数学物理方程课件

PartⅡ

数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼高教出版社第三版）参考：数学物理方法学习指导（姚端正科学出版社）1ppt课件PartⅡ数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼高教出授课内容数学物理定解问题（Chap.7）分离变数（傅里叶级数）法（Chap.8）球函数（Chap.10）柱函数（Chap.11）2ppt课件授课内容数学物理定解问题（Chap.7）2ppt课件Chap.7数学物理定解问题数学物理方程的导出定解条件数学物理方程的分类达朗贝尔公式定解问题本章小结3ppt课件Chap.7数学物理定解问题数学物理方程的导出3ppt课物理量u(Y,E,B,P…)空间分布（x,y,z）时间演化（t）边界条件初始条件物理规律u(x,y,z,t)分析问题定解问题（确定系数）定界条件4ppt课件物理量u空间分布（x,y,z）边界条件物理规律分析问题定解§7.1数学物理方程的导出常见的数学物理方程

1.波动方程

2.输运方程

3.稳定场方程导出的步骤

1.确定研究对象（物理量）

2.分析物理过程，提炼物理模型

3.建立方程，化简整理，推广5ppt课件§7.1数学物理方程的导出常见的数学物理方程导出的步骤5p波动方程均匀弦的微小横振动问题：一根长为L的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力为T，线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx。设弦的横振动位移为u(x,t)，则由牛顿第二定律ρdxutt=T2sinα2-T1sinα10=T2cosα2-T1cosα1微振动条件cosα1=cosα2=1sinα1=tanα1=ux(x,t)sinα2=tanα2=ux(x+dx,t)于是有T2=T1=Tρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]化简后得到

ρutt=Tuxxutt=a2uxxBCAα1α2uxxdxa2=T/ρ6ppt课件波动方程均匀弦的微小横振动由牛顿第二定律BCAα1α2uxx波动方程推广1情况：受迫振动（考虑重力或外力）分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)，则dx段的受力为Fdx方程：ρutt=Tuxx+F

utt=a2uxx+f，f=F/ρ7ppt课件波动方程推广17ppt课件波动方程推广2情况：均匀杆的纵振动问题分析：张力T变成杨氏模量Y方程：ρutt=Yuxx+Futt=a2uxx+f推广3情况：三维情况分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：8ppt课件波动方程推广28ppt课件问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的变化。分析：扩散现象遵循扩散定律，即q=-D▽u，q是扩散流强度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。扩散方程zyxdxdydzo9ppt课件问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的扩散方扩散方程在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数10ppt课件扩散方程在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为如果体积元内输运方程一维热传导问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx，热容量为cρdx

。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)，则由能量守恒定律

cρdxdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由热传导定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxxa2=k/(cρ)11ppt课件输运方程一维热传导由能量守恒定律a2=k/(cρ)11p扩散方程和输运方程扩散和输运方程具有共同的形式：对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：源的强度12ppt课件扩散方程和输运方程扩散和输运方程具有共同的形式：对于有源扩散稳定场方程概念产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。分类无外界作用情况拉普拉斯方程：Δu=uxx+uyy+uzz=0有外界作用情况泊松方程：Δu=uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F/k13ppt课件稳定场方程概念13ppt课件小结波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作业：P1523,414ppt课件小结波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作§7.2定解条件方程ut(t)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？方程uxx(x)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？由此可归纳出数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出15ppt课件§7.2定解条件方程ut(t)=0一、定解问题的提出二、初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u|t=0=φ(x,y,x)表示；初始变化（速度），用ut|t=0=ψ(x,y,z)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu|t=0=a+(b-a)x/L16ppt课件二、初始条件意义16ppt课件初始条件一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u|t=0=0两端固定，在c点拉开距离h：

u|t=0=hx/c，0<x<c;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，c<x<L;初始速度处于静止状态：ut|t=0=0在c点受冲量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/ρ17ppt课件初始条件一维弦振动17ppt课件三、边界条件意义反映特定环境对系统的影响分类按条件中未知函数及其导数的次数：线性边界条件和非线性边界条件；线性边界条件中按给出的是函数值或导数值：第一、二、三类边界条件；按所给数值是否为零：齐次边界条件和非齐次边界条件。18ppt课件三、边界条件意义18ppt课件三类线性边界条件定解条件初始条件边界条件19ppt课件三类线性边界条件定解条件初始条件边界条件19ppt课件四、常见数学物理方程的定解条件波动方程输运方程稳定场方程20ppt课件四、常见数学物理方程的定解条件波动方程20ppt课件边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/ρ一维杆振动固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一维热传导恒温端u|x=0=a绝热端ux|x=0=0吸热端ux|x=0=F/k21ppt课件边界条件举例典型线性边界条件21ppt课件注意事项注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源。比如一维扩散问题中，在边界x=a上有粒子流注入，此时不能看做是有外源；注意衔接条件。有些问题中存在跃变点，在跃变点处，泛定方程失去意义，需要考虑的问题是跃变点处的物理量是连续的；注意隐含条件。比如泛定方程解得分母中含有自变量时，在x=0处是没有意义的，此时分母中含有自变量的解前面的系数应该取0；注意没有边界条件的问题。22ppt课件注意事项注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源。比一、科学分类方法定义：根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同类别作用：使大量具体的个体问题系统化和条理化，以便揭示对象间的相互关系，探索内在规律，便于理解和应用。方法：比较是分类的前提和基础，分类是比较的深化和结果§7.3数学物理方程的分类23ppt课件一、科学分类方法定义：§7.3数学物理方程的分类23ppt二、数学物理方程的一般分类一般分类按自变量的个数，分为二元和多元方程；按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程；按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程。24ppt课件二、数学物理方程的一般分类一般分类24ppt课件

如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程；如果aij与自变量无关，则称为常系数微分方程；如果k1=k2=k3=1(or0)，且k1，k2中至少有一个的值为1，称为线性微分方程；如果k1，k2，k3中至少有一个的值不等于1和0，则称为非线性微分方程；如果f=0，则称为齐次微分方程；如果f≠0，则称为非齐次微分方程。25ppt课件如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程；25pp2元二阶线性微分方程的分类一般形式：auxx+buxy+cuyy+d1ux+d2uy+eu=f(x,y)特征方程：ax2+bxy+cy2=0判别式

=b2

－4ac分类

>0为双曲型，如波动方程；

=0为抛物线型，如热传导方程；

<0为椭圆型，如稳定场方程。判断：26ppt课件2元二阶线性微分方程的分类一般形式：判断：26ppt课件推导过程关于自变量x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，y的函数）作自变量代换27ppt课件推导过程关于自变量x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，于是，方程化为：28ppt课件于是，方程化为：28ppt课件取特解ξη做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。特解满足的方程为：把z(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx=-zx/zy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：29ppt课件取特解ξη做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。三、叠加原理原理：线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程如：Lu1=f1Lu2=f2则：L(au1+bu2)=af1+bf2应用：齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。30ppt课件三、叠加原理原理：30ppt课件§7.4达朗贝尔公式定解问题定解问题的求解思路原则：由已知猜未知方法：类比法步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。泛定方程的求解达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的应用31ppt课件§7.4达朗贝尔公式定解问题定解问题的求解思路31ppt一、泛定方程的求解常微分方程方程：u’=2ax通解：u=ax2+C偏微分方程方程：ux=2yx通解：u=yx2+C(y)二阶方程：uxy=0对y偏积分：ux=C(x)通解：u=∫C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)32ppt课件一、泛定方程的求解常微分方程32ppt课件二、达朗贝尔(D’Alembert)公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式方程形式：定解条件：推导步骤：1）由方程求通解2）由初始条件确定通解中的待定系数33ppt课件二、达朗贝尔(D’Alembert)公式以均匀弦的横振动1）达朗贝尔公式的推导（求通解）34ppt课件1）达朗贝尔公式的推导（求通解）34ppt课件通解的物理意义：以速度a沿x轴正负方向移动的行波。35ppt课件通解的物理意义：以速度a沿x轴正负方向移动的行波。35ppt达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式36ppt课件达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式36ppt课件2）达朗贝尔公式的物理意义若初始条件为：初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动。这两个行波的和给出各个时刻的波形37ppt课件2）达朗贝尔公式的物理意义若初始条件为：初始位移分为两半，分38ppt课件38ppt课件若初始条件为：39ppt课件若初始条件为：39ppt课件3）达朗贝尔公式的应用a)半无限长弦的自由振动：初始条件只是在x≥0才有意义，在x<0的区域上弦并不存在。因此，若时间增加到x-at<0，达朗贝尔公式中φ(x-at)和积分项就失去了意义，公式也不能应用了。40ppt课件3）达朗贝尔公式的应用a)半无限长弦的自由振动：初始条件只方法：把半无限长弦当做无限长弦的x≥0的部分。无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动。因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，这样，通过奇“延拓”的方式，把方程和初始条件从半无界区间延拓到整个无界区间现在就可以应用达朗贝尔公式进行求解。和无界区间的解相比，端点的影响表现为反射波，即存在半波损失。41ppt课件方法：把半无限长弦当做无限长弦的x≥0的部分。无限长弦在振动b)无限长自由振动解：将初始条件代入达朗贝尔公式42ppt课件b)无限长自由振动解：将初始条件代入达朗贝尔公式42ppt43ppt课件43ppt课件c)边界条件举例任意给定初始条件

u|t=0=2exp(-x2),ut|t=0=0附加边界条件u|x=0=0ux|x=0=0u|x=0=u0u|x=0=0,u|x=L=0……44ppt课件c)边界条件举例任意给定初始条件44ppt课件三、定解问题是一个整体

一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。四、定解问题的适定性

1）有解

2）解是唯一的

3）解是稳定的？45ppt课件三、定解问题是一个整体？45ppt课件本章小结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性

演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题46ppt课件本章小结波动方程演化方程泛定方程定解问题46ppt课件先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。是否存在一种基本的解法适用于大量的各种各样的定解问题呢？能否把偏微分方程变换成常微分方程，再求解呢？47ppt课件先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。是否存Chap.8

分离变数法齐次方程的分离变数法非齐次问题的求解非齐次边界条件的处理泊松方程本章小结48ppt课件Chap.8分离变数法齐次方程的分离变数法48ppt课件§8.1齐次方程的分离变数法一、分离变数法介绍两个固定的端点会引起波的反射，从而在(0,L)之间存在两列反向进行的同频率的波形成驻波。波腹波节49ppt课件§8.1齐次方程的分离变数法一、分离变数法介绍两个固定的端驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为T(t)，但是这些点的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变化可以表示为X(x)。于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：把驻波的分离变数的形式代入振动方程和边界条件中50ppt课件驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相1）定解问题的分离变数

未知函数分离：

泛定方程分离：

边界条件分离：

分离结果：51ppt课件1）定解问题的分离变数未知函数分离：泛定方程分离2）分离结果的求解

空间方程：××√52ppt课件2）分离结果的求解空间方程：××√52ppt课件

时间方程：53ppt课件时间方程：53ppt课件54ppt课件54ppt课件3）系数的确定把方程的一般解代入到初始条件中，上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就可以确定An和Bn55ppt课件3）系数的确定把方程的一般解代入到初始条件中，上两式的左边是分离变量过程小结偏微分方程分离变数｛本征值方程1—

解1常微分方程2

—

解2｝解1×解2线性组合所求解初始条件确定系数分离变数法（傅里叶级数法）56ppt课件分离变量过程小结偏微分分离｛本征值方程1—解1常微分我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思想和求解过程。用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数。在实际的问题中，级数里常常只有前若干项比较重要，后面的项则迅速减小，从而可以略去。57ppt课件我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思二、典型问题的求解（波动方程）

例题1：两端自由的棒的纵振动

写出定解问题的方程：

分离变数：58ppt课件二、典型问题的求解（波动方程）例题1：两端自由的棒的纵振

求解本征值问题：59ppt课件求解本征值问题：59ppt课件

求解时间方程：60ppt课件求解时间方程：60ppt课件

代入初始条件，确定系数：61ppt课件代入初始条件，确定系数：61ppt课件三、典型问题的求解（输运方程）例题2：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。

分离变量：

分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。

定解方程：62ppt课件三、典型问题的求解（输运方程）例题2：研究细杆导热问题。初始

方程求解：63ppt课件方程求解：63ppt课件64ppt课件64ppt课件

代入初始条件，确定系数：65ppt课件代入初始条件，确定系数：65ppt课件66ppt课件66ppt课件67ppt课件67ppt课件68ppt课件68ppt课件思考题如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？如何用分离变数法求解稳定场问题？69ppt课件思考题如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？如何用四、稳定场问题的分离变数法拉普拉斯方程矩形区域问题圆形区域问题70ppt课件四、稳定场问题的分离变数法拉普拉斯方程70ppt课件1）拉普拉斯方程（矩形区域）例题3：散热片的横截面为矩形，它的一边y=b处于较高的温度U，其它三边y=0，x=0和x=a处于冷却介质中因而保持较低的温度u0，求解横截面上的稳定温度分布u(x,y)。0abyxUu0u0u0

定解问题71ppt课件1）拉普拉斯方程（矩形区域）例题3：散热片的横截面为矩形，它分析：这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题。边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把一些边界条件化为齐次。把v和w满足的泛定方程和边界条件分别叠加起来就是u满足的方程和边界条件。因此分别求v和w的方程就可以得到未知函数u的解。72ppt课件分析：这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题。边界条件不可能全

根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：可以用分离变数法求解，只需要把关于y的边界条件看做是分离变数法中的初始条件的地位。73ppt课件根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：可以用分离变数法分离变数：求解本征值方程：求解Y满足的方程：关于v的一般解：74ppt课件分离变数：求解本征值方程：求解Y满足的方程：关于v的一般解：代入非齐次边界条件，确定系数定解问题的解为：75ppt课件代入非齐次边界条定解问题的解为：75ppt课件2）拉普拉斯方程（圆形区域）例题3：匀强电场中，有半径为a，电势为零的圆柱导体，求导体外的稳定的电势分布。

定解问题（极坐标下）

分析：导体外的电势具有轴对称性，做垂直导体线方向的横截面，则可以在极坐标下研究问题。oaφE76ppt课件2）拉普拉斯方程（圆形区域）例题3：匀强电场中，有半径为a，

分离变数：

求解本征值问题：

求解径向方程：77ppt课件分离变数：求解本征值问题：求解径向方程：77pp

方程的一般解：

带入边界条件，确定系数：78ppt课件方程的一般解：带入边界条件，78ppt课件导体带电荷产生的电势原匀强电场导体对周围电场的影响79ppt课件导体带电荷原匀强电场导体对周围79ppt课件§8.2非齐次振动方程和输运方程一、傅里叶级数法

分离变数法的结果显示，方程的解可以展开为傅里叶级数，傅里叶级数的形式决定于边界条件。

对于非齐次振动方程和输运方程，如果边界条件依然是齐次的，可以先把所求的解展开为傅里叶级数，级数的形式取决于该问题齐次方程在所给定的齐次边界条件下的本征函数。

傅里叶级数的系数是时间t的函数。80ppt课件§8.2非齐次振动方程和输运方程一、傅里叶级数法分离变数典型问题的求解例题1：求解定解问题81ppt课件典型问题的求解例题1：求解定解问题81ppt课件82ppt课件82ppt课件83ppt课件83ppt课件84ppt课件84ppt课件二、冲量定理法对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是齐次的，则可以用冲量定理法进行求解。如果初始条件是非齐次的，可以转化为齐次后，再运用冲量定理求解。85ppt课件二、冲量定理法对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是冲量定理法的物理思想冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。“瞬时”力引起的振动记为u(τ)(x,t)，其定解问题为：(1)86ppt课件冲量定理法的物理思想冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看(2)定解问题（1）和（2）是等价的。87ppt课件(2)定解问题（1）和（2）是等价的。87ppt课件从定解问题（2）的初始条件可以看出，u(τ)必含有因子dτ，因此可以令：u(τ)(x,t)=v(x,t,τ)dτ，则定解问题变为，现在可以用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问题，唯一要注意的问题是，前面讲的两种方法的初始时刻是零，这里的初始时刻为τ，因此前两种方法解中的t，在这里应该换成t-τ。原定解问题的解应该是所有瞬时力引起的振动的叠加，88ppt课件从定解问题（2）的初始条件可以看出，u(τ)必含有因子dτ，例题2：求解定解问题解：应用冲量定理，先求解89ppt课件例题2：求解定解问题解：应用冲量定理，先求解89ppt课件参照边界条件，把v展开为傅里叶余弦级数代入泛定方程，分离出Tn的常微分方程90ppt课件参照边界条件，把v展开为傅里叶余弦级数代入泛定方程，分离出TTn的解是v的解为系数由初始条件确定91ppt课件Tn的解是v的解为系数由初始条件确定91ppt课件比较两边系数，得v的解最终为所求的解为92ppt课件比较两边系数，得v的解最终为所求的解为92ppt课件回顾：非齐次方程的求解傅里叶级数法对应齐次方程齐次边界条件的本征函数族分离出关于T的方程和初始条件冲量定理法93ppt课件回顾：非齐次方程的求解傅里叶级数法对应齐次方程齐次边分离出关例题3：求解定解问题

解法1：（傅里叶级数法）94ppt课件例题3：求解定解问题解法1：（傅里叶级数法）94ppt课件解关于T的常微分方程，得：最后得到所求的解：95ppt课件解关于T的常微分方程，得：最后得到所求的解：95ppt课件解法2：（冲量定理法）则原定解问题变为求解v的定解问题：运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，最后，得到与解法一相同的结果。（过程略）96ppt课件解法2：（冲量定理法）则原定解问题变为求解v的定解问题：运用§8.3非齐次边界条件的处理运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求解的定解问题只是齐次边界条件问题。在实际问题中，常常有非齐次边界条件出现，这样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的这几个方法求解呢？方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进行求解。97ppt课件§8.3非齐次边界条件的处理运用分离变数法、傅里叶级数法或例题1：求解定解问题选取一个函数v(x,t)，使其满足非齐次边界条件，不妨取v(x,t)为x的线性函数，即98ppt课件例题1：求解定解问题选取一个函数v(x,t)，使其满足非齐次

尽管这个定解问题的泛定方程是非齐次的，但边界条件是齐次的。因此可以利用傅里叶级数法求解。如果是第二类非齐次边界条件，则v(x,t)的形式可以设为99ppt课件尽管这个定解问题的泛定方程是非齐次的，但边界条件99ppt例题2：弦的x=0端固定，x=l端受迫做谐振动Asinωt，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。定解问题为：100ppt课件例题2：弦的x=0端固定，x=l端受迫做谐振动Asinωt由于求解的是弦在x=l端受迫做谐振动Asinωt情况下的振动，从物理上分析，它一定有一个特解v(x,t)，满足齐次方程和非齐次边界条件，且跟x=l端同步振动，即其时间部分的函数也是Asinωt，于是特解可以表示成分离变数的形式，代入到定解问题中去，可分离出关于X(x)的方程和定解条件，求解这个常微分方程的定解问题，最后可以得到特解v为101ppt课件由于求解的是弦在x=l端受迫做谐振动Asinωt情况下的振动这个定解问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数法求解，其解为：102ppt课件这个定解问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数102pp最后，所求的解为：103ppt课件最后，所求的解为：103ppt课件回顾拉普拉斯方程的求解矩形区域圆形区域104ppt课件回顾拉普拉斯方程的求解矩形区域圆形区域104ppt课件§8.4泊松方程泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：由于泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来求解。求解的思路是：采用特解法，即先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令u=v+w，把问题转化为求w，而w满足拉普拉斯方程。105ppt课件§8.4泊松方程泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：106ppt课件106ppt课件*在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程可以得到一般解：107ppt课件*在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程107ppt课件108ppt课件108ppt课件这是一个拉普拉斯方程的定解问题，可以利用分离变数法求解。109ppt课件这是一个拉普拉斯方程的定解问题，可以利用分离变数法求解。10110ppt课件110ppt课件本章小结基本方法齐次问题：分离变量法；非齐次问题：特解法。常用本征方程齐次边界条件第一类齐次边界条件第二类齐次边界条件第三类齐次边界条件I第三类齐次边界条件II自然边界条件周期性边界条件有界性边界条件111ppt课件本章小结基本方法111ppt课件常用本征方程齐次边界条件112ppt课件常用本征方程齐次边界条件112ppt课件常用本征方程自然边界条件113ppt课件常用本征方程自然边界条件113ppt课件Chap.10

球函数

轴对称球函数连带勒让德函数一般的球函数本章小结114ppt课件Chap.10球函数轴对称球函数114ppt课件球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系115ppt课件球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系115ppt课件球坐标系下拉普拉斯方程的求解球函数方程欧拉型常微分方程116ppt课件球坐标系下拉普拉斯方程的求解球函数方程欧拉型常116ppt课球函数方程的求解117ppt课件球函数方程的求解117ppt课件§10.1

轴对称球函数在m=0情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）构成本征值问题，定解称为勒让德多项式118ppt课件§10.1轴对称球函数在m=0情况下，连带勒让德方程简化一、勒让德多项式的性质1.前几项119ppt课件一、勒让德多项式的性质1.前几项119ppt课件120ppt课件120ppt课件2.一般表示级数表示微分表示积分表示罗德里格斯公式施列夫利积分121ppt课件2.一般表示级数表示微分表示积分表示罗德里格斯公式施列夫利3.勒让德多项式的模和正交关系122ppt课件3.勒让德多项式的模和正交关系122ppt课件123ppt课件123ppt课件4.广义傅里叶级数124ppt课件4.广义傅里叶级数124ppt课件125ppt课件125ppt课件5.母函数和递推公式母函数126ppt课件5.母函数和递推公式母函数126ppt课件127ppt课件127ppt课件

递推公式128ppt课件递推公式128ppt课件递推公式的证明129ppt课件递推公式的证明129ppt课件递推公式的应用130ppt课件递推公式的应用130ppt课件勒让德多项式模的计算131ppt课件勒让德多项式模的计算131ppt课件132ppt课件132ppt课件二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题133ppt课件二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题133ppt课件§10.2

连带勒让德函数在m≠0情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程这个方程如何求解呢？134ppt课件§10.2连带勒让德函数在m≠0情况下，勒让德方程变为连代入到连带勒让德方程中，得到关于y的微分方程这个方程与把勒让德方程逐项求导m次得到的结果一致。因此，它的解就是勒让德方程的解P(x)的m阶导数，135ppt课件代入到连带勒让德方程中，得到关于y的微分方程这个方程与把勒让一、连带勒让德函数的性质1.前几项136ppt课件一、连带勒让德函数的性质1.前几项136ppt课件137ppt课件137ppt课件2.一般表示微分表示积分表示称为罗德里格斯公式，当l-m=2n时，为偶函数；当l-m=2n+1时，为奇函数。称为施列夫利积分138ppt课件2.一般表示微分表示积分表示称为罗德里格斯公式，当l-m=3.连带勒让德多项式的模和正交关系139ppt课件3.连带勒让德多项式的模和正交关系139ppt课件140ppt课件140ppt课件4.广义傅里叶级数141ppt课件4.广义傅里叶级数141ppt课件142ppt课件142ppt课件5.连带勒让德函数的递推公式143ppt课件5.连带勒让德函数的递推公式143ppt课件递推公式的证明144ppt课件递推公式的证明144ppt课件145ppt课件145ppt课件二、连带勒让德函数的应用例题4：半径为a的球面上电势分布为f=Asin2θcosφsinφ，确定球内空间的电势u。解：146ppt课件二、连带勒让德函数的应用例题4：半径为a的球面上电势分布为§10.3一般的球函数球函数的概念球函数的性质球函数的归一化球函数的应用147ppt课件§10.3一般的球函数球函数的概念147ppt课件一、球函数的概念148ppt课件一、球函数的概念148ppt课件二、球函数的前几项149ppt课件二、球函数的前几项149ppt课件三、球函数的性质对称性正交性球面上函数的广义傅里叶级数150ppt课件三、球函数的性质对称性正交性球面上函数的广义傅里叶级数150四、球函数的归一化归一化的球函数正交性完备性151ppt课件四、球函数的归一化归一化的球函数正交性完备性151ppt课件五、球函数的应用例题1：半径为a的球面上电势分布为f=Asin2θcos2φ，确定球内空间的电势u。解：152ppt课件五、球函数的应用例题1：半径为a的球面上电势分布为f=非对称稳定问题的求解153ppt课件非对称稳定问题的求解153ppt课件本章小结一般球面边界稳定问题的半通解为转动对称球面边界稳定问题的半通解为轴对称球面边界稳定问题的半通解为154ppt课件本章小结一般球面边界稳定问题的半通解为转动对称球面边界Chap.11柱函数柱函数的基本性质贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程球贝塞尔方程本章小结155ppt课件Chap.11柱函数柱函数的基本性质155ppt课件柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系156ppt课件柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系156ppt课件柱坐标系下拉普拉斯方程的求解157ppt课件柱坐标系下拉普拉斯方程的求解157ppt课件Z、R常微分方程的求解158ppt课件Z、R常微分方程的求解158ppt课件于是，我们共得到三类贝塞尔方程：贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程球贝塞尔方程这三类贝塞尔方程的解是什么呢？159ppt课件于是，我们共得到三类贝塞尔方程：这三类贝塞尔方程的解是什么呢§11.1三类柱函数

三类柱函数160ppt课件§11.1三类柱函数三类柱函数柱函数的基本性质一、柱函数的图象161ppt课件柱函数的基本性质一、柱函数的图象161ppt课件诺伊曼函数的图象162ppt课件诺伊曼函数的图象162ppt课件二、柱函数的渐近性质x→0时的行为：x→∞时的行为：163ppt课件二、柱函数的渐近性质x→0时的行为：x→∞时的行三、柱函数的递推公式

基本递推公式：

推论二：

推论一：164ppt课件三、柱函数的递推公式基本递推公式：推论二：推论一：16

递推公式的证明k=l+1165ppt课件递推公式的证明k=l+1165ppt课件

递推公式的应用例题1：贝塞尔函数的积分最终可以化成关于J0的积分；当n+m

为奇数时，可以积分出来。166ppt课件递推公式的应用例题1：贝塞尔函数的积分最终可以化成关于16§11.2贝塞尔方程贝塞尔函数与本征值问题贝塞尔函数的正交性、完备性正交性模傅里叶－贝塞尔级数贝塞尔函数应用167ppt课件§11.2贝塞尔方程贝塞尔函数与本征值问题167ppt课件一、贝塞尔函数与本征值问题168ppt课件一、贝塞尔函数与本征值问题168ppt课件169ppt课件169ppt课件

贝塞尔函数的零点正负成对；贝塞尔函数有无限多个零点；

n阶贝塞尔函数两个相邻零点之间必有n+1阶贝塞尔函数的一个零点。170ppt课件贝塞尔函数的零点170ppt课件171ppt课件171ppt课件二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性

贝塞尔函数的模172ppt课件二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性贝塞尔函数的模172pp

正交性：不同本征值的同阶贝塞尔函数正交

完备性（傅里叶-贝塞尔级数）173ppt课件正交性：不同本征值的同阶贝塞尔函数正交完备性（傅里叶-贝例1：把函数f=ρ2

在[0,b]区间用0阶贝塞尔函数展开。174ppt课件例1：174ppt课件三、贝塞尔函数的应用175ppt课件三、贝塞尔函数的应用175ppt课件176ppt课件176ppt课件177ppt课件177ppt课件§11.3虚宗量贝塞尔方程178ppt课件§11.3虚宗量贝塞尔方程178ppt课件179ppt课件179ppt课件一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质1）虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的图像180ppt课件一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质1）虚宗量贝塞尔（汉克2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：181ppt课件2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：181ppt课件2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：182ppt课件2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：182ppt课件2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：183ppt课件2）虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：183ppt课件二、贝塞尔函数的应用184ppt课件二、贝塞尔函数的应用184ppt课件185ppt课件185ppt课件186ppt课件186ppt课件§11.4球贝塞尔方程187ppt课件§11.4球贝塞尔方程187ppt课件188ppt课件188ppt课件一、球贝塞尔(诺伊曼、汉克尔)函数的性质189ppt课件一、球贝塞尔(诺伊曼、汉克尔)函数的性质189ppt课件190ppt课件190ppt课件二、球贝塞尔函数的应用191ppt课件二、球贝塞尔函数的应用191ppt课件192ppt课件192ppt课件本章小结对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题;贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定;典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题的求解有重要作用。193ppt课件本章小结对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题;193p复习要点熟练掌握三种常见数学物理方程的分离变数（傅里叶级数）法；掌握勒让德函数、连带勒让德函数的前几项、递推公式、广义傅里叶级数等基本性质，并能熟练运用；掌握贝塞尔函数的基本性质，并能够运用它求解稳定场方程的定解问题。194ppt课件复习要点熟练掌握三种常见数学物理方程的分离变数（傅里叶级数）

例题1：两端自由的棒的纵振动

写出定解问题的方程：

分离变数：195ppt课件例题1：两端自由的棒的纵振动写出定解问题的方程：

求解本征值问题：196ppt课件求解本征值问题：196ppt课件

求解时间方程：197ppt课件求解时间方程：197ppt课件

代入初始条件，确定系数：198ppt课件代入初始条件，确定系数：198ppt课件199ppt课件199ppt课件200ppt课件200ppt课件201ppt课件201ppt课件202ppt课件202ppt课件203ppt课件203ppt课件谢谢204ppt课件谢谢204ppt课件PartⅡ

数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼高教出版社第三版）参考：数学物理方法学习指导（姚端正科学出版社）205ppt课件PartⅡ数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼高教出授课内容数学物理定解问题（Chap.7）分离变数（傅里叶级数）法（Chap.8）球函数（Chap.10）柱函数（Chap.11）206ppt课件授课内容数学物理定解问题（Chap.7）2ppt课件Chap.7数学物理定解问题数学物理方程的导出定解条件数学物理方程的分类达朗贝尔公式定解问题本章小结207ppt课件Chap.7数学物理定解问题数学物理方程的导出3ppt课物理量u(Y,E,B,P…)空间分布（x,y,z）时间演化（t）边界条件初始条件物理规律u(x,y,z,t)分析问题定解问题（确定系数）定界条件208ppt课件物理量u空间分布（x,y,z）边界条件物理规律分析问题定解§7.1数学物理方程的导出常见的数学物理方程

1.波动方程

2.输运方程

3.稳定场方程导出的步骤

1.确定研究对象（物理量）

2.分析物理过程，提炼物理模型

3.建立方程，化简整理，推广209ppt课件§7.1数学物理方程的导出常见的数学物理方程导出的步骤5p波动方程均匀弦的微小横振动问题：一根长为L的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力为T，线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx。设弦的横振动位移为u(x,t)，则由牛顿第二定律ρdxutt=T2sinα2-T1sinα10=T2cosα2-T1cosα1微振动条件cosα1=cosα2=1sinα1=tanα1=ux(x,t)sinα2=tanα2=ux(x+dx,t)于是有T2=T1=Tρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]化简后得到

ρutt=Tuxxutt=a2uxxBCAα1α2uxxdxa2=T/ρ210ppt课件波动方程均匀弦的微小横振动由牛顿第二定律BCAα1α2uxx波动方程推广1情况：受迫振动（考虑重力或外力）分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)，则dx段的受力为Fdx方程：ρutt=Tuxx+F

utt=a2uxx+f，f=F/ρ211ppt课件波动方程推广17ppt课件波动方程推广2情况：均匀杆的纵振动问题分析：张力T变成杨氏模量Y方程：ρutt=Yuxx+Futt=a2uxx+f推广3情况：三维情况分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：212ppt课件波动方程推广28ppt课件问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的变化。分析：扩散现象遵循扩散定律，即q=-D▽u，q是扩散流强度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。扩散方程zyxdxdydzo213ppt课件问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的扩散方扩散方程在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数214ppt课件扩散方程在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为如果体积元内输运方程一维热传导问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx，热容量为cρdx

。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)，则由能量守恒定律

cρdxdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由热传导定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxxa2=k/(cρ)215ppt课件输运方程一维热传导由能量守恒定律a2=k/(cρ)11p扩散方程和输运方程扩散和输运方程具有共同的形式：对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：源的强度216ppt课件扩散方程和输运方程扩散和输运方程具有共同的形式：对于有源扩散稳定场方程概念产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。分类无外界作用情况拉普拉斯方程：Δu=uxx+uyy+uzz=0有外界作用情况泊松方程：Δu=uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F/k217ppt课件稳定场方程概念13ppt课件小结波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作业：P1523,4218ppt课件小结波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作§7.2定解条件方程ut(t)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？方程uxx(x)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？由此可归纳出数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出219ppt课件§7.2定解条件方程ut(t)=0一、定解问题的提出二、初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u|t=0=φ(x,y,x)表示；初始变化（速度），用ut|t=0=ψ(x,y,z)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu|t=0=a+(b-a)x/L220ppt课件二、初始条件意义16ppt课件初始条件一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u|t=0=0两端固定，在c点拉开距离h：

u|t=0=hx/c，0<x<c;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，c<x<L;初始速度处于静止状态：ut|t=0=0在c点受冲量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/ρ221ppt课件初始条件一维弦振动17ppt课件三、边界条件意义反映特定环境对系统的影响分类按条件中未知函数及其导数的次数：线性边界条件和非线性边界条件；线性边界条件中按给出的是函数值或导数值：第一、二、三类边界条件；按所给数值是否为零：齐次边界条件和非齐次边界条件。222ppt课件三、边界条件意义18ppt课件三类线性边界条件定解条件初始条件边界条件223ppt课件三类线性边界条件定解条件初始条件边界条件19ppt课件四、常见数学物理方程的定解条件波动方程输运方程稳定场方程224ppt课件四、常见数学物理方程的定解条件波动方程20ppt课件边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/ρ一维杆振动固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一维热传导恒温端u|x=0=a绝热端ux|x=0=0吸热端ux|x=0=F/k225ppt课件边界条件举例典型线性边界条件21ppt课件注意事项注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源。比如一维扩散问题中，在边界x=a上有粒子流注入，此时不能看做是有外源；注意衔接条件。有些问题中存在跃变点，在跃变点处，泛定方程失去意义，需要考虑的问题是跃变点处的物理量是连续的；注意隐含条件。比如泛定方程解得分母中含有自变量时，在x=0处是没有意义的，此时分母中含有自变量的解前面的系数应该取0；注意没有边界条件的问题。226ppt课件注意事项注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源。比一、科学分类方法定义：根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同类别作用：使大量具体的个体问题系统化和条理化，以便揭示对象间的相互关系，探索内在规律，便于理解和应用。方法：比较是分类的前提和基础，分类是比较的深化和结果§7.3数学物理方程的分类227ppt课件一、科学分类方法定义：§7.3数学物理方程的分类23ppt二、数学物理方程的一般分类一般分类按自变量的个数，分为二元和多元方程；按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程；按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程。228ppt课件二、数学物理方程的一般分类一般分类24ppt课件

如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程；如果aij与自变量无关，则称为常系数微分方程；如果k1=k2=k3=1(or0)，且k1，k2中至少有一个的值为1，称为线性微分方程；如果k1，k2，k3中至少有一个的值不等于1和0，则称为非线性微分方程；如果f=0，则称为齐次微分方程；如果f≠0，则称为非齐次微分方程。229ppt课件如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程；25pp2元二阶线性微分方程的分类一般形式：auxx+buxy+cuyy+d1ux+d2uy+eu=f(x,y)特征方程：ax2+bxy+cy2=0判别式

=b2

－4ac分类

>0为双曲型，如波动方程；

=0为抛物线型，如热传导方程；

<0为椭圆型，如稳定场方程。判断：230ppt课件2元二阶线性微分方程的分类一般形式：判断：26ppt课件推导过程关于自变量x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，y的函数）作自变量代换231ppt课件推导过程关于自变量x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，于是，方程化为：232ppt课件于是，方程化为：28ppt课件取特解ξη做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。特解满足的方程为：把z(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx=-zx/zy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：233ppt课件取特解ξη做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。三、叠加原理原理：线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程如：Lu1=f1Lu2=f2则：L(au1+bu2)=af1+bf2应用：齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。234ppt课件三、叠加原理原理：30ppt课件§7.4达朗贝尔公式定解问题定解问题的求解思路原则：由已知猜未知方法：类比法步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。泛定方程的求解达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的应用235ppt课件§7.4达朗贝尔公式定解问题定解问题的求解思路31ppt一、泛定方程的求解常微分方程方程：u’=2ax通解：u=ax2+C偏微分方程方程：ux=2yx通解：u=yx2+C(y)二阶方程：uxy=0对y偏积分：ux=C(x)通解：u=∫C(x)dx+D(y)=f(x)+g(y)236ppt课件一、泛定方程的求解常微分方程32ppt课件二、达朗贝尔(D’Alembert)公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式方程形式：定解条件：推导步骤：1）由方程求通解2）由初始条件确定通解中的待定系数237ppt课件二、达朗贝尔(D’Alembert)公式以均匀弦的横振动1）达朗贝尔公式的推导（求通解）238ppt课件1）达朗贝尔公式的推导（求通解）34ppt课件通解的物理意义：以速度a沿x轴正负方向移动的行波。239ppt课件通解的物理意义：以速度a沿x轴正负方向移动的行波。35ppt达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式240ppt课件达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式36ppt课件2）达朗贝尔公式的物理意义若初始条件为：初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动。这两个行波的和给出各个时刻的波形241ppt课件2）达朗贝尔公式的物理意义若初始条件为：初始位移分为两半，分242ppt课件38ppt课件若初始条件为：243ppt课件若初始条件为：39ppt课件3）达朗贝尔公式的应用a)半无限长弦的自由振动：初始条件只是在x≥0才有意义，在x<0的区域上弦并不存在。因此，若时间增加到x-at<0，达朗贝尔公式中φ(x-at)和积分项就失去了意义，公式也不能应用了。244ppt课件3）达朗贝尔公式的应用a)半无限长弦的自由振动：初始条件只方法：把半无限长弦当做无限长弦的x≥0的部分。无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动。因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，这样，通过奇“延拓”的方式，把方程和初始条件从半无界区间延拓到整个无界区间现在就可以应用达朗贝尔公式进行求解。和无界区间的解相比，端点的影响表现为反射波，即存在半波损失。245ppt课件方法：把半无限长弦当做无限长弦的x≥0的部分。无限长弦在振动b)无限长自由振动解：将初始条件代入达朗贝尔公式246ppt课件b)无限长自由振动解：将初始条件代入达朗贝尔公式42ppt247ppt课件43ppt课件c)边界条件举例任意给定初始条件

u|t=0=2exp(-x2),ut|t=0=0附加边界条件u|x=0=0ux|x=0=0u|x=0=u0u|x=0=0,u|x=L=0……248ppt课件c)边界条件举例任意给定初始条件44ppt课件三、定解问题是一个整体

一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。四、定解问题的适定性

1）有解

2）解是唯一的

3）解是稳定的？249ppt课件三、定解问题是一个整体？45ppt课件本章小结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性

演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题250ppt课件本章小结波动方程演化方程泛定方程定解问题46ppt课件先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。是否存在一种基本的解法适用于大量的各种各样的定解问题呢？能否把偏微分方程变换成常微分方程，再求解呢？251ppt课件先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。是否存Chap.8

分离变数法齐次方程的分离变数法非齐次问题的求解非齐次边界条件的处理泊松方程本章小结252ppt课件Chap.8分离变数法齐次方程的分离变数法48ppt课件§8.1齐次方程的分离变数法一、分离变数法介绍两个固定的端点会引起波的反射，从而在(0,L)之间存在两列反向进行的同频率的波形成驻波。波腹波节253ppt课件§8.1齐次方程的分离变数法一、分离变数法介绍两个固定的端驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为T(t)，但是这些点的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变化可以表示为X(x)。于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：把驻波的分离变数的形式代入振动方程和边界条件中254ppt课件驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相1）定解问题的分离变数

未知函数分离：

泛定方程分离：

边界条件分离：

分离结果：255ppt课件1）定解问题的分离变数未知函数分离：泛定方程分离2）分离结果的求解

空间方程：××√256ppt课件2）分离结果的求解空间方程：××√52ppt课件

时间方程：257ppt课件时间方程：53ppt课件258ppt课件54ppt课件3）系数的确定把方程的一般解代入到初始条件中，上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就可以确定An和Bn259ppt课件3）系数的确定把方程的一般解代入到初始条件中，上两式的左边是分离变量过程小结偏微分方程分离变数｛本征值方程1—

解1常微分方程2

—

解2｝解1×解2线性组合所求解初始条件确定系数分离变数法（傅里叶级数法）260ppt课件分离变量过程小结偏微分分离｛本征值方程1—解1常微分我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思想和求解过程。用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数。在实际的问题中，级数里常常只有前若干项比较重要，后面的项则迅速减小，从而可以略去。261ppt课件我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思二、典型问题的求解（波动方程）

例题1：两端自由的棒的纵振动

写出定解问题的方程：

分离变数：262ppt课件二、典型问题的求解（波动方程）例题1：两端自由的棒的纵振

求解本征值问题：263ppt课件求解本征值问题：59ppt课件

求解时间方程：264ppt课件求解时间方程：60ppt课件

代入初始条件，确定系数：265ppt课件代入初始条件，确定系数：61ppt课件三、典型问题的求解（输运方程）例题2：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。

分离变量：

分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。

定解方程：266ppt课件三、典型问题的求解（输运方程）例题2：研究细杆导热问题。初始

方程求解：267ppt课件方程求解：63ppt课件268ppt课件64ppt课件

代入初始条件，确定系数：269p