考研高数下册(刘西垣)

第七讲常微分方程一、知识网络图齐次方程可化为基本类型的二阶方程式（含某些高阶的情形）（数四不要求）简单应用及如何列方程常微分、万程利用牛顿第二定律，质点运动的轨迹，微元分析法（只对数一、薪二）T基本概念I差分方程

（只对数三）T通解的结构I一阶线性差分方程T求解的方法|一齐次方程（迭代法与通解公式）U非齐次方程（迭代法与待定系数法）|H简单的经济应用问题I二、重点考核点①掌握方程类型的判别，根据类型选择合适的方法求解方程，会利用初值条件定出任意常数。②掌握列方程的常用方法.根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的物理或几何意义，结合其他相关的知识和掌握的方法列出方程和初条件.③一、二阶线性方程解的性质.④对数三还要求差分方程，其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用.(注意，全微分方程的求解放在多元积分学部分介绍)§1微分方程的有关基本概念微分方程：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程，称为微分方程.当方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程.微分方程的阶：出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶.设X为自变量,y=y(x)为未知函数，则n阶微分方程的一般形式为F(x,y,y',y","-,yM)=0,且在方程中yM一定要出现.微分方程的解：若把已知函数及其导数或微分代入微分方程后能使其成为恒等式，则称该函数为这个微分方程的一个解.含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解：不含任意常数的解称为微分方程的特解.为了确定微分方程的特解，需要给出方程中未知函数应满足的附加条件，这种条件称为定解条件，通常给出的是未知函数及其若干阶导数在某点处的值，称为初始条件.例如：对方程尸(x,y, 初始条件可设为"鹏)=%，了(％)=必，y\x0)=y2,---,炉“7(%)="_|，其中孙，先，yi，力,…，%-i都是给定的常数.求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题.§2一阶微分方程的解法(1)变量可分离方程变量可分离方程的常见形式噜")g(y)’若g(y)#0,方程可改写为券=/(x)dr,求积分即得通解［券=J/(x)dx.若存在出使g(yo)=0,直接验算可知常值函数丫=加也是原方程的一个解.更一般的变量可分离方程是M(x)P(y)dx+N(x)Q(y)dy=0.当N(x)尸(y)w0时，经分离变量，方程可改写成生儿+蚂^位=0,于是，积分可得通解性&y+f丝^<k=C.P(y).N(x) Jp(y).」N(x)若y()是函数P(y)的一个零点，则y= 也是方程的一个解.如果不限定自变量是x,未知函数是y,且沏是函数N(x)的一个零点，则常值函数x=x()也是方程的一个解.在求解变量可分离的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解.如果在积分所得的通解表达式里，未知函数包含在对数中，应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中“解脱”出来.(2)齐次微分方程TOC\o"1-5"\h\z齐次微分方程的标准形式是—=/(—)>作变换u=—<=>y=MX,由于dy=wdx+xdn,drx x代入方程可得〃+x也=/(〃)=x电■=/(〃)-〃，这是关于“与X的可分离变量方程.当dx dr/(a)-”wO时，分离变量并积分可得［―^―=ln|x|+C.把“换回二，即得原方程的J/(«)-« X通解.同样，若存在“=〃()是/(〃)-〃=0的根，则y= 也是原方程的一个解.一阶线性微分方程一阶线性方程的标准形式是y'+P(x)y=Q(x),其中P(x)与。(x)是已知函数.当。")三0时，称为一阶齐次线性方程，否则称为一阶非齐次线性方程.一阶线性方程的通解为y=Ce-尸曲 J0(x)e，""dx.注意，通解公式中的第一项CeT。"忌是对应齐次线性方程y'+P(x)y=0的通解，通解公式中的第二项e-fp(x)dtjQ(x)e)"Mth是非齐次线性方程的一个特解.一阶线性方程通解的这种结构是所有线性微分方程通解的共同特点.除了直接用上述通解公式求解外，还可用积分因子法求解.即用函数(称为方程的积分因子)同乘方程两端，按乘积的导数公式有(ye,p(x)<h)，=0(x)efp<x)dt,两端再积分一次，移项后就得出了通解公式.【例1】已知函数y(x)在任意点x处的增量Ay= +a,且当Ax->0时，a是比Ar较高阶的无穷小，y(0)=乃，则y(l)=( )n it27V. (B)乃.(C) . (D)兀e"・【例2】设函数y(x)连续，求解方程：fy(s)ds+'y(x)=%2.【解】实质上y(x)可导.求导得y(x)+；y[x)=2x又原方程中令x=0得y(0)=0.求解初值问题I；；)"；4"两边乘〃=en&=e2,得(ye2')'=4xe2、积分得ye2"=j4xe2'dr+C=2xe2r-e2j+C由y(0)=0nC=l.y=2x-l+e-2x【例3】设函数/(x)在[1,+oo)连续，且满足1/2⑺山=’卜2/(幻一/⑴].求函数f(x).【解】实质上/(x)可导，求导得/2(x)=g[2犷'(x)+x2/'(x)]原方程中令x=l,得0=0自然成立，不必另加条件.求解方程3y2=2xy+fy，(其中y=/(x))得y=/(x)=I7c7,。为V常数.§3二阶常系数线性微分方程及其解法二阶常系数线性微分方程的标准形式为y"+ay'+by=/(x),其中a,b是已知常数，右端项/(x)是已知函数.当/(x)三0时，方程称为齐次的，否则，方程称为非齐次的.引入记号L[y}=y"+ay'+by，则方程y*+ay'+by=/(x)可写成L[y]=/(x).二阶常系数线性微分方程的解满足叠加原理：若%是方程L[y[=/(x)的一个解，丫2是方程L[y2]=f2(x)的一个解,A,B是两个常数，则Ay1+8以就是方程L[y]=A£(x)+Bf2(x)的一个解.二阶常系数线性微分方程通解结构定理：方程L[y]=f(x)的通解是y=Ciy1+C2y2+y,-其中X和竺是对应齐次方程LM=0两个线性无关的解，即m0和LUdm0,且不存在常数k使得力三62,y*是非齐次方程的一个解，即Uy']=/(x),而C1,C2是两个任意常数.(1)齐次方程两个线性无关解的求法：二次方程无+4/1+6=0称为二阶常数系线性微分方

程了+缈'+刀=/(x)的特征方程，它的两个根4,4称为特征根.按照特征根的不同情况可得齐次方程V+ay'+b=O两个线性无关的解，如下表. 特征根线性无关二解实根4工/UeSV实根4=4e%xe不复根。±圾(/>0)eaxcospx,eaxsinfix(2)非齐次方程一个特解的求法：当/(x)是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积时、可根据/(x)的形式选取适当形式的特解，然后代入非齐次方程并确定特解中的待定系数，即可求得所需的一个特解.若/(x)=%(x)e",其中&(x)是一个x的〃，次多项式，r是一个实数，则可按照下表选取特解：(其中Q,“(x)是系数待定的机次多项式)f(x)r与特征根4,4的关系特解y*的形式匕(x)e”rW4，r#4。*)钎&(x)e"r=4，寸4xQ,"(x)e"匕(x)e"7-- >1—x2QmMen若非齐次项f(x)=&(x),只需把它看成f(x)=匕,(x)er*，且r=0的特殊情形即可.若/(x)=e'"(Mcosotr+Nsin皿)，其中Af,N,r,3都是实数，且3>0.特解的取法如下表：(其中A,8是两个待定的常数)f(x)r±io与特征值的关系特解y*的形式e”(Mcosarn-TVsincox)r±i6y不是特征根e”(Acos5+Bsin(ox)erx(Mcos5+Nsin5)r±iG是特征根W(Acosair+Bsincox)若非齐次项f(x)=Mcos(ox+Nsin(ox.只需把它看成是f(x)=erx(Mcoscox+Nsincax),旦r=0的特殊情形即可.另外，无论系数”与N中是否有等于零的，在特解y*中仍应当假设包含两个待定系数A与民【例1】设线性无关的函数y”力，丫3都是微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=/(x)的解,其中p(x),q(x),/(x)是连续的，且G和C2是任意常数，则此方程的通解是y=( ).(A)Gy】+C2y2+乃・ (B)Ciyi+C2y2-(C1+C2)(C)Ciji+C2J2—(1—Ci—。2)乃・(D)C,i+C2y2+(1—C1—C2)乃・【例2】设〉”+6/+切=比、有一个特解为y=e2x+(l+x)e%,求常数a,b,c的值及此方程的通解.【例3】微分方程y"+y=/+1+sinx的特解形式可设为(A)y*=ax+fer+c+x(Asinx+Bcosx).y*=x(ax',+fer+c+4sinx+Bcosx).y*=ax2+bx+c+Asinx.y*=ax2+bx+c+Acosx.【例4】设/(x)=sinx—，(X一。/(，)力，其中/(x)连续.求/(x).【分析与求解】1)化为求解常微分方程的初值问题，事实上/&)可导.先将方程写成TOC\o"1-5"\h\z/(x)=sinx-xf(t)dt+J ①两边求导得/,(x)=cosx-^f(t)dt-xf(x)+xf(x)即/'(x)=cosx-//Q)dr ②在①式中令x=0得"0)=0 ③求解①转化为求解②+③再将②求导得了"(x)=-sinx-/(x) ④在②中令x=0得/'(0)=1 ⑤求解②+③又转化为求解④+③+⑤2)求解初值问题.令、=/(x),求解①转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题：

[y"+y=-sinxty(o)=o,y(o)=i特征方程无+1=0,特征根；l=±i,相应齐次方程的通解y=ctcosx+c2sinx再求原非齐次方程的如下特解y*=x(Acosx+Bsinx)记y=Acosx+Bsinx,于是y*=xy，且无论系数4,8取何值，其中的函数y=Acosx+Bsinx都满足对应的齐次方程.计算可得(y*y=xy'+y,(y*)"=xyH+2/=>(//+/=x(y"+y)+2/=2/.代入方程就有2y'=2(-Asinx+Bcosx)=-sinx,由此可得A=—,B=0于是原方程的通解为y=c,cosx+c2sinx+—xcosx2 1 2 2由初条件>(0)=0,丁'(0)=1定出。=0,。2=；•因此求得y=/(x)=gsinx+；xcosx§4某些高阶微分方程§5应用问题一、利用定积分的几何意义列方程【例11设、=/(x)是第一象限内连接4(0,1),8(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，C为M在x轴上的投影，。为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形的面积之和为三+1，求/(幻的表达式.63【分析与求解】配右图)1)列方程，定附加条件，按题意TOC\o"1-5"\h\z都+/(x)]+f/«)力=营+( ①并有/(0)=1 ②/(1)=0 ③2)转化，将①求导并化简得

f'(x)--/(x)=x--(xe(0,1］) ④X X在①中令x=1=>/⑴=0与③一致.3)求解④并满足②与③.解一阶线方程④并定常数得/(x)=(x-1)2 (OWxWl).【例2】设函数/(x)区间［1,+oo］上连续，由曲线y=/(x)与直线x=Lx=z(/>1)及x轴围成的平面图形绕x轴旋一周所得旋转体的体积为v(0=|k7(0-/(i)]求:(1)y=/(x)所满足的微分方程； 」2(2)该微分方程满足条件y =*的解.-x=29【解】(1)V(t)的积分表达式是1X丫⑴=万1/2U)dx，按题意得乃1/2(x)dx=。[产/⑴_/(1)]如同§2例3,/(f)满足此积分方程等价于/⑺满足微分方程f2(t)^-[2tf(t)+t2f'(t)](2)将，换成x,记y=/(x)，解3y=2xy+/y'得通解y：一^,由初值y(2)=?得C=l,于是y=【例3】(数一，数二)设曲线r=r(6)上任意点为M(r,6),一个定点为M°(2,0)，由此曲线与极径OM。，OM围成的曲边扇形的面积等于两点与M间弧长的一半，求此曲线的方程.【分析与求解】1)首先用极坐标写出曲边扇形的面积与弧长表达式.见右图.极径OM0,0M与曲线r=r(6)围成的曲边扇形面积S(6>)=g/r\0)dO,M间的弧长s(6)=/ylr\0)+r'2(O)d0

2)按题意列方程并给出初值.s(e)=gs(e)即「2(。川。=f而苏下荷de还有“0)=23)转化 将方程求导，原问题转化为求解/2(。)=』产3)+r'“e)or'(O)=±r(6>)7r2(^)-lr(0)=2 1r(0)=24)求解初值问题这是变量可分离的方程.用变量分离法求出通解-arcsin'=土6+C由r(0)=2=>c=-工.于是求得r=——?——即 x±V3y=2.6 sin(1±8)二、利用导数的几何意义列方程【例4】设曲线2位于。町平面的第一象限内，过乙上任意一点M处的切线与y轴总相【分析与求解】设2的方程为y=y(x).由£上V点“【分析与求解】设2的方程为y=y(x).由£上V点“(x,y)处的切线方程为y=y(x)+y，(x)(X-x)令X=0得4点坐标为(0,Mx)-盯'(X)).由|。4|=\闿得(y-xy'Y=x2+x2y'2化简得初条件 y(3)=3解初值问题这是齐次方程(也是伯努利方程).解得人+/=3》,=y="(3-x)(0<X<3)三、利用导数的经济意义列方程(数三，数四)【例5】某商品的需求量。对价格的弹性为〃=-3p3,市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数.【解】设需求函数为Q(p),需求弹性即K股，按题意得K强=-3P3,Q(0)=1Qdp Qdp这是可分离变量的方程，用分离变量法求得通解，再由初值定常数，最后得Q=e”'.四、利用变化率满足的条件列方程【例6］设在一人群中推广某种新技术是通过其中已掌握技术的人进行的.已知该人群的总数为N,在，=0时刻，已掌握新技术的人数为孙，在时刻f,已掌握新技术的人数为x(f)(设x«)是连续可微的)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，且比例常数k>0,求变量x«).【解】r时刻已掌握新技术人数为xQ),它的变化率即如，按题意：dtdr NxeNk,—=H(N-x),x(O)=x0这是可分离变量的，求出通解后定常数，得》=—以——dz N—Xq+x()e五、利用牛顿第二定律列方程(数一，数二)【例7】从船上向海里沉放某种探测仪器时，需要确定仪器下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用.设仪器的质量为机，体积为8,海水比重为夕，仪器所受的阴力与下沉速度成正比，比例系数为心>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式了=y(v).【分析与求解】建立坐标系：沉放点为原点0,Oy轴正向铅直向下.1)仪器受力：重力mg,阻力-攵与，浮力一Bp.按牛顿第二定律列方程=■一Bp初条件y(0)=0,y'(0)=02)转化：为求y=y(y),将方程改写.*=祟=墨y于是方程化为mi/；：=H-kv,H=mg-Bg即y=万个而相应的初值y(v)=0v=03)求解 直接积分并由初值定常数得丫=-；丫+雪•ln_E7—kkH-kv六、利用微元法列方程(数一，数二)［例8］要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h,上底面直径为2”，要求桥墩在任一水平截而上所受上部桥墩的平均压强为一常数p,设水泥的比重为夕，试求桥墩的形状.【分析与求解】首先建立坐标系，如图所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴，设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x),下面列方程并给初条件，然后求解.【方法1】用微元法

任取[x,x+Ax]u[0向所对应桥墩的小薄片.下层压力一上层压力=薄片的雨量-p尸x+A(弗pny'xAx墩的重量pny2(x)-p尸x+A(弗pny'xAx墩的重量pny2(x)=pita2+p将上式求导，在上式中令x=〃，分别得令ArfO得-2py(x)-pg+&)+y(x)P-)一如)即—=一~°~y初条件d.r解一阶线性齐次方程的初值问题基本关系式x截面处所受压力=顶面压力+该截面上方桥这是变限积分方程.§6一阶常系数线性差分方程及其解法(数学三)这是变限积分方程.一阶常系数线性差分方程标准形式为y,+i+ay,=/«),其中r=O,1，2,…，常数已知函数/⑺当r=O,1,2,…时有定义.如果当/=0,1,2,…时有/⑴三0,则称方程为一阶常系数齐次线性差分方程，否则，称为一阶常系数非齐次线性差分方程.可以证明一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即一阶常系数线性差分方程y,+1+ay,=f[t｝的通解可表示为y,=C(—a)'+y；(f=0,1,2/一,)，其中C是一个任意常数，y；是非次齐次差分方程yt+l+ay,=f(t)的一个特解.注意，在上述非齐次方程通解的表达式中，y；=C(-。)'是对应齐次差分方程y,+1+ayt=0的通解.代入方程不难验证这一结论.当/⑺是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和差或乘积时，常用待定系数法求非齐次差分方程y,+1+ay,=f(t)的一个特解.与二阶常系数微分方程类似，仍分为两大类来讨论：(1)若f(t)=PQd'，持匕⑺是，的机次多项式，常数dWO.非齐次项/(/)=Pm(t)可看成d=1的特例.这时非齐次差分方程y,+1+ay,=Pm(t)d'的一个特解的取法如下表：(其中⑴是待定系数的m次多项式)/(/) d与系数a的关系 特解y；的形式。+叱0 Q*WP<t)d‘ a+d=O tQm(t)d'(2)若f(f)=A/coswt+Nsinwt,其中M,N,3是常数，且0V3<2n,3Hji.这时总可以取函数y,*=Acos3f+8si”3f为非齐次方程的一个特解，其中A,8是待定常数.【例1】差分方程2yl+1+10y,-5f=0的通解为 .【解】写成标准形式yr+i+5y,=}(a=5,d=\,a+dWO)特解形式：y；=4f+8代入方程得A(r+1)+5+5(Af+8)=+(A+68)=A=—B=——2 2 12 72通解为 y,=c(-5)'+卷。一()【例2】差分方程力+1—y,=r2'的通解为.【解】。=-1,f(t)=t2',d=2,a+d#O特解形式y；=(4+8)2',代入方程得(A(/4-1)+B)2nl—(At+B)2Z=r2'，4+2A+B=inA=1,B=—2即城=(，-2)21因此，通解为 y=c+Q—2)2’【例3】差分方程m+i—2M=3cos］f的通解为.【解】0=］，特解y；=Acos^7+8sin］，，代入方程得Acos(—tH—)+Bsin(—14—)—2Acos—t—2Bsin—t—3cos—t2 2 2 2 2 2 2TOC\o"1-5"\h\zjl .7T 7T 6(B-2A)cos—t—(A+28)sin5f=3cos5f=＞B—2A=3,A+2B=OnA=—,3 3 717tB=—.=＞通解为y,=c2'+—(-2cos—r+sin—r)5 5 2 2【例4】设某人于某年年底在银行存款。元，其年利率是r,且按复利计算利息，又该存款人从存款满一年起每年年底均取出固定数额为b元的部分存款，求该存款人每年年底在银行存款余额的变化规律.【解】设必是存款f(r=0,1,2-)年整时该存款人的存款余额，于是可得bK+i=(1+厂)%-=y/+l-(l+r)yr=-b，且％=a.注意，方程的通解是yt=C(1+〃)'+—.rTOC\o"1-5"\h\zb b利用初值＞0=。=c+巳可确定常数c=4-2,故该存款人每年年底在银行存款余额的r r变化服从如下规律：b h%=(a一一)(1+r)'+—(f=0,1,2•••).r r基本多元函数微分学基本多元函数微分学第八讲多元函数微分学一、知识网络图厂I多元函数、二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数的性质T偏导数，方向导数，可微性与全微分的定义（方向导致只对敌一）二、重点考核点这部分的重点是:

B是与Aj无关的常数+o(Ay)在V。存在_ ，cf(x<)+Ay,vn+Ay)B是与Aj无关的常数+o(Ay)在V。存在_ ，cf(x<)+Ay,vn+Ay)—f(i：.4Ax-BAy+o(p)(p-^0)f(xo+Ax,州)—f(x<)(Ax->0)f(x<)>yo-hiv)—/(M，(2—0)①偏导数、全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数（包括带函数记号的复合函数，隐函数，变量替换下方程的变形及初等函数等.②多元函数的简单极值与条件极值问题特别是有关的应用题（几何、物理与经济上的应用题）.③几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一）④求方向导数和梯度（只对数一）.⑤可微性概念.§1多元函数微分学中的基本概念及其联系由于多元初等函数的偏导数仍然是多元初等函数，从而这些偏导数还可以继续求偏导数,这样就能够逐阶求得多元初等函数的高阶偏导数.f"y（x,y）,/；（x,y）这样的时不同变量求得的高阶偏导数称为混合偏导数.可以证明:UAv=O或Ax=0dy在点连续dx歇x,y)/(x.>>)在-%点连续：HmAz=0八—)若偏导函数图(x,y)和/：(X,y)都在点(xo，yo)处连续，则必有北(%%)={：(%,为)•这种性质称为混合偏导数与求导的次序无关，它成立的条件是这些混合偏导数连续.对一般的n(〃22)元函数的m(m>2)阶连续混合偏导数相应的结果也成立.F.一(X,y)*(0,0)【例1】函数/(无，y)={/+丁/ 则/(x,y)在(0,0)处0 (x,y)=(0,0)(A)连续，偏导数存在 (B)连续，偏导数不存在(C)不连续，偏导数存在 (D)不连续，偏导数不存在【例2】讨论二元函数f(x,y)=<X2f(x,y)=<X2—y2xy—^y)*(0,0),x~+y~ g(x,y)=<0, (x,y)=(0,0),x—yxy-2x+y0,,(x,y)(0,0),(x,y)=(0,0),在(0,0)处的可微性.【分析】用可微的必要条件与定义.注意这两个函数满足/(0,0)=g(0,0)=0,且f(x,O)=g(x,O)f(x,O)=g(x,O)=0,x*0,0,x=0,=0,Vx故£(x，o)=g；(x,0)=On£(0,0)=g；(0,0)=0，类似可得/；(0,0)=g；,(0,0)=0,从而只需验证这两个函数是否满足在点(0,0)处的可微性条件.记°=J"+.,不难得到函数f(x,y)满足」(Ax,Ay)-/(。,。)-f：(0,0)Ax-/；(0,0)Ay_/(Ax,Ay)从而'/竺①/(")二总00)七岁土咫=0,由此可见，函数在点。->0 p(0,0)处可微.但是，当Ay=-Ax<0时函数g(x,y)却满足g(Ar,Ay)-g(0,0)-g；(0,0加-g；(0,0)AyP=电经竺)=垃邸0-例=一*=—L,这表明limg(Ar- =0不可能成立,p p3 2V2Ax3V2…p即函数g(x,y)在点(0,0)处不可微.§2多元函数的微分法必须熟练掌握多元复合函数求导的链锁法则和一阶全微分的形式不变性.设％=/(“,丫)可微,〃=0(%,)0与丫=犷(%,)0偏导数存在，则复合函数n,z、z1yl/包口将左左 n& dfd(p dfdi//dz dfd(p df3^z=f{<p{x,y),〃(x，y)］的偏导数存在，且一=-一--+—-――,一=—一--+-.dx dudx dvdxdy dudy dvdy上述公式称为链锁法则(或链式法则)，对各种其它形式的多元复合函数也可得到类似的公式.利用链式法则不难证明一阶全微分的形式不变性，即若z=/(“,v)可微，也可微,则有全微分公式dz=£'d"+f：dv利用一阶全微分的形式不变性以及全微分的四则运算法则d(»+v)=du+dv,d(wv)=vdn+i/dv,岭=曲泮("0),可直接计算多元复合函数与隐函数的全微分，再由全微分得到其偏导数，而不必用链式法则逐个求偏导数.常见题型：, °-arctan)【例1】z=(x“+y~)e*,求dz.【例2】设/(〃)具有二阶连续导数，且g(x,y)=/(-)+#(-),求/驾—V等xyoxdy【例3】设z=/(e*siny,x2+y2),其中/有二阶连续偏导数，求dz和三dxdy【解】ck=//•d(ersiny)+//-d(x2+y2)=//*(exsinydx+excosydy)+f'-(2xdx+2ydy)=(e*siny)+//-2x]dx+(庐cosy+力・2y)dy=工(//,evsiny+/；•2x)oxdydy=(力:e"cosy+f^2y)exsiny+/；-evcosy+(/2/excosy+/2；-2y)2x=力:sinycosy+/；，2e*(ysiny+xcosy)+46,肛+//・e”cosy【例4】设z=/(x,y)在点(1,1)处可微且/(U)=l，^|(1.1)=2^|<'.1)=3,例x)=/(x,/(x,x)),求，•【解】^(1)=/(L/(L1))=/(L1)=1/=2/⑴k=3/⑴"⑴=3"⑴.。'(幻=<'+/2'・；f(x，x)，；/(x,x) =(//+//) =2+3=5■心 dx y 曰。'⑴=2+3x5=17因此，/=51.【例5】设尸(工一招了一2,2—刈=0确定2=2(%,了)，其中尸(“，v,w)有连续的一阶偏导数，求生，生和dz.dxdy、 . d2z【例6】设z=Z（x,y）由2z+l=0确定，求dz和万亍【例7】设〃=/（x,y,z），9（x\ev,Z）=0,y=sinx,其中f夕均具有一阶连续偏导数【解】由于y=sinx,由=0,确定Z=Z（x），对x求导得dz姒，2x+Q：,evcosx+夕；」=0dxd71解得—=——^（2天斓+eycosxp：）OX（py■du,,1, ,,dz又丁=f+/?cosx+力丁，dx dx将上式代入得一=力'+ficosx——(2x〃+e'cosx(pr2)dx %【例8】设有三元方程xy—zlny+^=l,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个领域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x，y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).【分析】设函数尸(x,y,z)=xy-zlny+ev:—1,则F(x,y,z)具有一阶连续偏导数，且RO,1,D=0,娉(0,L1)=(y+zexz)|(0,u)=2*0,F；(0,l,l)=(x--)|(o.ltl)=-l*0,£'(O,l,l)=(xe"-lny)|(o,|“)=O,从而，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内方程尸(x,y,z)=0<=>xy-zlny+exz=1确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).故应选结论(D).【例9】设/(，)在［0,+8)有连续的二阶导数，/(0)=(0),((0)=1且二元函数z=(?+y2)f(InTPTT7)满足14+^|=0求/⑴•【分析】Z只是「=后寿的函数.先由复合函数微分法导出z(r)满足的常数微分方程.再求相应的z(l),z'(l)，然后解相应的初值问题得z(r)表达式，通过变量替换得/«)表达式.

【解】(I)4-r=y]x2+y2,z(r)=r2f(\nr)TOC\o"1-5"\h\znz(l)=/(O)=0,z()=[2//(lnr)+//'(Inr) =1由复合函数求导法=z'(r)|^=-z'(r) =z"(r)，+('一5女'(「)oxdxroxrrr37 v 1v由对称性—=z”⑺=+(——=)&〃)代入方程nz〃(r)+—z'(r)=0

dy r rr r(2)求解初值问题z"(r)=-z'(r)=0«rz(l)=0,z'⑴=1对z'(r)而言，这是一阶线性方程.两边乘〃(r)=e”'二厂得(我'(r))'=0积分得rz'(r)=q由z'(l)=l=>q=1=>z(r)=再积分得z(r)=Inr+c2由z(l)=0=>c2=0=>z(r)=Inr.(3)由//(Inr)=Inr,令f=Inr=>/(/)=《/w[0,+oo)【评注】若知拉普拉斯方程今+2=0的极坐标形式富+粤+/■需=0由z=z(r)与。无关，可直接得与+｝祟=0.§3多元函数的最值问题【例1】求函数/(%,〉)=/+2)1一/),2在区域。=｛*,、)k2+,2〈却0｝上的最大值和最小值.【分析与求解】(1)求。内的驻点及相应的函数值.由=2x-24=。，得卜1,=4、,—，丫2、,=n =i>/2.于是/(x,y)在。内有2个驻点：Mj(J5,(-V2,1),相应的/(M,)=2(i=l,2).(2)求y)在。的边界上的最大与最小值.。的边界由两部分组成.一是直线段〃|：y=0»-2<xW2,在4上f(x,y)=x2(―2WxW2),最小值为0,最大值为4.另一是上半圆周匚/=4一/(_2WxW2),在心上/(x,y)=x2+2(4-x2)-x2(4-x2)=8-5x2+x4=(/--|)2+(h(x)(-2WW2),

h\x)=2(x2——),2x,由"(x)=0得x=0,x2=今又〃(0)=8,〃(士J|)=;，〃(±2)=4,于是/(x,y)在。的边界上的最大值为8,最小值为0.(3)通过比较知，f(X,y)在O上的最大值为8,最小值为0.【例2】设f(x,y)=x3—4x2+2xy—y21求/(x,y)在。={(x,y)I—1 —1内的驻点，并判断它是否极值点？是否最值点？【例3】设P(x*,y*)是椭圆周「：5+小=1外的一点，M。(xo,yo)是厂上与P点距离最小的点.求证：M>P的连线是椭圆周在点M)的法线.【解】由题设知点Mo是条件极值问题：求函数(x—x*)2+(y-y*)2在条件鸟+/-1=0下的最小值点.用拉格朗日乘数法求解.引入拉格朗日函数F(x,y,2)=(x-x*)2+(y-y*)2+2(=+%-1),求拉格朗U函数的驻点，即解方程组耳=2(x-x*)+与=0,aK'=2(y-y*)+冬=0,h2 2£ +方T=Gab, , — mi— — xv从刖两式消去之，得驻点M(口田的坐标满足x-x*y-y*=—：—ab~注意，上式表明直线讲的方向向量与椭圆周〃在点面处的法向量平行，可见在任一驻点而处，直线桥都是随圆周〃在点而处的法线.由于最小值点必为驻点，所以，在〃上与点P距离最小的点Mo也是如此.【例4】分函数w=x2+),+/在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.【解】令尸(x»y,z,X,w)=x2+y2+z2+2(x2+y2—z)+u(x+y+z—4)解方程组TOC\o"1-5"\h\z=2x+22x+w=0 ①=2y+24y+〃=0=2z-2+u=0 ③=x2+y2-z=O ④=x+y+z-4=0由①，②得x=y(A=-1,“=0不是解)，再由④，⑤得z=2x\z=4—2x,解得Pt(1,1,2),P2(-2,-2,8).相应地u(P|)=6,u(尸2)=72因此，在所给条件下，”的最大值为72,最小值为6.【例5】生产某产品需投入两要素，即和必分别是投入量，。为产出量；若。=2xfx(,其中a,夕为正的常数且。+6=1.假设两种要素的价格分别为P，尸2.试问：当产出量为12时，两种要素各投入多少可使得总费用最小？【例6】(数三，数四)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两上市场的需求函数分别是Pi=18—2。”02=12—02，其中Pi和匕分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），Qi和。2分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨）,并且该企业生产这种产品的总成本函数是。=2。+5,其中。表示该产品在两个市场的销售总量，即。=。1+。2.（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两上市场上该产品的销售量和统一价格，使该企业获得最大利润，并比较二者的总利润的大小.【分析与求解】（D总利润L=L修）L=R-C=S0+P2Q2）-[2（Q]+。2）+5]=+160+10&_5求当时/（21.。2）的最大值点.oj—=-401+16=0dQi*=—2Q,+10=0得唯一驻点（。1，0,）=（4,5）.由于实际问题存在最大值，故最大值必在驻点达到.因此，产品在两个市场上的销售量分别为。।=4（吨），°z=5（吨），相应的价格pi=10（万元/吨），P2=7（万元/吨）时，获得最大利润：L=-2x42-52+16x4+10x5-5=52（万元）（2）这是条件极值问题.约束条件是P|=P2,即18—2Q|=12—02即2。|一。2—6=0.求L（Qi，。2）在条件2Ql°2-6=0（。/0,。220）下的最大值点.产⑹，②，㈤=-2Q-16Q1+10。2-5+〃20-。2-6)—=-40,+16+22=0dF—=-20,+10-2=0dF-=2Ql-Q2-6=0OA得Q=5,02=4,（x=2）.相应地Pi=P2=8.因驻点惟一，实际问题存在最大值，故最大值必在驻点（5,4）处达到.因此，当产品在两个市场上的销售量分别为。产5（吨）,02=4（吨），统一价格为夕=02=8（万元/吨）时，获得最大利润.L=-2X52-42+16X5+10X4-5=49（万元）由上述计算结果可知，企业实行差别定价所得最大总利润大于统一定价时的最大总利润.第九讲二重积分一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握二重积分对直角坐标与极坐标的计算及分块积分法和简化计算机的若干方法.②计算无界区域上简单的二重积分.(只对数三，数四).§1二重积分的概念与性质二重积分的定义：设D是平面。孙上的有界闭区域，/(x,y)是定义在D上的有界函数，f(x,y)在。上的二重积分 吧支D ，=1这里D被分割为〃个小区域Acr.(f=1,2,它们的面积也分别记为Acr,(f=1,2,••,«),d.是的成［径 ，而d=max{d}(《，7.)是在小块Ao;中任取的点(i=l,2,…，n).可积函数类：当二重积分07(x,y)db存在时，称f(x,y)在。上可积.若/(x,y)在。上连续,D或f(x,y)在。上分块连续且有界，则/(X,y)在。上可积.二重积分的几何意义：当/(x,y)20时，y)db表示上顶面方程为z=/(x,y),底面区域为平面Oxy上的有界闭区域。的曲顶柱形的体积.二重积分的物理意义：当f(x,y)NO时，y)dcr表示质量面密度为/(x,y)的薄板。的质量.二重积分的重要性质：二重积分与定积分有类似的性质，即线性性质，时积分区域的可加性，比较性质以及被积函数连续时的积分中值定理.(1)线性性质；若函数/(x,y)与g(x,y)在区域。上可积，4与8是两个常数，则函数4/'(x,y)+Bg(x,y)也在区域。上可积，且y)+Bg(x,y))db=Ay)db+8jjg(x,>)dcr.TOC\o"1-5"\h\zD D D(2)对区域的可加性；若函数/(x,y)在区域。上可积，O被曲线分为两个区域5与。2之和，则函数/(X,y)也分别在区域与。2上可积，且y)dcr=y)dcr+JJ/(x,y)dcr.D Di D2(3)比较性质；I.若函数/(x,y)与g(x，y)在区域。上可积，且f(x,y)Wg(x,y)在区域O上成立，则y)dcr<y)dcr.D DII.若函数f(x,y)与g(x,y)在区域£)上连续，且y)Wg(x,y),但f(x,y)不恒等于g(x,y),则y)dcr<jjg(x,y)dcr.D D(4)积分中值定理.若函数火x,y)在区域D上连续，则存在C，〃)€。，僚孑y)db=f&77)回.其中回是区域D的面积.【例1】/(/?)=JJ/(x,y)db,其中/(x,y)连续,/?f0时/(R)关于R是几x2+y2^R2阶无穷小？【分析】考察/(R)与R的关系，由二重积分的中值定理知，三©〃)C2+〃2〈r2)使得/(R)=/C，Z7)7T/?2再由f(x,y)的连续性=> 竿^=妙(0,0)因此，当/(0,0)彳0时/(R)是R的2阶无穷小，当/(0,0)=0时/(R)是N的高阶无穷小(Rf。).【例2】设。是平面上以4（1,1）,8（-1,1）,。（一1,一1）为顶点的三角形是D在第一象限的部分，则4-cosxsiny)dxdy=（用⑶上的积分来表示）［例3］设A=JJcosJx:+y2dcr,(=jjcos(x2+y2)dcr,

D D/3=jjcos(x2+y2)2da,其中。={(1,y)|x24-y2 1|,则D(A)I3>/2>Ii (B)Ix>l2>I3(C)I2>I\>l3 (D)I3>IX>I2【分析】在区域。上，(X2+>2)2</+y2W"工2+y2(<］)TFcos.在［0,耳］单调下降ncos(x2+y2)2>cos(x2+y2)>cosJx2+y2,X X它们在D均连续n/3>/2>Zi因此选(A).§2在直角坐标系中化二重积分为累次积分。为平面上有界闭区域，/（x,y）在。连续.先后y后x型：D=［（x,y）|aWx WyW°2（x）｝y)d(T=£dx£k(x)f(x,y)dyD先x后y型：D={(x®)|(W奚於渤(y)x(p2yJJ7(x,y)db=1dy0：：/(x,y)dxD其中0(X),(p2(x)在［a,切连续，(P\(x)»02(x)在[a，夕]连续•特例：。为矩形：a^x^h, BJj7(x,y)db=[(ff(x,y)dy)dxD=f((〃x,y)dx)dy交换累次积分次序与累次积分计算【例5】将'f(x,y)dr交换积分次序.j]7(x)g(y)dcr=f/(x)ckf【例6】设/(x)= 求//(x)dr.§3二重积分的变量替换2.极坐标变换:x=rcosO.y=rsin。jj/(x,y)dcr=j|F(r,^)rdrd^其中F(r,6)=f(rcos6,rsinff)D D进一步化为累次积分.(1)先r后e极点在O外部：。：良0耐(6)rr2(0)极点在。内:D:0系糜《(>re极点在。的边界h：

8=出⑺r=r(5)D:a4买洒)r*6)Jj>(r,0)rdrd8= 尸(r,8)rdrD【例1】设0=8=出⑺r=r(5)D:a4买洒)r*6)Jj>(r,0)rdrd8= 尸(r,8)rdrD【例1】设0={(x,y)|W+y2〈锵y+]},/=JJ(x+y)d(7.D【例2】设。为圆域f+y2WR2,则“('+W)dbh‘僧2"产'cos28sin?。、2.f,cos20sin20x.n(*3,原式=1 (丁+点厂)厂"dr=』(丁+下一)dO「rdrO:a〈W/^(r)06>2(r)JjF(r,8)rdrd8=fdrj；尸(r,。)rd。D直线y二一x围成的区域.【分析与求解】曲线是圆周/+(y+a)2=。\y2—。部分，它与直线y二一x围成。,见右图，被积函数只与r=M+y2有关(2)先。后r型e=a(r)【例3】计算2-X2(a>0)和+； 2db,其中。是由曲线y=-a+《々x=rcos6,y=rsinO,则该圆周的极坐标方程是r=-2asin。，于是O：-XweW0,0〈rW-2asin。44a2sin2f2cleos4a2sin2f2cleostdt

2aVl-sin21【例4】fd。，f(rcos0,rsin0)rdr-f(x,y)dyf(x,y)dr4) r-2asin。 r•r原式=f.d6「 dr(三角代换)=2a2(i_cos20dr=a2(---)极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积的转换§4怎样应用二重积分的计算公式并简化计算在二重积分的计算中，要注意应用一些技巧：如：把积分区域适当分块，选择适当的坐标系，选择适当的累次积分的次序，平移直角坐标系，等.还要注意应用以下二重积分的简化计算方法：(1)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性简化二重积分的计算若积分区域。关于y轴对称，被积函数f(x,y)对于变量x有奇偶对称性，则°’ /(-X，y)=~f(x,y),2JJ/(*'y)drdy,f(-x9y)=f(x,y).Dn).i>0)若积分区域。关于X轴对称，被积函数/(x,y)对于变量y有奇偶对称性，则

JJ7(x，y)drdy=(' y)dxdy,f(x,-y)=-f(x,y),2卜刈 f{x,-y)=f(x,y).(2)利用二重积分的几何意义简化二重积分的计算若已知积分区域。的面积，则JJdxdy=D的面积.D【例1】。是以(0,0),(1,2)(2,1)为顶点的三角形区域，求/=jjxckdy.D【例2】求/=fjemax^''：}drdy,其中。={(x,y)[0<xW1,0Wy<1}.D【例3】求/=『dx,singdy+fdrsindy【例4】计算二重积分J1x2+y2-“db,其中O={(x,y)|0〈x〈l,0Wy〈l}.【解】将积分区域分块，设D,={(x,y)k2+y2wi}c£>,2={(x，y)|(Y+y221}c0,则0=5+02，且可分块计算二重积分jjlx2+y2-11dcr=jjlx2+y2-11dcr+jjlx2+y2-11dcrD Dj D2jj(x2+y2-l)do-,=jj(l-x2jj(x2+y2-l)do-,o, d2用极坐标工二厂(：0§。，y=rsin。计算第一个二重积分，由于A={(r,6)IO<。<巴，0&Y1}故JJ—2_y2)db=fd"A。一沙”UK用直角坐标计算第二个二重积分，由于D2={(x,yMOWxWLjl*WyWl}

1)dxd—-l)dCT故jj(x2+y2-l)dcr=J；dxd1)dxd—-l)dCT故jj(x2+y2-l)dcr=J；dxd2 4D=D,\D2。|={(乂刈-2〈区@短y2}D2={(x,y)\-^2y-y20}I=ff.vdo--Jjydo-^=7j-12Ad2对L，作极坐标变换，D2的半圆边界是/+y2=2y,x<o即r=2sinW。〈兀）【注意】第二个二重积分JJ（/+y2—1川。的计算可以大大简化.这是因为%=JJ(x2+y2-l)dcr+jj(l-x2-y2)d<r=j|x2d(t+j|v2da-jj(【例5】求/=JJydb,其中D由直线x=—2,y=0,y=2以及曲线x=—向二T7围成・TT=0+4--（奇偶函数积分性质，定积分几何意义）2【方法2］。看成正方形区域与半圆域的差集.=」+2Kos.33上Ix2+y2-11dcr=1 231乃 7 1c――一一+ = .最后可得3 3422 8 3【分析与求解】曲线：1+（丫-1）2=1,lWO,。如右图.【方法1】在直角坐标系中，先X后y的积分顺序I=I；dy y#=£y(2-yl2y-y2)dy=fy(2-，-(…尸四二三0+1)(2-VT7)dr于是，心：•奥-nrmilsiromfmilsiromf0 r/2=族。［rsin6rdr=Jsin。」/

32sin0d^=-jsin40

32tt7t4n,n83-1

singd〃=_・ 34-222因此【方法3]。关于y=l对称.作平移变换D变成。：—2W〃《一J1—它关于“轴对称I=jj(vI=jj(v+l)dwdv=jjvdwdv+DfD'jjd〃du=0+O'的面积=4一区.o 2【例6】求/=Jjy[l+xW]dcr,其中D是由直线丁=x,y=-1及x=1围成的平面区域.【例7】求/=JJ(x2+y2)db,D：|x|+|y|^1.D【例8】设区域O=[尤，y)|x2+y24,x20,y20},/(x)为。上的正值连续函数,a,b为常数，a,b为常数，则/=■aylfM+byjf(y)VTw+VToo(A)ahn、(A)ahn、ab

B)——712(C)(a+b)n【分析1】特殊选取/(x)三1,则1sb1+11sb1+1a+b冗.a+b ■4= 7CJ/(x)+J/(y)选⑺).无界区域上的二重积分(只对数三，数四)J/(x)+J/(y)选⑺).无界区域上的二重积分(只对数三，数四)一般原理：用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分.设函数/(x,y)在无界区域。上有定义，且在区域。的任何有界部分上/(x,y)的二重积分存在，则函数/(x,y)在无界区域。上的二重积分JJ7(x,y)db呵/吧y)db.D 厂Df其中区域。「是由曲线「从。中分割出来的有界区域，且当「移动时有界区域。「趋向于无界区域。.通常取B,=Oc|(x,y)11x快闻y|叶(b>0)或4=0通常取B,=Oc作为从无界区域。中分割出来的有界区域，不难发现，当bf+8时有3,一。；而当Rf+00时有DrfD.【例1】求/=JJxe-『db,其中。是由曲线y=4f,y=9』在第一象限围成的区域.D【解】当人一+00时，有界区域&=。c{y/呼&{私旨)10yb,x 将趋向于无界区域。，从而jjxe"'dcr=limffj(e'v2d<T=limfe'vdyfrxdx=lim4;fve-vdy=lim±(l-e")=±2 …Ag"可…72K,g+el44' '144【例2】求，=LLmin{x,y}e"+『）db【解】设R>0,且Or=（u，y）|x2+y2^/?2）,则当/?f+oo时，有界区域Or趋向于所求的积分区域全平面.引入极坐标系（r,。）满足x=rcos8,y=sin。，于是可得/=limffmin{x,y）e（v-+y-）clcr_]jm[丁dmin{rcos0.rsin0]e~/=limffmin{x,y）min{cos0.sin0]d0lim r2e-5又因J：21tmin{cos6,sin。}d6=«sin8d8+J*os。d6+Jsin6dO=-20.又因limJ；rV2dr=-^ffm（re-:-祚-，力）=；『■J2n2第十讲级数（数一，数三）知识网络图概念性质按定义-由收敛的必要条件数值级数9£a**-1别歌的法

判敛性方利用收敛性判别法则厂正项概念性质按定义-由收敛的必要条件数值级数9£a**-1别歌的法

判敛性方利用收敛性判别法则厂正项级数♦收敛的充要条件，比较判别法（比较原理及其极限形式，极值与比值判别法，确定叫关于工n的阶，p级数与几何级数）变号级数'交错级数（莱布尼兹法则）1绝对收敛还、一般情形是条件收敛J利用级数的若干性质（添加括号、分解法等）求察级教（及一般函数项级数）收敛域的方法喳鬻票）的充要条件（五个面单函数的幕级数展开，分解法，变量替换,逐项求导与积分）喳鬻票）的充要条件（五个面单函数的幕级数展开，分解法，变量替换,逐项求导与积分）俄定义在［-1/］上函数的傅氏级数傅氏级数（只对数一傅氏级数（只对数一）求定义在［0,八上函数的正弦或余弦级数已知函数表达式求它的傅氏级数和函数的表达式重点考核点这部分的重点是：①数项级数的敛散性判别与某些数项级数的求和（敛散性包括绝对收敛还是条件收敛）.②求案级数的收敛区间与收敛域.③怎样求某级数和函数，怎样求函数的基级数展开式.④怎样求函数的傅氏级数及如何确定它的和函数（只对数一）.§1级数的基本概念与性质数列｛〃”｝的各项依次相加岂““称为数项级数.““称为级数的n=l第〃项或一般项.Sn=Wj4-u2d +〃〃,（.〃=1,2,・・・）称为级数SZ 的前〃项部分和.若limS,,=5,存在，则称级数十“收敛，并称极限值S为该级数的和，记为允=S.若M-HOTOC\o"1-5"\h\zn=\ "=1limS“不存在，而称级数发散.级数的基本性质有:n->aon=l（1）级数收敛的必要条件：若级数收敛，则lim〃“=O.//n nM—XX）n=\由此可知，若lim%。0,则级数〃乙”。必由此可知，若lim%。0,则级数〃乙”。“T8 乙"”调和级数虽满足limL=O,但发散.占〃…n（2）收敛级数的线性运算性质：若级数文““与之都收敛，4与B是两个常数，则〃=|〃=1TOC\o"1-5"\h\z级数£（4"“+8乙）必收敛,且之（4""+叫）=+81与•n=l 〃=1 n=l n=l00 8 8由此可知，若在级数“与Zl中一个收敛一个发散，则级数汇（““土匕,）必发散.n=1 n=l n=l（3）收敛级数的顺项可括性质：若级数之“收敛，则不改变级数各项的顺序加括号所”=1得的任何新级数仍收敛，且级数的和不变.例如：若级数次“收敛，则将其相继两项或相继三项加括号所得的级数"=|之心+町.）与之（、2+“皿+%“）都收敛，且Z+%）=》.•“=]”=]»=|"=|«=•性质（3）有两个重要的推论：推论1,若某级数有一个顺项加括号所得的级数发散，则该级数必发散.推论2,若级数"满足lim〃“=0,又其相继两项加括号所得的级数n=l n->oo£（4i+%.）收敛，则级数lx必收敛，且为〃"=£（”"+%）（证明见例1）,但是，一n=l n=l 附=1 n—I般说来，仅从某级数有一个顺项加括号所得的级数收敛，却未必能得出原级数收敛.例如：级数1-1+1—1+1—1+…发散，但其相邻两项加括号所得的级数（1-1）+（1-1）+（1-1）+…却是收敛的.（4）从级数中任意去掉有限项，或添加，或改变，都不影响级数的敛散性.从而在讨论级数的敛散性时可以只考虑从某项以后的项组成的新级数的敛散性.TOC\o"1-5"\h\z【例1】设»“的部分和为S,（〃=1，2,3,…），且满足lima”=0,limS2“=S（或n—>oo n-^xilim

n—H-x即级数的和为5.S2„_!=S),求证级数收敛，且£a“=S,lim

n—H-x即级数的和为5.【例2】讨论级数Z乎的敛散性.n—\ 〃［例3］求级数X 公——的和.“=|(〃+1) +〃 +l(n+1)yfn+几+1yfHJ.+1(J.+1+5/h)_Jrz+1-y［n_1 1J.+1y/n4nJ.+l考察部分和=Z4=Z^~iv万i)=1/-24=limS〃=1•【例4】设数列｛九｝存在极限limb”=8.求证：Y(bn-bn+l)=\\bk-lB,其中/"T8 n=l «=1是某自然数.【例5】已知三（-1产。“=2,2。2"-1=5,求Zann=l n=l 〃=1§2判别级数敛散性的方法.正项级数若(n=1,2,…)，则称£〃“为正项级数.n=l正项级数发“的特点是它的部分和满足SI〈S2〈S3<……，从而，正项级数收敛的充分必要条件是：存在常数M,使得级数的部分和满足(〃=1，2,•••)正项级数的收敛判别法：(1)比较判别法两个正项级数之间，可以通过比较它们通项的大小，从其中一个级数已知的敛散性来判断另一个级数的敛散性.TOC\o"1-5"\h\z设和Z%都是正项级数，若(”=1,2,…)，贝喈2乙收敛时有m=1 n—\ n=\ n—\收敛；当发散时有£心发散.〃=1 n=l比较判别法还可以写成极限形式：若lim±=&，则当OWk<+oo时，从收敛可得“收敛；当0<k4+oo时，从玄V.181)n „=\ ”=] ”=]发散可得发散.£十称为p级数，当p>i时0级数收敛：当时p级数发散.在比较判别法中常用p级数来判定给定级数的敛散性.这时比较判别法的极限形式是：若!如〃=左，则当0<kV+8且0>1时，级数收敛；当OVk4+8且时，级数次"发散.n=\ ”=1(2)比值与根值判别法若正项级数满足lim5=上或lim亚'="则当OWkVl时收敛；当,1" …"" …* “I"i<k〈+oo时发散.n=l".交错级数，绝对收敛与条件收敛即有无穷多个正项又有无穷多个负项的级数称为一般项(或任意项)级数.最简单的一般项级数是交错级数：若即>0("=1,2,•••),则称为交错级数.n=l莱布尼兹判别法：若“1》“2》"3""""讶"，且!通”“=0，则级数£(一1)"'〃“收敛.交错级数的一种常见形式是它的通项〃“=/(〃)(〃=1,2,……),则函数/(X)在有定义.按莱布尼兹判别法可知，若函数/(x)当X大于某一正数时单调减少或/'(x)W0,且lim/(x)=0,则交错级数N(-l)”"(")收敛.XT+® «=|一般项级数ix的绝对收敛与条件收敛：若走|收敛，则称级数绝对收敛；若nd /tal1 ns|/I%I发散但收敛，则称级数条件收敛.不难得出，交错0级数之空;当0>1时绝对收敛，当O〈P<1时条件收敛，而当。<0时发散.还可得出有关绝对收敛或条件收敛级数与它们中正项或负项组成的级数敛散性的以下重要结论：(1)级数1un绝对收敛O级数t叱卬与t-一国都收敛.(2)级数条件收敛n级数N 与火""一!""都发散.n=\ n=l2 "=l 2(3)级数£&半」与古工半」一个收敛一个发散=>级数>发散.【例1】判断下列级数的敛散性8 mn-1⑵&--__

"(2n2+n+l)~【例2】讨论下列级数的敛散性N(l-cosq)(a是常数) (2)t— (3)£―—(p#l)n=,n n=2〃/ n=2npInn解：⑴因l-cos£[4=原级数收敛.(2)生，>：(〃》篡np1时原级数发散.当p>l时，取a,p>a>l,因1而由4/-1=lim皿=0,及:收敛=>原级数收敛.〃t+8nl/nzm £na(3)——<—("2的np>l —收敛.当P<1时，取a,p<a<\,因np\nnnp n=2npInnlim/'=lim；「=+8及之二■发散发题J— ."->+a>nInn/n«->+«>Inn n=in n=inpInn【例3】判断下列级数的敛散性ta2n,其中正项级数之凡收敛.”=1/»=1(2)之(1-2)其中小｝是单调上升有界的正数列."TX.+1【分析与解法】(1)±a“是收敛的正项级数=部分和£=。|+敢+…+。”有界，即存TOC\o"1-5"\h\z在常数M,使S.WM5=1,2,3, .记之组”的部分和为(〃=1，2,3-),即7“有界=之%”收敛•“=】 n=1｛八｝为单调上升有界的正数列=>(J<1_工=K-Xy-”

x”+iX““X注意正项级数£(x.+i-x”)的部分和5“=£(4+1-乙)=X"+1-玉n=l a=l有界=火(X--X”)收敛X"收敛.再由比较原理知之(1一')收敛•”=| »=1 & ”=lX”+l

【例4】判断下列级数是条件收敛还是绝时收敛或发散.【例5】设““W0(〃=1,2…)且lim2=l,则级数£(一1严(L+」一)—Un 0=1 Un»,1+|(A)发散(B)(A)发散(B)条件收敛(D)的收敛性根据所给条件还不能判断.【解】由lim°=l>O=mN,">N时““>0,不妨认为V”，«„>0,考察原交错级数的部分和〃nn〃S“这(T尸—+Z(-Dt+，—=/(T>—+X(-D*—L=] “AZ=1 W... X--1 u.I.-J U.(—1严(—1严4 —(n—»+8).n原级数收敛，再考察取绝对值后的级数Z(—+—)-=52(—1—)发散因此，选(c).念U“«„+)【例6】Z(T)"(k>0常数)(A)发散(C)条件收敛(B)绝对收敛(D)敛散性与女有关【例7】Z(sinanI—)(a>0常数)(A)(A)发散(B)绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与。有关【例8】£收敛,

〃=1-\a则Z（T）"/」'（A>0为常数）•（A）发散（C）绝对收敛（B）条件收敛（D）敛散性有人有关【分析与求解】用分解法【分析与证明】〈B〉了“=下面证明原级数收敛.【方法1］两两添加括号这是负项级数.考察部分和n-2 n-2【例10］证明级数Z【例9】判断级数2n=2(-1)"y/-n-(-1)"n-i(-1)"(-D"易知，ZaE”收敛，=-%+(?古)+(?%)+_L)+_J=>iJ2tl>j2,n+1 y/2.n。有下界，又原级数般项趋于零n原级数收敛. -1+1y/2n(V2n+ + -1+1y/2n(V2n+ +1b=1__1二亚-与+1

“-7271+1y/2ny/2n+\yf2n= J ◊严卮"n?2n=<B）是负项级数，又尤不上才收敛=<B）收敛.又原级数一般项趋于零n原占25/2n3/2级数收敛.【方法3】原级数J___L+_2___L+....!匚+…石近由4 岳71后是交错级数，表成£（一1）"/，这里liman=0,但。“不单调.n—>-kon=2奇偶项两两互换得级数J=+J=--J=+-U--，=+T二■-…V2V3V4V5V2n2n+1仍是交错级数，表成2（-1厂也也=%单调下降且!皿"=0,于是玄收敛，又原级数一般项趋于零=原级数收敛.【评注】该例中用到级数的两个性质：设有级数〈A〉：〉"满足 鼬4"“=|r若（q+4）+（%+。4）+…+（。2“-1+%）+…收敛，则〈A〉收敛且和不变.2°若42+4+/+〃3+,・・42.+°2〃-1+…收敛，则〈A〉收敛且和不变.§3嘉级数的收敛域及幕级数的性质a(,+q(x-Xo)+a2(x-Xo)2+-・+a.(x-x())”+'■=^an(x-x0)"〃=0称为关于X-%的嘉级数;a04-a}x4-a2x2+••,+anxn+•••=，qx”n=0

称为关于X的基级数.用自变量的变换X-XO=t可把关于X-XO的嘉级数化为关于t的事级数来研究.因此，以下主要讨论关于X的基级数.关于某级数的敛散性有重要结论：若‘幕级数fqx"在点X|WO处收敛，则当n<） n0|xgx,|时某级数绝对收敛；若幕级数£*V”在点X2处发散，则当|x|>|Xz|时幕级数发散.基于这个事实，可以得出基级数£a“x"的收敛性只有三种情形：（1）对任何x幕"=（）级数为qx”都绝对收敛.这时称'幕级数fa,x”的收敛半径为+8,收敛区间与收敛域“=0 〃=0都是（-8,+8）.（2）对任何x#0幕级数£a“x"都发散.这时称累级数£a“x”的收w-0 n=（）敛半径为0,收敛域是{x|x=0}.（3）存在常数R>0使得，当|xkR时塞级数绝〃=0对收敛，当|x|>R时基级数£a”x"发散.这时称某级数的收敛半径为R,收敛区间是开区间（一R，R）,收敛域是收敛区间加上使基级数收敛的端点x=R或x=—/?组成的集合.收敛半径的求法:若工0（〃=收敛半径的求法:若工0（〃=1,2,…），则求极lim“ 、 rt—»xk=0女=+oo攵<0<+8=R=+ooO/?=0oR4若有无穷多个系数斯等于零，则利用比值判别法宜接求某级数中后项与前项绝对值之比的极限，并利用比值判别法得出结论.注意：募级数的收敛半径在对塞级数进行逐项积分或逐项求导的运算时不变.即若'幕级数之可丁的收敛半径为正数R（或+8）,则'幕级数£〃（〃_1）6广2,n=0 〃=2yanyan父,1,y凡小2台〃+1 '台5+l)(〃+2)‘的收敛半径仍为正数R（或+B【例】求下列幕级数的收敛半径与收敛域【例】求下列幕级数的收敛半径与收敛域（1）yln(l+n2/【解】先求Rlim：ln(l+〃+1)/W±n)

n【解】先求Rlim：=>收敛半径R=l.x=l时£处0发散（因为凶土肛>工（n>D）收敛（因为这是交错级数，lim凶土也=0,由证明«->+«>〃

ln(l+x)当x>［时单调下降可知ln(l+n)单调下降).x n因此收敛域为［-1,1)⑵Z备”n=\〃°产,1【解】令f=x-3,考察Zrt=l713=>R=>R=3.001 8(-11〃f=3时Z上发散，f=-3时收敛.收敛域为［-3,3).«=i〃 «=1〃回到原问题，收敛域为［0,6).8(3)已知某级数Z《,(x-2)"在x=0处收敛，在x=4处发散.n=0(4)X-(4)X---X白(-3)"+2"2n-\(5)y——-——七3"+(-2)"n(6)设之a"x”的收敛半径/?=3,则£〃a“(x-l)"的收敛区间为-n=l 〃=1§4求嘉级数的和函数与求函数的塞级数展开式I.求幕级数的和函数某级数在其收敛域D上有和函数，即存在函数“=()S(x)使得£a“x"=S(x)(xeD).；»=<)寨级数£a“x"的和函数S(x)具有如下重要性质：“=()(1)S(x)在收敛域。上的连续；(2)