高考数学(文数)一轮复习习题 课时跟踪检测（二十四）　平面向量的概念及其线性运算 (含解析)

课时跟踪检测(二十四)平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，则λ＝()A．1 B．2C．4 D．6解析：选B根据向量加法的运算法则可知，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，故λ＝2．2．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－C．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a解析：选D依题意得eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝2(eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))，即eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a．3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析：选C由已知，得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))．又因为eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))不平行，所以四边形ABCD是梯形．4．(2017·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，则实数m的值是________．解析：如图，因为eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN→上一点．所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→))，因为B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(2,3)＝1，则m＝eq\f(1,3)．答案：eq\f(1,3)5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up7(→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(→))＝________．(用a，b表示)解析：如图，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－a－b．答案：b－a－a－b二保高考，全练题型做到高考达标1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b,则eq\o(BE,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,2)b－a B．eq\f(1,2)a－bC．－eq\f(1,2)a＋b D．eq\f(1,2)b＋a解析：选Ceq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a，故选C．2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b))．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2)．又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2)．3．下列四个结论：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝0；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→))＝0，其中一定正确的结论个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，①正确；②eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，②错；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，③正确；④eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(NP,\s\up7(→))＋eq\o(PN,\s\up7(→))＝0，④正确．故①③④正确．4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(EA,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，因此eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))反向平行．5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))，又eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OC,\s\up7(→))，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4．6．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up7(→))＝________(用a，b表示)．解析：由eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，得eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)，eq\o(AM,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b．答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq\o(BC,\s\up7(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，则|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝________．解析：由|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|可知，eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AC,\s\up7(→))，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2．答案：28．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝0．其中正确命题的个数为________．解析：eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①错；eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正确．∴正确命题为②③④．答案：39．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→))．解：eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b．eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b．10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2．(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：由已知得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))．又∵eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知eq\o(BD,\s\up7(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴eq\o(BF,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ.))解得k＝12．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))．∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2)．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)．即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))2．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→