕彳门3/2J/ ,dx1/2\!\X-X~\六、定积分应用.函数平均值.用于计算极限例18.求y=J 在［1,立］上的平均值。V177221例19.用定积分定义计算\x2dx.七、定积分的几何与物理应用平面图形的面积，立体体积，旋转体侧面积功，水压力，引力例20.（98,3分）曲线y=-d+x2+2x与x轴围成图形的面积=例21.（03,4分）曲线极坐标方程是p=e"'（a>0）,则该曲线上相应于6从0变到2%的一段弧与极轴围成图形的面积是.例22.设曲线4:丁=1一/（04尤41）与*轴，丫轴围成区域被曲线。：y=ax1（«>0）分成面积相等的两块，试确定a.例23.若沙的比甫是2.为倒满一个半径为r,高h的圆锥形沙堆，要做功多少？例24.半径为r的球沉入水中与水面齐平相切。球比重是1.问把球捞出要做功多少？第五章、多元微分学除了方向导数与几何应用外都要。一.偏导数、全微分.初等函数用公式求.分段函数用定义求.复合函数的导数：三种类型2个记号。(1)Z=/(M,v\u=(pix,y),V=y)2)z=/(u,v),u=(p(t),v=y/(t)»全导数3)z=/(“),〃="x,y)2个记号涉及：(1)z=f =^x,y),y=»(x,y)其中4与人的区别⑵f；J；3At笛7例1.(04,10分)Z=/(x2-y2,e"),其中f有连续偏导数，求*,k，T-.oxoyoxoyd2z例2.(09,10分)设2=/(X+y,X-乂肛)，其中f有二阶连续偏导数，求dz及F-.axdy例3.w=xyyzzx,求dz.例4.设f(U)可微且/'(0)=L,则7=/(4/—y2)在(],2)处的全微分阂“6=.2例5.已知 ——广上为某函数的全微分，则2=—(x+y)TOC\o"1-5"\h\zA)-lBX)C)1 D)2.二、化简表达式或偏微分方程82 ^2 ^2例6.(01/1分)设u=f(x,y)有二阶连续偏导数且满足45+12丁三一+5丁丁=0,确定a,b使等式在ax axay oy变换J=x+ay,〃=x+by之下化简为旦f-=0说〃例7.设z=w(x,y)e"E,其中u(x,y)满足?[=0.求a使?； 与+z=°・axay axayaxay三、隐函数求导不需要方程组的形式。例8.(07,11分)已知f(u)有二阶导数，/z(0)=1,而y=y(x)由确定。设dzd2zz="My-sinx),求区小不例9.z=z(x,y)由方程z—y—x+%山一尸”=0确定,求dz.例例u=f(x,y)有连续偏导数,y=y(x0和z=z(x)分别由e"—y=0,和ez-xz=0确定,dx四、极限，连续，可导与可微的关系.二重极限与二次极限的区别.二重极限lim/(P)存在的充要条件是对“邻域中任意点P以任意方式趋近4时,函数f(P)的极限都相等。(二重极限lim/(P)不存在的充分条件呢？).可微的概念。例11.求证：(1)极限lim 不存在。无+yxtOy—0(2)极限lim—^不存在。%+/xtOy—O例12.证明：f(x,y)=在(0,0)连续，可导但不可微。X"y例13.求证：f(x,y)=<jr4+y2 在(0,0)不连续但可导。0 (x,y)=(O,O)五、极值、最值应用例14.求z=x2y(4-x-y)在直线x+y=6,x轴，y轴围成的闭区域D上的极值与最值。例15.求隐函数/一6盯+10/2-2户一［2+18=0的极值。例16.生产某种产品要投入两种要素。%,%是两要素的投入量,Q为产出量。若生产函数为。=2尤「赴”，其中常数a,夕满足a+夕=1。假设两要素价格分别是P1,生。问：当产出量是12时，两要素各投入多少可使总投入费用最少？,V2例17.求/(%4)=/一产+2在椭圆。={(左丁)|厂+乙41}上最值.第六章、重积分一、重积分性质例1.根据几何意义确定积分值-y/x2+y2)dxdy,D:x2+y2<a2.DJj(b-Jx?+y2)dxdy,D:x2-^-y2<a2(b>a>0).D例2.比较积分大小/j=JJ(无2-y2)dxdy,I2=JJjY—y?)dxdy,D:(x-2)2+y2<1.D D例3.估计积分值JJ(x+y)dxdy\D:(x—2)~+(y—1)~W2.D二、直接计算重积分例4. 轴与曲线J±+J)=1围成的区域，a>0,b>0.d VaNb例5.“(x+y)dxdy。：/+/4工+丁+1.D三、特殊表示I 1I例6.设f(x)在(04)上连续，并设j/(x)dr=A，求JdrJfMf(y)dy.0 Ox例7.D:x2+y2《在区域D上连续且f(x,y)=y/\-x2-y2--^f(u,v)dudv,兀D求f(x,y).四、交换积分次序或坐标系例8.计算JJx2+y2^/?2TOC\o"1-5"\h\z2 2例9.计算jdxje-'dy.0A-1 y+2 0y£例10.换序JdyJf(x,y)dx+JdyJf(x,y)dx.-1 0-2 0-1 0例11.用极坐标计算j二dy.-i—y五、分段计算例12.(08,11分)Jjmax{xy,£)={(x,y)10<x<2,0<y<2}.例13.(07,11分)f(x,y)=(l〈xl+lyK2)例13.(07,11分)f(x,y)=六、利用对称性例14.(06,10分)。={*,了)1犬+丁wi,x20},计算，例15.求例15.求JJ/0,了)公办.其中/(尤,月=«1,x2+/<lxy2<x2+y2<4第七章、常微分方程贝奴里方程不要求。一、解的结构例1.设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同解%(外,为(外。C为任意常数,则方程通解是 A)C(y1-y2);B)凶+。(%一%)；@C(y,+y2);D)y,+C(y,+y2).例2.(10,4分)设y(x),%(x)是一阶非齐次线性微分方程了+「(》»=。。)的两个特解。若常数4〃使九y+，〉2也是方程的解，丸凶-，乃是对应齐次方程的解，则A)A=—,U=—;B)A=—,U= ;C)A=—,ZZ=—;D)A=—,Li=—.2 2 2 2 3 3 3 3例3.(06,4分)y=Cg' +工产满足的一个微分方程是A)y,/—y/—2y=3xexB) 2y=3/C)y,z-t-y—2y=3xexD)y"+y'-2y=3e*.例4.(00,3分)具有特解,="二为=2年一1%=3"的3阶常系数齐次线性微分方程是例5.(97,5分)已知%+ =祀*+0-*,%=祀*+62*-6-'是某二阶线性齐次方程三个解，求该方