江苏省南京市2018届高三9月学情调研考试数学试题

江苏省南京市2018届高三9月学情调研考试数学试题江苏省南京市2018届高三9月学情调研考试数学试题江苏省南京市2018届高三9月学情调研考试数学试题资料仅供参考文件编号：2022年4月江苏省南京市2018届高三9月学情调研考试数学试题版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：南京市2018届高三年级学情调研数学2017.09参考公式：柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝▲．2．若(a＋bi)(3－4i)＝25(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为▲．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为eq\f(1,2)，则输入x的值为▲．5．记函数f(x)＝eq\r(4－3x－x2)的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为▲．6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线EQ\F(x2,16)－EQ\F(y2,9)＝1的焦点到其渐近线的距离为▲．7．已知实数x，y满足条件eq\b\lc\{(\a\al(2≤x≤4，,y≥3，,x＋y≤8，))则z=3x－2y的最大xOy(第xOy(第9题）eq\f(,4)28．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为▲cm2.9．若函数f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0，||＜)的部分图象如图所示，则f(－)的值为▲．10．记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为▲11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是▲．12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120，eq\o(\s\up6(→),BM)＝λeq\o(\s\up6(→),BC)．若eq\o(\s\up6(→),AM)·eq\o(\s\up6(→),BC)＝－eq\f(17,3)，则实数λ的值为▲．13．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为▲．14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x2，x≤0，,－3|x－1|＋3，x＞0．))若存在唯一的整数x，使得eq\F(f(x)－a,x)＞0成立，则实数a的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；A1B1C1ABCE(第15题）（2）A1CDABCO（第21A题）CDPBA（第22题）A1B1C1ABCE(第15题）DABCO（第21A题）CDPBA（第22题）1．{0，2}2．73．164．－eq\r(2)5．eq\f(1,2)6．37．68．189．－110．611．(－∞，2]12．eq\f(1,3)13．－eq\f(4,3)14．[0，2]∪[3，8]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．（本小题满分14分）A1B1C1ABCE(第15题）F证明：（1）在直三棱柱ABC－AA1B1C1ABCE(第15题）F因为AE平面ABC，所以CC1AE．……………2分因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AEBC．因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BC∩CC1＝C，所以AE平面B1BCC1．………………5分因为AE平面AB1E，所以平面AB1E平面B1BCC1.……………7分（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B所以F为A1B的中点．……………9分又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E所以A1C∥平面AB1E.……………16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cosB＝EQ\F(4,5)，所以EQ\F(a2＋c2－b2,2ac)＝EQ\F(4,5)．………2分因为c＝2a，所以EQ\F((\F(c,2))2＋c2－b2,2c×\F(c,2))＝EQ\F(4,5)，即EQ\F(b2,c2)＝EQ\F(9,20)，所以EQ\F(b,c)＝EQ\F(3eq\r(5),10)．……………4分又由正弦定理得EQ\F(sinB,sinC)＝EQ\F(b,c)，所以EQ\F(sinB,sinC)＝EQ\F(3eq\r(5),10)．……………6分解法2因为cosB＝eq\f(4,5)，B∈(0，)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(3,5)．………2分因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA所以sinC＝2sin(B＋C)＝eq\f(6,5)cosC＋eq\f(8,5)sinC，即－sinC＝2cosC．………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝eq\f(2eq\r(5),5)，所以eq\f(sinB,sinC)＝EQ\F(3eq\r(5),10)．………6分（2）因为cosB＝eq\F(4,5)，所以cos2B＝2cos2B－1＝eq\F(7,25)．…………8分又0＜B＜π，所以sinB＝eq\R(,1－cos2B)＝eq\F(3,5)，所以sin2B＝2sinBcosB＝2×eq\F(3,5)×eq\F(4,5)＝eq\F(24,25)．…………10分因为C－B＝eq\F(π,4)，即C＝B＋eq\F(π,4)，所以A＝π－(B＋C)＝eq\F(3π,4)－2B，所以sinA＝sin(eq\F(3π,4)－2B)＝sineq\F(3π,4)cos2B－coseq\F(3π,4)sin2B………………12分＝eq\F(eq\R(,2),2)×eq\F(7,25)－(－eq\F(eq\R(,2),2))×eq\F(24,25)＝eq\F(31eq\R(,2),50)．…………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝eq\f(9000,x)，………2分t2＝eq\f(3000,3(100－x))＝eq\f(1000,100－x)，………4分所以f(x)＝t1＋t2＝eq\f(9000,x)＋eq\f(1000,100－x)，………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………6分（2）f(x)＝1000(eq\f(9,x)＋eq\f(1,100－x))＝10[x＋(100－x)](eq\f(9,x)＋eq\f(1,100－x))＝10[10＋eq\f(9(100－x),x)＋eq\f(x,100－x)]．………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以eq\f(9(100－x),x)＞0，eq\f(x,100－x)＞0，所以eq\f(9(100－x),x)＋eq\f(x,100－x)≥2eq\r(eq\f(9(100－x),x)eq\f(x,100－x))＝6，…12分当且仅当eq\f(9(100－x),x)＝eq\f(x,100－x)，即当x＝75时取等号．…13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C的离心率为eq\f(eq\r(3),2)，所以a2＝4b2．………2分又因为椭圆C过点(1，eq\f(eq\r(3),2))，所以eq\F(1,a2)＋eq\F(eq\f(3,4),b2)＝1，………3分解得a2＝4，b2＝1．所以椭圆C的方程为eq\F(x2,4)＋y2＝1．………5分（2）解法1设P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1，则eq\F(x02,4)＋y02＝1．因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，所以2－x0＝m．………7分由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝eq\F(y0,x0＋2)(x＋2)，令x＝m，得y＝eq\F(y0(m＋2),x0＋2)，即M(m，eq\F(y0(m＋2),x0＋2))．因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，所以kPB·kMB＝eq\s\do1(\f(y0,x0－1))·eq\s\do1(\f(eq\F(y0(m＋2),x0＋2),m－1))＝－1，………10分即eq\s\do1(\f(y02（m＋2）,(x0－1)(x0＋2)(m－1)))＝－1．因为eq\F(x02,4)＋y02＝1．所以eq\s\do1(\f((x0－2)(m＋2),4(x0－1)(m－1)))＝1．………12分因为x0＝2－m，所以化简得3m2－解得m＝eq\s\do1(\f(5±eq\r(13),3))．………15分因为m＞2，所以m＝eq\s\do1(\f(5＋eq\r(13),3))．………16分解法2①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件．………6分②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，联立eq\b\lc\{(\a\al(eq\s\do1(\f(x2,4))＋y2＝1，,y＝k(x＋2)，))消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．因为xA＝－2，所以xP＝eq\s\do1(\f(－8k2＋2,4k2＋1))，所以yP＝eq\s\do1(\f(4k,4k2＋1))，所以P(eq\s\do1(\f(－8k2＋2,4k2＋1))，eq\s\do1(\f(4k,4k2＋1)))．………8分因为PN的中点为B，所以m＝2－eq\s\do1(\f(－8k2＋2,4k2＋1))＝eq\s\do1(\f(16k2,4k2＋1))．(*)……10分因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，因为直线PB与x轴不垂直，所以eq\F(－8k2＋2,4k2＋1)≠1，即k2≠eq\F(1,12)，所以kPB＝eq\s\do1(\f(eq\s\do1(\f(4k,4k2＋1)),eq\s\do1(\f(－8k2＋2,4k2＋1))－1))＝eq\s\do1(\f(－4k,12k2－1))，kMB＝eq\s\do1(\f(k(m＋2),m－1))．因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，所以eq\s\do1(\f(－4k,12k2－1))·eq\s\do1(\f(k(m＋2),m－1))＝－1．（**）………12分将(*)代入（**），化简得48k4－32k2＋1＝0，解得k2＝eq\s\do1(\f(4±eq\r(13),12))，所以m＝eq\s\do1(\f(16k2,4k2＋1))＝eq\s\do1(\f(5±eq\r(13),3))．………15分又因为m＞2，所以m＝eq\s\do1(\f(5＋eq\r(13),3))．………16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝6a所以6a＝3，所以a＝eq\f(1,2)．………2分（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥eq\s\do1(\f(2lnx,x2))．………4分令g(x)＝eq\s\do1(\f(2lnx,x2))，x＞0，则g(x)＝eq\s\do1(\f(2(1－2lnx),x3))．令g(x)＝0，解得x＝eq\r(e)．当x∈(0，eq\r(e))时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，eq\r(e))上单调递增；当x∈(eq\r(e)，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(eq\r(e)，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(eq\r(e))＝eq\s\do1(\f(1,e))，………6分所以－(a＋1)≥eq\s\do1(\f(1,e))，即a≤－1－eq\s\do1(\f(1,e))，所以a的取值范围为(－∞，－1－eq\s\do1(\f(1,e))]．………8分（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，令f′(x)＝0，则x＝1或a．………10分f(1)＝3a－1，f(2)＝4①当1＜a≤eq\s\do1(\f(5,3))时，当x∈(1，a)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a因为h(a)＝3a2－6a＝3a所以h(a)在(1，eq\s\do1(\f(5,3))]上单调递减，所以当a∈(1，eq\s\do1(\f(5,3))]时，h(a)最小值为h(eq\s\do1(\f(5,3)))＝eq\s\do1(\f(8,27))．………12分②当eq\s\do1(\f(5,3))＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2因为h(a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)所以h(a)在(eq\s\do1(\f(5,3))，2)上单调递增，所以当a∈(eq\s\do1(\f(5,3))，2)时，h(a)＞h(eq\s\do1(\f(5,3)))＝eq\s\do1(\f(8,27))．………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为eq\s\do1(\f(8,27))．………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a因为a1＞0，所以a1＝1．………2分（2）因为3Tn＝Sn2＋2Sn，①所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1．因为an＋1＞0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③………5分所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，所以当n≥2时，eq\f(an＋1,an)＝2．………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2因为a2＞0，所以a2＝2，所以eq\f(a2,a1)＝2，所以对n∈N*，都有eq\f(an＋1,an)＝2成立，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*．………10分(3)由(2)可知Sn＝2n－1．因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，………12分所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………16分

南京市2018届高三年级学情调研数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．DABDABCO（第21A题）证明：连接OD，因为DA=DC，所以∠DAO=∠C．………2分在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．………5分因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，从而DOC＋C＝90°，即2C＋故∠C＝30°，………7分所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB．………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝eq\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs8(－2,1,eq\f(3,2),－eq\f(1,2)))．………4分（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P(x，y)，则eq\b\bc\[(\a\co1\vs4\hs8(x,y))＝eq\b\bc\[(\a\co2\vs2\hs8(1,2,3,4))eq\b\bc\[(\a\co1\vs4\hs8(x,y))＝eq\b\bc\[(\a\co1\vs4\hs8(x＋2y,3x＋4y))，所以eq\b\lc\{(\a\al(x＝x＋2y，,y＝3x＋4y．))……8分因为(x，y)在曲线C上，所以6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1．………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\al(x＝－1＋t，,y＝t))，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．………2分由圆C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\al(x＝a＋cos，,y＝2a＋sin))，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．………4分因为直线l与圆C相切，所以eq\f(∣a－2a＋1∣,eq\r(2))＝1，………8分解得a＝1±eq\r(2)．所以实数a的值为1±eq\r(2)．………10分D．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；……2分(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；……………4分(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；……6分所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．CDPCDPBA（第22题）xyz解：（1）以{eq\o(\s\up7(→),\s\do1(AB))，eq\o(\s\up7(→),\s\do1(AD))，eq\o(\s\up7(→),\s\do1(AP))}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设C(1，y，0)，则eq\o(\s\up7(→),\s\do1(PB))＝(1，0，－1)，eq\o(\s\up7(→),\s\do1(CD))＝(－1，1－y，0)．…………2分因为直线PB与CD所成角大小为EQ\F(π,3)，所以|cos＜eq\o(\s\up7(→),\s\do1(PB))，eq\o(\s\up7(→),\s\do1(CD))＞|＝|eq\f(eq\o(\s\up7(→),\s\do1(PB))eq\o(\s\up