考研高数习题集(下)

下册目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第五讲：多元微分与二重积分 2单元一：概念 2单元二：偏导与全微分计算 3单元三：隐函数求导（方程或方程组） 5单元四：二元极值 7单元五：交换二次积分次序 9单元六：二重积分计算 10单元七：二重积分应用 14\o"CurrentDocument"第六讲：无穷级数 15'： 15单元二：数项级数审敛 16单元三：幕级数 18单元四：傅里叶级数 22\o"CurrentDocument"第七讲：向量代数,解析几何与偏导应用 24单元一：向量代数 24单元二：解析几何 25单元三：偏导数的几何应用 26单元四：方向导数与梯度 28\o"CurrentDocument"第八讲：三重积分与线面积分 29单元一•：三重积分计算 29单元二：三重积分应用 31单元三：第一■类线面积分计算 33单元四：第一类线面积分应用 36单元五：第二类曲线积分与Grenn公式 38单元六：积分与路径无关性 41单元七：第二类曲面积分与Gauss公式 43单元八：第二类线面积分应用 46单兀九：环流量与Stokes公式 47第五讲：多元微分与二重积分单元一：概念TOC\o"1-5"\h\z1.函数z=&2+y'在(0,0)点 [A]A:连续不可导； B:可导不连续；C：可导连续不可微； 全微分存在2.2,丁+y2Ho.函数z=1x-+y- 在(0,0)点 [8]0x2+y2=0A:连续不可导； B:可导不连续；C：可导连续不可微； 全微分存在.函数(l)z=Jj^i；(2)z=y/x3+y3在(0,0)点 [C]A:连续不可导； B:可导不连续；C：可导连续不可微； 全微分存在.f=(x2+y2)F(x,y),其中尸在含点(0,0)的邻域内有界，则/在点(0,0)处：[。]A:连续不可导；C：A:连续不可导；C：可导连续不可微；.设g(x,y)连续=|x(x+y)sin—r-.证明：Z=, 厂01(1)— =— =((o,o)力(o,o)f2.1,八、\xsin—(2)z(x,0)=< x1oB：可导不连续；。：全微分存在-y\<p(x,y)，研究F(x,y)在原点的连续，可导，可微性.［略］^—y,x2+y2#0+/ 在点(0,0)可微，但偏导不连续.x2+y2=0Az-(—Aa+—Ay)(Ar2+Ay2)sin—弓 7) 电 ；竺+△/：o7^+Ay2 7kt2+Ay2. 1• 1 2 1一八,Z.(x,0)={ x2xx2 不连续］x=0 ［ 0 x=0单元二：偏导与全微分计算x-y生z=arctan 单元二：偏导与全微分计算x-y生z=arctan -,求:【+取匹5x2(0.0)[z(x,0)=arctanx=>2x=0]u=xnf(^,~),/(u,v)的一阶偏导存在，证明：x—+y—+z—=nu.xy oxoyoz[ux=nxn~'f-xnlyfl，u=xn~'f^-^-f2,uz=—f2]yyz=2、，/(“)可导，且/3)h0,证明：-^+-^=4.f(x-y) xdxydyy=_2xyCzJ+2月，i' /2，4y/2J证明：方程y—+x—=0有形如：“ 的解.其中/为任一可微函数.oxoy[=2灯My—-2*,]力z=e~=rcosffdu.,——=wv(-rsin^)+uv(rcos0)=-yux=rcosffdu.,——=wv(-rsin^)+uv(rcos0)=-yux =0]y=rsin。60dxlfM=e~x-x2,q=-e~x-f\x-2y)=-e7+e^-2v)+2(x-2y)]6.7.87876.7.dx=cos0dr-rsinOdOdy=sinOdr+rcosOdOz=xf(x-y,xy^),x=rcosff.ydx=cos0dr-rsinOdOdy=sinOdr+rcosOdO[dz=f-dx+x[f](dx-Jy)4-f2(y2dx4-2xydy)],设〃=u(x,y)满足)，包=x电，证明：在极坐标下〃只与极径有关.oxoy

8.设8.设J= = = 变换方程:dududu八—4--+—=0.dxdydz[du=u.d&4-u〃d/j+14Pdp=u.dx+(dy—dx)+14P(dz—dx)/ 、」 」 ,SududuTOC\o"1-5"\h\z—(ue—u—it)dx+udy+udz 1 1 - —()]§"〃 " pdxdydz4证明：—-x—=0,作变换：u=x,v=x2+y2,贝U：—=0dxdy du[dz=zudu+zvdv=zudx+zv(2xdx+2ydy)=(zM4-2xzv)dx+2yzMy=>^=0]/(〃)可导,z=[ ，求:——.Jx-y dxdylzx=yf(xy)-f(x-y\=f(xy)+xyf\xy)+f\x-y)]7,g具有二阶连续偏导数，求：—,其中：oxdy(l)z=f(2x-y)+g(x,xy)[=-2f''+xg"i2+g2+xyg"22](2)z=-f(xy)+y(p(x+y)x[=yf''+(p'+y(p"](3)z=/(xy,-)+g(-)yx[略](4)z=f(ax-\-Py.^x-fiy)[=。(万力；一〃九)+“夕月一〃人；)】d2zz=/(x+sin(2x+y),y),求：—y [略]dy单元三：隐函数求导（方程或方程组）L⑴设yL⑴设y+z=l点求名生

zoxdy0&(2)*+*-二=/,求：丝3X(2.1.0)[dy-\rdz=—--,Jz=--^―(―Jx-Jy)]

xz1+zx[dz=e2(dx+2dy1— =e2]&(2,1,0)e?a?.尸（工一乙丁一％）=0确定2=恭居丁）,其中尸£。“），求S+3.oxdy「厂/」Ix「/」 」、八」£d%+居dydzdz”TOC\o"1-5"\h\z[耳(dx—dz)+F?(dy—dz)—0,dz— ； 二、—= 1 -1]6+工dxdy.x-〃z=/（y—bz）,其中/可微，。一炉’工0,证明：%+k=1.[dx-adz=f'，(dy—bdz),dz= {dx-f'dy)]4.设Z=Z（x,y）由方程尸*+三,>+工）=0确定,产偏导存在,求工包+丁包

yx oxdy4.， 7 1 • 7 I Cj7Cj7[耳(dx-'dy+—dz)+6(--*dx+dy+—dz)=0=>x—+y—=z-xy]

yy x x dxdy5.求:d2z

dxdy(l)x-eyz=0.5.求:d2z

dxdy(l)x-eyz=0.,z+1(2)In =y+zxIz=(土尸，求:dz| .yInx 1 1[Z= W=—,z= 7]y xy yxy.,Z+1z1,」、 Z+1[az= (—dx+dy)=>Zq.= j-]zx xzr1 1i /11、」dxdy.y[zInz=Inx-Iny=>(1+Inz)dz= ,dzxy,=dx-dy]u=xy2z\且z=z(x,y)由f+V+z?=3(z>0)确定，求：—,X(x,y)=(l,l)[z=l,<du=y2zdx+Ixyzdy+3xy2z2dz=dx+2dy+3dz , … …* =>Jw=-2dx-dy]2xdx+2ydx+2zdz=0=>dx+dy+dz=08.(l)z=w2+v2,x=w+v,y=8.(l)z=w2+v2,x=w+v,y=wv,求：Zx.zy[dz=2udu+2vdv,dx=du+dv.dy=vdu+udv=>dz=2xdx-2dy](2)z=xsinx-y2,cosy=ysinz,求：—dy[dz=(sinx+xcosx)dx-2ydy,—sinydy=sinzdy+ycoszdzdx 2y2cosz-siny-sinz=>—=- ； : ]dyycosz(sinx+xcosx)x+y=〃+v dudu. . ，求：—，—xsinv=ysinw dxdy__ (xcosv+sinv)dx+(xcosv—sinu)dy.[du= -Jxcosv+ycosw10.设<z=-+e-flV+/(a)，其中a=a(x,y)J可微，且有，=，，求:a(x,y).-/'(«)=- 8dyXr&xa-a_ayr,笈二十一"—ci dz a、，x dy x/ 、Inx2=>a(x,y)= ]yII.u=/(x,y,z),/gC(,),且<x+y-+II.u=/(x,y,z),/gC(,),且<，当x=l时，y=_l,z=_2

[3x2+y2-z2=0若。(1,一1,-2)=1,/«,-1,-2)=1,人(1,一1,-2)=2,求〃在工=1处的全导数[xdx+ydy+[xdx+ydy+zdz=0[<=>[3xdx+ydy-zdz=0dy=2dx.0,__.，du[^=fxdx+fydy+f.dz=2dx,ZtClZ=—CiJidudx=2]x=\单元四：二元极值.求函数/。,丫)=4。一》)-》2一/2的极值点ff=4-2x=0\ ,c 八=(2,-2);4=-2,8=0,0=-2,4=7=(2,-2)极大值点][4=-4-2y=0.求/(%,了)=(6%-/)(4/72)的极植./=(6-2x)(4y-y2)，/ 2、；:、n(3,2),(0,0),(6,0),(0,4),(6,4)n〃3,2)=36为极大值]fy=(6x-x-)(4-2y).z=z(x,y)由V+V+z?-2x-2y-4z-10=0确定,求极值[dz=(0Df+"二1)虫=(1,1,-2),(1,1,6)n・-=(1,1,-2)极小；(1,1,6)极大]2-z.z=(l+e')cosx-ye-v有无穷个极大值而无极小值zr=-(l+e')sinx=0 / 、〃 ，、八口M(2〃万，0),加,((2〃+1)肛-2)zy=e(cosx—1—y)=0=A=-(l+e‘)cosx,△峪=一2(极大)；△“，=/2(1+e")(非极值)].在2/+V+z2=1上，求距平面2x+y—z=6的最近点与最远点和最近最远距离.r,2(2x+y-z-6)~o2 2,21.,(2x+y-z-6)- 2,2,2n[d= ,2x+y+z=1=>L= fx(2x+y+z-1)[x=y=-z, 11 1 4,1 11 8=僻+户22=1%勺5―5)=忑"皿(一子一53)=忑].求/=〃片+…+ 满足…+Z=。的条件极值[L=a/；+•・・+anx^+2(Xj+方2+•••+X”-c)=>axxx=a2x2=•••=anxn.经过点(1,1,2)的平面与三个坐标面在第一卦限内可围成四面体，求体积最小值r x y Z . 1Z 1 , 112 1,1 0/112[7T\—F-H" —=1=> V =_abc, —I 1■—=1=L=—abc+ 2(—I1 1)a b c 6 abc 6 abc-=7=-=7, a=b=3,c=6,嗑如(3,3,6)=9]abc32.求：z=2x+y在。：r+—41上的最值.4[(1)7=22.求：z=2x+y在。：r+—41上的最值.4[(1)7=2 2'-，无驻点；(2)尸=2x+y+/t(x2+2一一1)zv=1 42+2xA—01+^2=02历,y=2x=>(±—,±72),2^=272,Zmin=-272].求/=f+12孙+2;/在区域4/+/425上的最值/=2x+12y=0 , , ,，；s/n=>(0,0),/(0,0)=0;(2)L=x2+I2xy+2y2+A(4x2+y2-25)/=12x+4y=03 3 1=(±2,+3).(±-,±4)=/min(±2,+3)=-50,/m„(±-,±4)=106-].抛物面z=f+V被平面y+z=1截成椭圆，求原点到该椭圆的最长，最短距离_1+[L=x2+y2+z2+4(/+y~-z)+〃(x+y+z-1)=>x=y=-；-z=2+V3="min皿=也+5百］.设A>0,AC—82>0,求在条件：f+y2=i下，函数大值与极小值之和=Ax2+2Bxy+Cy2的极[解(1)正定，之和=4+4=A+C;(A解(2)/=/+/len=0,Axj+2Bxq+Cy：+4=0]12.求椭圆：Ax2+2Bxy+Cy2=1(C>0,AC-B2>0)的面积.[法(1)5=%7144[法(1)5=%7144Nac-b4,4a)'2x+4(2Ax+'2x+4(2Ax+2By)=02y+A(2Bx+2Cy)=0'dAC-B2法(2)L=x~+y?+A(Ax'+2,Bxy+Cy~—1),*l+AAABAB1+2C

单元五：交换二次积分次序.1.设函数/(x,y)连续，交换积分次序:;inxf(x,y)dy2(2)/=1〔dxM+x A()f(x,y)dy+^dxf{x,y)dy.f(x,y)dx]J)M-arcsinv[Xf(x,y)dy](4)f(x,y)dx+-f(x,y)dx'[Xf(x,y)dy](4)f(x,y)dx+-f(x,y)dx'f(x,y)dy](5)^dxf[x,y)dy.(3)/=fdy&/(x,y)dx+dyj^f(x,y)dx

4 4d.sinyd.sinyf

⑴[甸~-dyJxy[/=j,dy[；dx=f(1-y)sinydy=l-sinl]yy「e~ydy3-v2j 1 1]yedy=---—](4)[dx63e(4)[dx[/=""sin却…与7ty, 4z.、ycos-ay=—(2+^)]

27Tyexdx.Inx. dx[/二Inxdx=2In2-1]xx3 1[-e)ax=—e—y/e]

8 2[/=jdxj,esinxdx=sin1sinxdx=sin1—cos1]•r Mfi TTY-sin+£fitrr_sin-^-dyx 2y.证明：£f{x}dx-£^(b-a)2=；JJ[TT^t.证明：£f{x}dx-£^(b-a)2=；JJ[TT^t+TTT^^-JJdxdy=(b-a)2]LL/(y) 2laj)]>t[a,b]f(y)/U)

[a,bMa,b].f公，f(x)/(y)dy=g[f/(x)dxF.[左式=£dy£f(x)f(y)dx= /(y)/(x)dy=gff/(尤)/(>)dxdy=右式].证明：[ff(x)dx]2<(b-a).f2(x)dx

Ju Ju[左式=ff/a)/(y)dxd"：JJ"2(x)+/2(y)]dxdy=右式]L\aJb\Aa^][另解：0<j][f(x)-f(y)]2dxdy=JJ[/2(x)+/2(y)-2/(x)/(y)Wy][a,bMaJ>] [aj>]x[aj>]单元六：二重积分计算.利用对称性计算：Jj(x+y)5db/+y2Ml(2)『in，，dxdy,D:x=y2,x=1+^/1-y2dx[7=JJtc&Jy"dy=O]/+/4]k=0["y”奇函数=>/=0]⑶JJ(x+y)2da.用y|<i[/=8JJx2dxdy=8fx2dxdy=-]x+y41a.yNO)jj (x+y)sgn(x-y)dxdy04E.0《网.单变量积分[/=JJ(X+y)sgn(y-x)dxdy=0]OSE.OS日⑴/卜'‘公6，£>:以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形.[/V2ye

[/(2)计算\\e~y2da,O为丁=》与丫=/所围成的有界闭区域.D,d(T(a>0)t其中。由圆心在点(a,。)，半径为a,且与坐标轴相切的圆的较pV2a-x短一段弧和坐标轴所围的区域.[=/4^『后)=厂一尸了“夜4急1*'72a-x 1*'y/2a-x 3jje^-^dxdy[OJMO.1JJjVxJxJy,D={(x,y)|x24-y2<x}D白；或 白；或 『"yjrcosOrdr=白]\\xdxdy.。是以点0(0,0),A(l,2)和8(2,1)为顶点的三角形区域.D[Ixdx卜dy[Ixdx卜dy+]xdx

2M*J3

dy=2]jj(|x|+|y|Wy卜|+彻_ fifi-x4,[/=8jxdxJ力=§]jjcr+y)3dxdy,。由x+y=l,x+y=2,y=0,y=2围成.D[I=£dyJ-'(x+y)3Jx=^-j'(16-1)Jx=y]4.jjA/xt/y,D由孙=l,x=y及y=2围成.4.5.计算“sin~cdy,其中。是以直线y=x,y=2和曲线y=也为边界的曲边三角形.[I=Jdy£sin^-dx=f(ycosl-ycosy:"，3cos6W6»=8，cos:"，3cos6W6»=8，cos6ddd=争6.W+y<lex+ydxdy.-X7.“分块”积分⑴，(x,y)=<xy6.W+y<lex+ydxdy.-X7.“分块”积分⑴，(x,y)=<xy2,,।,计算/=y)da,。由/一旷2=1产=04=2所围.y"id[/=2[*ydyYdx=g『y(1+y2)1dy=A(2575-4扬](2)/(x,y)=l<x<2,0<y<xrr .9 9其它，求]]7(苍》)山0九其中°={(%丁)旨+,222"[D为无界域,/=fx2dxydy=，(x4-x3)dx=—](3)JfJ\y-x2\dxdy的，。工”2[/=L：yly-x2dy=g(f +{(2-x2)W=|+[/=(4)JJ|sin(x+y)|t/xt/y[0,尸冈0,4]严 严-x. 「“严.[/=]dx^sin(x+y)Jy-dx]sin(x+y)dy=2%].设/(〃)在［0,1］上连续，。由x+y=l与x轴，y轴所围，证明:JJ7(x+y)df=[叶(x)dxD[左式=jdxf/(x+y)dy=^dx^f(u)du= dx=右式].极坐标计算U=^dO2⑴JJ(x2+y)da(x-l)2+y2U=^dO2【/=另+；)/(x2+y2)dcr=^]x2+y2<l⑶jj(x2+y2)cl<T,D:y=，2x-x2,y=,%=0所围.D“2 n Stt[/= rydr=4(1-cos4O)d0=—]jj^/x2+y2dxdy,£):2x<x2+y2<4.D.fv.nr22»f?jnf22j\r/4 164 16 32[/=2(1~d8] +dO^r~dr)=2(—^-—+—^)=—^-—][[ y.d(r,D:x2+y2<l,x+y>1.米+yr居r(cosO+sin。).居/八.八[/= d0\j ； rdr=I2(cos^+sin^-l)t/^=2——JTOC\o"1-5"\h\z8s®+sin® r 2十)」dxdy,。由y=x与y=/所围[/=.现勺/力=:j2H5扪=3(2血-1)]^xydxdy,D:x2+y2<2x,x24-y2>1,y>0.自 f2cos^r 9[/=Vd0\ r3sin^cos^Jr=—]■b j 16ex+y1<x2+v2<410f(x,y)=\ , ，。：0WxW2,04yW2,求1其他[I=^dO^er2rdr+4--(22-\2)=^-^^7v+4]IL[fcos(———)dxdy,D:x>0,y>0,x+y<1.nx+yrrfv，八r/”,cos。-sin。、. 1£,cos。-sin。、，1x2JZ1[/=rdO|cos^+s,n^cos( )rdr=-I2cos( )( )~d0人上 cosO+sin。2小cos0+sincosO+sin。

1居/COsO-sin。、，/C0s6-sine、1.,

—2cos( )d( )=—sinl14小cosO+sin。cosO+sin。2/连续，且/(x,y)=jy+jj/(x,y)dcr,£):OWxW2,OKyWl,求JJ用(7D D[ay)da,a=Jj(孙+〃)dxdy=1+2〃=q=—1]D:x2+y2Ky,xN0J连续，且/(x,y)=y/l-x2-y2——，/(〃》必〃小,求/(兑》)nnJJ/(w,vV/wrfv,aJJ/(w,vV/wrfv,a= —x=a='F(1-cos，，8)d8= f(x,y)=y]\-x2-y2 J单元七：二重积分应用.求z?=29被平面x+y=l,x=0,y=0所截得的曲面面积..球面x2+y2+z2=/含在柱面/+/2=〃(0<匕<g内部分的面积恰为全球面积的一半，求b[5=2JJ/,",、dxdy= -yja2-b2)=2tca1=>/?=—>/3a]x2+y2^b2JQ2-Y_y2 2.求由ZW6-x2-y2,zN也2+y2及％2+y2wi所确定的立体的体积yjx2yjx2+y2)dxdy-『d"(6-»Mr=等][n：2x[n：2x+z+l=0,V=fj(2x-x2-y2

x2+y2^2x.记口为Z=f+y2在点(_1,0,1)处的切平面，立体。由z=—(l+x2+y2)及平面门所围，求。的体积.£ .八ficosO △ 、 .加)dxdy=Rd。](2rcos0-r)rdr=—]2 2

第六讲：无穷级数单元一：收敛定义.若lim〃〃=0,且£(%〃_]+“2〃)收敛，证明：级数£〃〃也收敛.〃=i “1[S2n->a，S2n+}=S2n+u2n+}fa+°=4=>S.设：。〃一=d(常数)，lima〃=+8,证明级数：V 收敛.1/ 1IUn1/ 1IUn二 (q+m一勺氏〃田・••〃〃+吁1n+ian+2•••nin.an=jx2(l-x)ndx,证明:收敛，并求和.(〃+2)(〃+3).k (〃+2)(〃+3).k(〃+1)(〃+2)(〃+3)'"2x3TOC\o"1-5"\h\z+8 .+x . 1-r 1[另解：f/£(1一外"公=——dx=~]n=l n=l 1 O■foo.{〃a“}收敛，又收敛,证明:Z。"收敛.n=l n=0[S；=〃％-(&+4+•••«„!)=nan-S„_1].设抛物线y=F上的点Q「0,…是这样得到的：0,(1,1),过0作抛物线切线交x轴于鸟,过鸟作y轴平行线交抛物线于。2,再过必作抛物线的切线得巴…，这样无限作下去,又耳为(1,0)点，求£获.«=1xX cx"1n 4[Q〃(x〃，y〃),Xi=X=i,x〃=-^±=^r，0£=券=x〃=^t=^t，Z2£=、1，Z 4 4 〃=]J

单元二：数项级数审敛.若lim匕且收敛，问:“是否收敛？［否!反例:〃“=印•，匕=9^+2］XT8〃” ,l=1 〃=| >Jnyinn.设：=Ftan〃xdx,(l)求W(a〃+a“+2)的值;⑵证明:任意义>°，级数■收敛.［⑴凡+限而=1;⑵。的“贵号，点收敛］nh.。“>0,4>0,且满足：3W■(〃=1,2,…)，证明:an么⑴若Z勿收敛，则£%收敛；⑵若Z。“发散，则W>"发散. ^an<atbn]〃=1 〃=1 n=1 n=l.设同W1(〃=0,1,2,…),|a"一«„_，!<；—。，|(〃=2,3,4,…)，证明：(1)级数£(。“一。,1)绝对收敛；(2)数列｛6,｝收敛.n=l5.若级数fa“发散，则必有:

n=la：£(-i)-4发散C:lima„=0[D][(1) I，5.若级数fa“发散，则必有:

n=la：£(-i)-4发散C:lima„=0[D]B:lim(q+%+,,•+%)=00；rt—X®D:lim(|aj+|o[+…+|a〃|)=86.设4=(6.设4=(一1严+(〃=1,2,…),则卜一列级数收敛的是[C]4：2(一1尸“"； 8：Z”“2； C:Z(a.+|+a”)；n=l n=l n=loo°：匕,4+1•

n=l.设a为常数，则级数£［任詈n=l〃[C].设a为常数，则级数£［任詈n=l〃[C]A:绝对■收敛;:条件收敛;C：发散;。：收敛性与。的取值有关8.考察下列正项级数的敛散性2(4)£n=1(2n-l)!!3”•加(。(1+。)(2+。)…(〃+。)(5)> 8.考察下列正项级数的敛散性2(4)£n=1(2n-l)!!3”•加(。(1+。)(2+。)…(〃+。)(5)> — ，(〃>0)”=1 nla+XInn(6)y—.Sdnn)n=—:0vq«1散，q>1敛］9.考察下列交错级数的敛散性00 (1)Z(一D"tan(J〃2+21)”=i［tan(A/〃2+47)=tan(J〃2+4-〃)乃=tan/ —— ——:条件收敛］yjn2+2+n2〃(2)设a>0,^(―l)n(l—sin——cos—).［l-sin--cos-=--+0(-)条件收敛］

nnnnOP⑶fn=l(-1"1_3"+(-2)"'n3〃 13"+(-2“--条件收敛］n_1\«-1(4)设％为等差数列,dHO,sn=ay+a2+---+an,问:2口一是否收敛(说明理由，«=1'a1112［s. +—〃(〃+l)d,—= -j-:绝对收敛］，na}+—n(n+l)d""+…的敛散性10.考察级数 f= f= r t= +…的敛散性2V2-12V2+12V3-12V3+1111 22yfn-11\[n+14/7—1fa发散=原级数发散］”=2(«=1,2,-),求证：£(-1)"+，»„'x收敛.[”2“=(«=1,2,-),求证：£(-1)"+，»„'x收敛.[”2“=ln(l+-),Z(U2n_1-u2n

〃〃二iR1 ।)=Z匚一ln(l+上)]收敛必.0nZ(T严/收敛]n=l〃 〃12.设<(幻=1+优、-1,其中"是正整数,。>1.(1)证明：方程£。)=0有唯一的正根不(2)若S“=彳+为+…+证明S=limS〃存在，且‘；一一.

8 a—\a-J a—\【⑴Z,(o)=-I/(5)>0/'(X)=3/+废>0n0y<?(唯一)00 301 1(2)S=\>；,收敛，=~T；

n=] n=la 4-1又：(=—(1—(：)2—(1 1)= —"a" "a"a3"a"a4nt{n单元三：募级数1.求事级数的收敛半径:(1)V X*]占2"+(-3)"lliml^=-x2<l=>/?=^]“T8 3⑵£n=l(2n)!2n-i2 (2〃+2)(2〃+l),2.n1=JT2hm- _-=4x2<l=>R=~]"-*» (〃+l厂 22.若的收敛半径为2.若的收敛半径为Rn=l8则(〃-1)%尤"一2的收敛半径为:n=l+8 +83.Za“x"的收敛半径为3,求Z〃q(x-l)Z的收敛区间.n=l n=l[|x-l|<3=>xe(-2,4)]

4.求基级数的收敛域：⑴£㈠尸地14+4.求基级数的收敛域：⑴£㈠尸地14+1)"n=l 〃+8 1 1(2)y(i+—+•+—)%n〃=i 2 n+8n、，A(3)Z'j-„=2Inn…(〃+l)ln(〃+l)|x+『1 1(l+^+---+^--)|x|，'+l[lim =— =Wnxg(-1,1)]…%+…+啊ln72-kr，+， ..[lim 11 =|x|=>xe[-l,l)]n->®ln(/?+l)-x.将下列函数展开成x的幕级数，并指明展开式成立的范围/(x)=(l+x)ln(l4-x).工(-nn+, 工(_1V+, ,[/'(x)=l+ln(l+x)=l+y x"=>/(x)=x+Y—-xn+l,xe(-l,l]]n “=|n(n+1)"(x)=1-cos2x-2-(-Dn(2〃)!"(x)=1-cos2x-2-(-Dn(2〃)!(2x)2"=In=\(_])〃+少"-1(2〃)！”，xe(F+Q0)l⑶/(x)=ln(l+x2)Jx.oo(i\n+l ao/i\n+l"(x)=「(Z1sli-0a=E±dL_x2叫xe[_U]]，占〃占〃(2〃+l)_z、 1+x1.1+xJ(x)=arctan +—In 1—x21—x"'(X)=3.r4n=/(x)= x4n+1,xe(-l,l)]1-xM M4〃+lTOC\o"1-5"\h\z14-X 1f(x)=---• 〔或：/(x)=(l+x)(--)'](1-x) l-x[/(X)=22- =2(Jx")'-Jxn=J(2n+l)x",xe(-l,l)](l-x)，l-x

n=0 n=0 n=0.将/(x)=ln(3x—x2)在x=l处展开为某级数r-1 f-iy,+l2n-1[-l<x-l<l,/(x)=ln2+ln(l+x-l)+ln(l )=ln2+Y^--(x-l)"]2 M 〃•2"

1_2V +8(—I)".将函数/(x)=arctan 展开成x的幕级数，并求级数的和•1+2x n=Q2〃+1"-74T=-2,(-4/)"=f(-1严22"+室",尤e1+4无 n=0 n=0 22f(x)=f(x)=强/2m一”S4.将°展开成x的基级数，并求级数之与;的和.1x=0(一1)〃l-4n2_oo_/_1\n _8_(_1(一1)〃l-4n2[arctan尤=>x2fl+l,/(x)=l+2y-^4x2n,x七2〃+1八，，-4〃2 1.求‘基级数的收敛域及和函数9=[0,6),S(x)=f(q)"=—ln(l—7)=』?]77t3/? 普〃3 3 3_i\n-l _oo_/_i\n-l(2)V x2n. [Q=[-1,1],S(x)=xV x2n~l=xarctanx]7T2«-l tt2n-l(3'("一？ r«=[-V2,V2],x2-l/,S(O=y(--一〃=]”5+1) 〃=in〃+lTOC\o"1-5"\h\z1zi、f+ln(l—f) l—t 2—x2 2\=-ln(l-r)+ =1+ ln(l7)=1+———ln(2-x)]t t x-1+8，曾1 81 2 2(4)Z—― [C=(-00,4-oo),s(x)=(Z-；/")'=(x/)，=(l+2x2)e']〃=o〃！ 〃=o〃！⑸f：竽2-。=(-"⑸，S(X)=(fg/T)'=(幸+)'=广〉〃=lZ ”=1N Z—X —X)⑹之⑹之M=1X(—AX(—A—ln(l—x)][fl=(-1,1),S(x)= +2-x〃=x(^xn)-In(l-x)=n=l n=l〃 n=l,1\ 1⑺ [Q=(Y,a),x2r,S«)=(Z-;严>'=(k)'=(l+f)e'=(l+x2)e]n=0〃• n=0〃•

.求：x+—x3+―5—d+… 的收敛域及和函数1x3 1x3x5I2x_J_2[Q=(-00,4-00),S*(x)=l+x5(x),5(0)=0=>S(x)= [}e刈.S”是以a为首项”为公差的等差数列部分和，求£s“x"和.〃=1[sn=na+^n(n—\)d,Q(-l,l),△1Z(〃a+3〃△1Z(〃a+3〃8 1 00(〃-l)J)xn=ax(Zx")'+-^2(Sx")"=〃=1axdx2(1)2+(1)3.求和:+CC(i)ytr(n+l)!+CC(i)ytr(n+l)!F-En=1〃,〃=]5+1)!=e—1— 1-1)=1]ac(2)Z

n=2I

(n2-l)2nTOC\o"1-5"\h\z1» 1 1 1 1[S(x)=~y^j( ^)x"=—[-xln(l-x)—(-ln(l-x)-x--)]2M"1〃+l 2 x 2二!K，一1)ln(l-x)+1+：],S(£)=-1•一[In2]

2x 2 2 84fix H,求/(x),使之满足：[f(x)dx=ex-1. [设/(x)=Z〃"x",1

1

"!(2川-1/■f(x)dx=y-^(2,,+1-l)xfl+1;ex-l=y——=>x士〃+1 £("+l)!⑵和函数S(x)=f[tan]I2⑵和函数S(x)=f[tan]I2 2sinxsinx.设xe(0,—),求(1)limcos—cos—…cos—;2 22 22 2"YY Y[(l)limcos-cos----cos—=lim

〃->oo 2 2- 2”_ . «x/Iirxt,sinx, 1(2)S(x)—(y—Incos—-)—(-In cos——)——(In )——cotx]n=\ 2 n=| 2 XX

单元四：傅里叶级数0 -7T<X< 2711,一一<x<0TOC\o"1-5"\h\z1.设函数/（无）以27为周期,它在一个周期内的表达式为：/（x）=« f(x)=£(-1f(x)=£(-1产[ ： sin(2攵+sin2履],S(g)=i (2k—1)7V 2k 2 71jt=i0<x<-2—<X<7TI 2记S（x）为/（x）的傅立叶级数的和函数TTTT⑴求5（一耳），5（5）； ⑵求/（》）的傅立叶级数的系数处,么.［（1）S（-g）=4，S（g）=〈； （2）%=0,4=占】1-7t<X<0-To<%<^TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 1-7t<X<0-To<%<^2.已知函数/（乃以2］为周期，它在［-肛外上的表达式为:/（外=将/（X）在［-肛幻上展开成傅立叶级数，并由收敛定理求该级数的和函数.2 „ 2登(一1)〃一1. I/(x)xw〃乃«=°也=嬴卜j]"x)之1厂-砾S(x)=1° …/XG[-7T,——)3.将/(幻=xe[-y,^]展开成Fourier级数,并求:£& 3.将/(幻=xg(—225[an=0,hn——I2xsinnxdx-

71M(21尸—(一1产，〃=2k—1nn=2k2k71 二71 二—1(21)24尸/_1XM+I4.利用x在(一兀,冗)内的Fourier级数:2^ sin及Z 一4.n=l〃 n=l〃2二求出：尤2,》32二求出：尤2,》31212r,V(t严t(1)_x-=pJx=2g__jsinnxdx=2^-——；—(1-cosnx)

n=ln7Vc6(-D”= F2>——；—cosnx,6M=i〃~cosnx][⑵L3=「5=Hx+4£N：sin〃xnx3 3 n=]n3Vr 2万~.=X(-l)(F )sin几口〃川 〃 〃5.把/(x)=10-x,xw［5,15］展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围1ns nrr 1/[=J(lO-x)cos—xJx=0,nTT 10(lO-x)sin—xJx=(-l)n—5 nf(x)=VC-l)71—sin—x,xg(5,15)]

〃=in56.设/(x)是以21为周期的连续函数，"为其傅立叶系数，求函数:F(x)=-f/(r)/(x+f)力傅立叶系数：A〃,纥n-［厂连续,周期为2乃］[An=-「cos/txf-刀■Jr \7l/WCr+f)力/(x+r)cosnxdx=-ff(t)(ancosnt+bnsinnt)dt=a：+b：71人乃b“=Gvrsinnx-n71"f(t)f(x+t)dt-Jt/(x+r)sin〃xdxfit1b=— f(O(bncosnt-ansinnt)dt=bnan-anbn=0]冗

第七讲：向量代数,解析几何与偏导应用单元一：向量代数a与xoy,yoz,zox面的夹角分别为自,小《(04J,/W—)，求:cos24+cos27+cos2.2[a=.±〃,.=E±7，y=5±4=>cos2a+cos2P+cos2/=sin2^+sin27+sin2Q=3-(cos2g+cos27+cos2G=1=cos2g+cos2rj+cos27=2]2.a=(2,3,-2),2.a=(2,3,-2),b=(-2,3,0),求:x,使：x±a,x±fe,且忖=7[c=ax=(6,4,12)=>x=±7c°=±(3,2,6)]3.设向量x垂直于向量3.设向量x垂直于向量a=(2,3,一1)和B=(l,-2,3),且在向量2=(2,-1,1)方向上的投影为:-2后，求：x4.5.6.7.[x=k(axb)=7^(1,-1,-1),(x)|A=2a+b,B=ka-\-b,且「H"S"而X-C4.5.6.7.[x=k(axb)=7^(1,-1,-1),(x)|A=2a+b,B=ka-\-b,且「H"S"而X-C=2,(ab)=2—乃，确定k,使:3(2)以,与否为邻边的平行四边形面积为6,x=(-6,6,6)][(l)A-B=2Ar|t/|+(2+女)〃・分+忖=k+2=0=>k=-2(2)|Ax=〔2axA+癌xa卜百|2-^|=6=>^=2±2百]求证向量:£=(一1,3,2)出=(2,-3,-4),"=(一3,12,6)在同一平面上，并沿£］分解[[abc]=O,c=k]a-^-k2b=5a-^-b]A(2,3,1),S(2,1,-1),C(6,3,一1),求点A到直线8c的距离[|bc|</=|bAxBC|=>V5J=|(-4,6,-2)|,J=-^=]a,B为已知非零向量，证明：当丸。+万与〃垂直时，可取得最小值[\Ad+b\= ,a+2/•b+b•/?当a=—■=~="时最大，即(2a+b),a=0]1 1 a-a单元二：解析几何1.设直线L在平面乃：2x+3y+4z-9=0上,且过点(1,1,1),若L与xoy平面有最大交角,求直线L的方程.—. 一一一 一一一 v—IV—I7—I[n=(2,3,4),r=〃xk=(-3,2,0),5=nxr=(-8,-12,13);——=2—=±—].在平面乃：x+y+z=l上求一直线L,使它与直线4：『=；=等垂直相交.. ._. fx+y+z=1[乃与人交点:M0(3,2,-4);过A/。垂直4的平面为x+y-z=9=L:< ' ]lx+y-z=9.求点M0(l,2,3)到直线L:-=2a=-的距离.1 -3 -2,|(1,-2,0”(1,一3,-2)||(4,2,-1)|八,

'= |(1-3,-2)| =V14=T.a2b2c2满秩，问两直线：”3C3y中忙亚=0=工与工的位置关系q-〃2 -b\C]~C2 -〃3 "2-83 。2-。3[£,：S]=(%-02M-b2，Ci-。2),M1(%加3工3);k:“=(4一%也一4g-C3),M式q，4，C[)卜IS2MlMJ=0,S1#船2，相交].设动点M(x,y,z)至!Ixoy面的距离与其到定点的距离相等,M的轨迹为E,若L是E和柱面2z=y2的交线在xoy面的投影曲线，求L上对应于14x42的一段弧的长度.[Z：z2=(x-l)2+(y+l)2+(z+l)2;L:|(X-1)2+(j+1)2=2'-1. 2z=y4:(x- +2y+2=0,s=fyjl+(x-l)2dx=g(0+侬1+扬)]单元三：偏导数的几何应用1.证明：z=x+/(y-z)在任一点的切平面都与直线x=y=z平行.[n=(l,/',-l-7'),1(1,1,1)=0]TOC\o"1-5"\h\z2, 2.匚广-z?=3上点尸处的切平面垂直于直线x=y=z,若尸在第三卦限，求尸.In=(x0,y0,-2z0)(1,1,1)=X。=%=-2,Zo=1,P(-2,-2,l)J.求直线2=二=二绕x轴旋转而成的旋转面的方程，并求该旋转面在点(0,-2,1)2 2 —1处的切平面方程.x=2t 7 95 一[<7 )=>y+z=—厂一5工+5;〃=(一5,4,—2),乃：5x-4y+2z=10]|y+z,=5(lT『 4.设厂(弘匕卬)=0,其中函数尸(外匕w)具有连续偏导数，在(1,1,1)处法向量1={1,2,3}求曲面F(x,y2,z3)=0在(1,1,1)处的切平面方程.[(Fu,Fr,FJ(1,2,3),=(Fu,2yFv,3z2Fw)(1,4,9)=>x+4y+9z=14]10x+2v-2z=27.过直线《 '八，作曲面3/+y2-z2=27的切平面，求此切平面方程x+y—z=0[平面束：(10+2)x+(2+2)y-(2+A)z=27,切平面：3xox+yoy-zoz=27=>/1=-1,-19;得:9x+y-z=27和一9x-17y+17z=27].设“。(无。,%/。)是曲面：z=4(»)上任一点，证明：在这点处曲面的法线垂直于向径X西.其中/可导.%.曲面£：/+产+72一户=1上点2匕%7)的切平面与。*丫平面垂直，求P点的轨迹.- [2z-y=0 y-2z=0[n=(2x,2y-z,2z-y)^><2 2 2 ,=><， 2 2)x+y+z-yz=lx+y-z=1

8.设x=2cosy=sinz=^,(0<6><2^),问哪些点处的切线平行于平面:x+0z=4.[t=(-2sin0,cos0,1)_L(1,0,V2)=>0=—^~=(V2,,—),(-V2,,^-)]44 24 249.设「方程为x=f,y=-产,z=「,若「上恰有两个点处的切线与平面or+by+cz+d=0平行，问a,b,c应满足什么关系式？[r=(1,-2/,3/2)±(a,b,c)=>3c/2—2bt+a=0nA=/>3ac,cw0]10.求曲线，XV7=10.求曲线，_2在点(I』」)处的切线和法平面方程,x=y[H]=(1,1,1),n2=(1,-2,0),s=〃ixn2=(2,1,-3)jx—\y—1z—1个，o.=>L:—=—j—= ;/r:2x+y-3z=。]单元四：方向导数与梯度(2. 2 2cV-Lv-I-7-5./=111(/+丁+22)在曲线1 ,4 上点尸(1,1,1)处并沿该点切向的方向导数.3x+y+z=5斤=(1,1,斤=(1,1,1)x(3/,1)=(0,2,-2)±(0,11、

万一K'.设M是直线y=x上任一异于原点的点，。为原点，1=MO,求函数/(x,y)=x+y在"点沿7方向的方向导数：更.[7=(-x0,-x0)+^=(1,1),G=(1,1),X=+V2]dl J2 dl.f=x+2y在原点处指向点(l,k)方向的方向导数为2,求k.[G=[G=(l,2),df_l+2k

疝飞+k).函数z=2f+y2在点p(u)沿其梯度方向7=gradz|(u)的方向导数1= [A](A)2石；(A)2石； (B)V5;(C)27+4); (D)47+2}.5设z=z(x,y)是由方程：z，+xz-y=0所确定的隐函数，问：在(x,y)=(0,l)处，(1)沿什么方向的增长率最大？(2)函数在该点沿此方向的方向导数屋=1,dz=；(-dx+dy)n⑴存=(一；,；)，(2)同=£]/=y*+b(x+1)Iny在点(0,1)处沿7=(1,1)方向恰取得最大增长率为2叵,求a,b[G=(。,1+力)=2>/2(—产,—广)=。=2,/?=1]V2V2设n是曲面：2x2+3y2+z2=6在点处的指向外侧的法向量，求函数:“二必+8)]在点P处沿方向G的方向导数Zr— I/—3八k,6 8 I11=—/=(2,3,1),G=(-/=,—/=,一，14)=>—='=JV14 V14V14 dn\P7gradu=ai+bj+cky求:〃.[du=adx+bdy+cdz=d{ax+by+cz)=〃=ax+by+cz+d]

第八讲：三重积分与线面积分单元一：三重积分计算.求^yyll-x2-z2dV，其中。由y=-Jl-xT,V+=1以及y=1围成.fQ=鼠1.计算/=JJJzCx2+y2)dxdydz，其中。由z=yjx2+y2,x2+/=1及平面z=0围成Q[法⑴/=[法⑴/=JJ(x2+y2)dxdyx2+y2<lzdz=g『d“/dr=看7rh(b45-a7rh(b45-a5)

10S-a)[/=那0娜=(D(x)xx-x—(2-x)2dx=-]22 3法(2)/=fzdzjj(x2+y2)dxdy=zdzdO^rydr--.利用截面法计算. Q:x2+y2-z2=1,z=0,z=2.n[/=j：e:dzJJdxdy=7r^(\+z2)ezdz=3^(e2-l)]x2+y2^l+z2.jjj(x2+y2)dv,。:/+y2一(z-1)2=I,z=0,Z=2."=fdzJJ (x2+y2"dy=fdz『de『i/"=誓]x2+y2^l+(z-l)2.JJj(/+/+z2M叭其中C由z=2-Jx?+y1z=0,z=1所围Q[/=fdzjj(x24-y2+z2)dxdy=dO^(r2z2)rdr=八思-)2 30(4)Jjj(x2+y2)Jv,其中。是圆台柱体，其上，下底半径分别为a,b(0<a<b),高为h,Q下底为xoy平面内圆域：x2+y2<Z?2.[Z:x2+y2=(/?+---z)2,I=h

I2_2-j]Jz(x2+y2)dv,。为由=，绕z轴旋转一周形成的曲面与Z=2所围成的区域.Q X=0[E:/+y?=2z,/=(zdzJJ(x2+y2)dxdy=zdz r3dr=S/r]x2+.v2<2zff(xv)=02是由曲线'(力>0)与原点连接所得的锥面,(1)写出£的方程，[z=h(2)证明:V=gs/2,其中S是「所围的面积,V是锥面E与平面Z=h所围立体的体积.[⑴；；；：■甘)=。"也当=0S(z)dz=1z=thIz=th名zS(z)dz=1(2)V=pz"Jzeix+y?Jv,Q:l<x+y<2,x>0,y>0,0<z<3.[/=卜吗，Jisin疗rdrfzdz=2eb一1)]cos^+sin^ [/=+y2>/v,Q：z>J£+/,1<x2+y24-<4c2jr 2jr 袁 .[/=[defsin/dejpcoscpp1sin2(pp^dp=证明：I=JjJf(z)dv=7T^f(u)(\-u2)du/+潞 1并化简:⑴/产 jjj/(x2+y2)Jv;⑵JJJ/(x2+y2+z2>/vx2+y2+Z2^l x2+y2+z2^l"=f|/(z)dzJJdxdy=^7r(J-z2)f(z)dz

x2+y2^l-z2A=[)d0rdr/(r)dz=4乃1rVl-r2/(r2)dr[2=jjde「sinedef/(p2)p2dp=47rf/(p2)02dp]

2‘连续'〃。)“，求:既爷，其中:4+乃(2-亚)[/(p?)p'dp/⑺=Jlf[z+/(/++z2)Wv,Q:\jx2+y4+乃(2-亚)[/(p?)p'dp2 ”=j j^sin(pd(p^[pcosp-\-f(p2)]p2dp=次詈亨-国]单元二：三重积分应用.已知4(1,0,0),8(0,1,1),线段A8绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积[AB:x=l-z,y=/,z=z,S:x2+y2=(l-z)2+z2,V=，乃[(l-z):+z2Mz=工1].设C是一底为圆盘x2+V<1的曲顶柱体，其顶面为z2-4/=2(z>0)绕z轴旋转而成，顶面上一点M处的切平面与平面无+y+z=0平行,(1)写出顶面方程和M点坐标；(2)求。位于顶面与切平面之间的体积.[(DM：z2-4(x2+y2)=2,n=(一8x,-8y,2z)(1,1,1)=>M(-1,-i,2) 万(2)切平面x+y+z=1,V=JJ[-\j2.+4(x~+y-)—l+x+y]dxdy=^r(>/6 1)]X2+/S1 3.求曲面z=x2+y2+l上点M(1,-1,3)处的切平面与曲面z=x2+V所围成空间立体的体积. 而=(2,-2,-1)切平面2尤一2y—z=l,交线(x—l>+(y+l>=1,V=jj(2x-2y-l-x2-y2)dxdy=JJ(1-m2-v2)dudv=—](x-l)2+(y+l)2SI m2+v2S1.。由z=ln(>2+y2)与平面z=O,Z=/i(人<0)所围的立体，^=\z\yjx2+y2求并求limMnA—>-oo前 I 4r\ 3ho3h o[Ma=[-zdzJJylx2+y2dxdy=—(-+he2--e2),VwnMa=—^]』+),2w/.设有一匀质物体,在空间所占据的区域。为由球面X2+丫2+12=2成与圆锥面z=y]x2+y2所围成(含z轴的部分)，其中a>0,求该物体的重心坐标.__ _\\\zdvz-9z+广乃(2汗-zbdzZ兀a*7[^=^=0,2=-^-=4； =b--=a]TOC\o"1-5"\h\zRJdn[乃z)dz+j7v(2az-z2)dz 兀。 6.求曲面F+y2-[2=],z=1,Z=3围成的，密度为1的Q,关于Z轴的转动惯量.[I.-|jj(x2+y2)dv=fdz『d。/dr=n]c 15.求密度为1的均匀圆柱体：x2-^y2<a\\z\<h对直线L：x=y=z的转动惯量.d=l(l，l』)X,，Z)f=赤_»+(z_4+(一)2]IL= =2 +y?+z2)dv=—7ra4h+—ncrlv']q 3c 3 9.求质量为加均匀柱体：x2+y2<l,0<z<l对位于点M(0,0,2)的单位质点的引力.[Fx=Fv=0,F.=Cd0frdrf 由=2Gm(6-V2-1)]' 1 J17[r2+(z-2)2]3VTT.密度均匀的球锥体O：顶点为。，对称轴为z轴，球半径为R,半顶角为一，求。对于其顶6点处的单位质点的引力.[F,=F,=0,F:=1.jsin °P%p=兀空"]

单元三：第一类线面积分计算2 21.设L为椭圆二+二=1,其周长记为则求f(2jcy+3x2+4/W5.43 /[1=12jds=12a]L2.利用对称性计算下列积分(1)J(x2+y2)dlx2+y2-2x+4y-4=0[/=j(2x-4y+4)ds=(2x-4y+4)xL=28万]L⑵J(父+,3油[/=-j(x2+y2)J5=-/?2x2/rR=兀炉]2z, 23.(1)设L是圆周x2+y?=1在第一象限的部分，求:j\yds.Lfx=COSfx=COSt

[y=sin/pcosrsinft/z=—1% 2x—costy=sint(2)siny-xe=cos3rA..x—costy=sint=cos3rA.. ,,,/=4Fcosr-3sin/cosrt/z=41y=sin3r,I=sinteco&,sin(sinr)Jr-j^coste^'cos(sinr)力=-sinl](3) +l)ds,L:Lx=〃(3) +l)ds,L:Lx=2cos[/=良Qcost+1)2力=2(乃+4)]y=2sinz七00J|y-C:y=Jl-r从点A(l,0)—>5(—1,0).fXfX-cost[y=sinr「|sint-cost\dt=25/2]1 2 2(5)J|xpds,其中L是=1.

3/rV24.(1)J(x+y)e'+/ds,L是由y=Jl-/与y=±。所围区域的边界.3/rV2[/=1+J+J=esintdt+2xe2A\l2dx=y=-xx2+y2=ly=x4eMd/,L:r=a,6=0,e=生所围扇形的边界.K y[2M=1+J+J=[e，dx+dy=0x2+y2^a2 y="•afadt+p"e®近dxM=1+J+J=[e，dx+dy=0x2+y2^a2 y="x2yds,C:折线4(0,0,0)->8(0,0,2)tC(l,0,2)->0(1,3,2).[/=f0以+[Odx+J：ydy=1].利用性质计算下列积分(1)设E是平面x+y+z=l在第一卦限的部分，计算jf(x+y+z)dS.z［，=!郁邛——(2)设2为平面：y+z=5被柱面/+>2=25所截得的部分，求：JJ(x+y+z)dS.［/=(0+0+5)5e=5x^x5x5>/2=125及万］(3)计算“X2ds，其中2是球面/+/+/=r2在第一卦限部分ZrrIffz222\in।n2兀R兀R,[/=-jj(x2+/+z2)JS=-/?-x-=-](4)计算JJ(无+|y|)dS,其中£是国+|y|+上|=1.£JJ(W+N+H)ds=；时=皑°E °E D(5)计算0(/+y2+z2)d5,其中E是(x一a)2+(y一/>)2+Q—c)2=R2.l/= +2ax+2by+2cz-a2-b2-c2)dS=4tcR2(R2+a2+b2+c2)]

.(1)计算[[ —■~其中2为x+y+z=l,xNO,yNO,zNO部分.tJ(l+x+y)“="(1+:+»6dxdy=fdxr =瓜1。2-；)1⑵计算jj(/+y?)dS,其中Z:z=yjx2+y2介于z=1及z=2之间.£TOC\o"1-5"\h\z[/=JJ(f+y2)j2dxdy=殳3]

l<x2+y2^4 2(3)计算JjzdS,其中Z为锥面z=J/+y2在柱体/+/2<2]内的部分.[/=JJa2+ygdxdy=Rd，6/dr= ]x2+y2<2x 2(4)计算ffic/S，其中E是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(O<h<a)截出的顶部.(5)计算JJ(x(5)计算JJ(x+y+z)dS,其中2为上半球面z=y]a2-x2-y2.(6)计算JJ/dS,其中2为柱面+V=4介于o4z46之间的部分..设E为椭球面y+^-+z2=l的上半部分，点P(x,y,z)W2,乃为2在点P处的切平面,0(x,y,z)为点。(0,0,0)到平面万的距离，求ff dS.¥0(x,y,z)-y-y2^2(2-x2-y2)rr4—x~-y~3JJ—7-dxdy=-7r]x2+y2<2

单元四：第一类线面积分应用.已知物质曲线±+y2=1上任一点(x,y)处的线密度为〃=|孙I，求该物质的质量.

4 ,1. ,M=J回|ds=4£2costsin/V4sin2/+cos2tdt=—].求曲线=lcost,y=rsinr,z=/(0<r<2乃),p=z时的质量.[Mjr^/(cosr-rsinz)2+(sinr+/sinr)2.「：卜二/---匕〃=z,求「的质量.x2+y2=x.球壳产+/+3=氏？上各点处的面密度等于该点到z轴的距离，求球壳的质量.[M= ^x2+y~dS=2JJy]x24-y2/ , =tt2R2]x2+y2+z2^R2 x2+.v2^l X?-y~.一簿壳形状为x2+/=2-2z(z>0)，其上任一点(x,y,z)处的面密度〃=]一z,求其质量.[M=JJ(|-z)J5=J11+A-2+j2yl\+x2+y2dxdy=1(9V3-1)]322—aa5 4。--322—aa5 4。--=—]8。 5[y=0,X=(1+cosJ)?+a2sin2OdO『a(l+cos0)cos0y]a[y=0,X=(1+cosJ)?+a2sin2OdO.求曲线x=QCOS/,y=〃sin/,z=从(0W2])的一段弧关于oz轴的转动惯量[L=|p(x2+y2)ds=pja2\/a2+b2dt=2处+b2]L.曲顶柱体C由Y+y2=ax与z=o,z=，〃2-、-y2所围，求侧面积.[S=J+vy]a[S=J+vy]a2-x2-y2ds='>ja2-a2co；=ax 2is2O\[a^dO=2a2f2sinOdO=2a2]9.r：<Z=l+/+y2

z=l+x+y9.r：<⑴写出「向xoy面投影的曲线方程.［「：〈(2)求投影柱面介于z=1+x+y和z=0之间的面积.x=-+x=-+-^=cosO2夜，Sy=—^—j=sin0J(l+x+y)ds= [2+(sin04-cos0)]“=2五兀110.平面曲线10.平面曲线L:y=一+. 3[S=^27T3y~4xds=L542x(0<x<l)绕直线y= 旋转成一旋转曲面，求侧面积.=Y^(x2+2x)y]\+(x2+2)2dx=^(10V10-5V5)]

单元五：第二类曲线积分与Grenn公式.计算[，-1»心+2xdy淇中L是曲线y=e"上从(0,1)至(1,e)的一段.[I=^[(x2-l)ex+2xe^]dx=i].在过点0(0,0)和A(1,0)的曲线族丁=asinx(。>0)中，求一条曲线L,使沿该曲线从0到A的积分j(l+y3Mx+(2x+y)dy的值最小.L[/(«)=j[1+a3sin3x4-a(2x+asinx)cosx]dx=)一4a+±/,/min(l)= ].求：limf；dy；ydx其中L”2+y2=心正向z+8[(x+y+xy)(l+sin^cos(l+sin^cos。)2x=Reos。八，°：y=Rsin。.利用Grenn公式计算下列积分j(x+y)2Jy,x2+V=2ax(a>0)逆时针方向Lrr r— fiacosd 、[/=JJ2(x+y)dxdy= rcosOrdr=2/ra3]x2+y2^ax(2)L:x2+y2-2x—i=o的正向边界.tx+y^2x+\[/=J dx+xdy—JjIdxdy—2tt]L2X+1 /+/g+][—arctan—rfx+—arctan-dy.L:x24-y2=a2,x2+y2=4a2,y-——x,y=x所围TOC\o"1-5"\h\zIxxyy 3[丝丝dxdyx[丝丝dxdyx2+yCt-『2。1 冗-dxdy=yd0^—rdr--In2]6r 12jy(yex+i)dx+(2yex-x)dy,L:x2+y2=4正向.L[Qx=2ye'-l,Py=2yex+l,/=JJ(-2)dxdy=-8》]x2+v244

⑸Jy]x2+y2dx+y[xy+ln(x+y]x2+y2)]dy,L是以A(l,1),B(2,2)和C(l,3)为顶点L的三角形的正向边界线.[Q=y2+-=2=cdx+dy⑹扁+x2cdx+dy⑹扁+x2其中L为|x|+