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文档简介

§基本不等式：【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件.2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此不等式求解某些函数的最大、最小值.3．情感态度与价值观：培养学生转化的数学思想和探究的能力，提高学生的逻辑推理能力.【教学重点、难点】重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.难点：用基本不等式求最大值和最小值.【教学过程】课题导入基本不等式的几何背景：以在北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景（如右图）提出问题：在这个图中找出一些相等或不等关系.教师引导学生从面积间存在的数量关系去找相等或不等关系.（二）探求新知1、探究图形中的不等关系四边形ABCD的面积为,４个全等直角三角形面积的和为,可得不等式：当直角三角形变为等腰直角三角形时，即a=b时，则有.２、总结结论：一般地，,那么(当且仅当a=b时等号成立).学生简单证明.3、认识基本不等式特别地，若a>0,b>0,用，分别代替上式中的a、b,则得a+b≥2.其中为a,b的算术平均数，为a,b的几何平均数。4、探索的几何意义如右图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点.AB=a,BC=b，过Ｃ点作垂直于ＡＢ的弦DE,连结AD、BD.利用此图，分析基本不等式的几何意义.分析：易证得∽,则==。圆的半径为r=，r,即,当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.几何意义：圆的半径不小于半弦.拓展应用例1若>0，求的最小值，此时等于多少？解：∵>0∴>0，由基本不等式得≥当且仅当=时，即=1时，.练习:1、若>0，求=的最小值。2、若<0，则的最大值等于？例2若,,且+=20，求的最大值.练习：若,,且+4=20，求的最大值。例3当≥2时，求函数的最小值。分析：此时等号取不到，不能直接用基本不等式去求解。给出函数图象观察最小值。让学生思考，可否有其它方法判断最值。总结：利用基本不等式解决函数最值问题时，应满足以下三个条件：1、a、b必须为正数（一正）2、积为定值，则和有最小值和为定值，则积有最大值（二定）3、等号必须要取到。（三相等）补充练习1、函数（>0）的最大值为.2、函数（>3）的最小值为.小结本节课我们主要学习用基本不等式来解决函数的一些最

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