复变函数与积分变换课件

1复变函数与积分变换1复变函数与积分变换2第一章复数与复变函数2第一章复数与复变函数31.复数的概念

2.代数运算

3.共轭复数§1复数及其代数运算31.复数的概念§1复数及其代数运算4

一般,任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念

定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数.复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

复数的模

判断复数相等4一般,任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念定5定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四则运算5定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差6z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，6z1+z2=z2+z1；运算规律复数的运算满足交换律、结合7共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy

为z的共轭复数.(conjugate)7共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,8891.点的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指数表示法§2复数的表示方法91.点的表示§2复数的表示方法101.点的表示点的表示：

数z与点z同义.101.点的表示点的表示：数z与点z同义.112.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)112.向量表示法12辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.

z=0时，辐角不确定.

计算argz(z≠0)

的公式12辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其13

当z落于一,四象限时，不变.

当z落于第二象限时，加.

当z落于第三象限时，减.

13当z落于一,四象限时，不变.当z落于第二象14141515161617oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指数表示法17oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示181819引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例1

用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj

(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),

半径为2的圆.oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）19引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程例1用20xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么图形？解20xy(z)O(0,-1)2例2方程212122注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.22注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应232013年9月4日232013年9月4日242425252626271.复数的乘积与商

2.复数的乘幂

3.复数的方根§3复数的乘幂与方根271.复数的乘积与商§3复数的乘幂与方根28定理1

两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz228定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，证明29几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.

定理1可推广到n个复数的乘积.oxy(z)z1z2z229几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度定理130由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同的,也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反过来也一样。注意：Arg(z1z2)=Argz1+Argz230由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个数构成31要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.31要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.32定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证明Argz=Argz2-Argz1由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）32定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，证明33设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ.2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）.定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

棣模佛(DeMoivre)公式.33设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证2.复34问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω.3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算

当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，34问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=35

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.xyo35当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，几何上，3636371.区域的概念

2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域§4区域371.区域的概念§4区域381.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ>0为半径的圆|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域.记为Ｕ(z0,δ)即，设G是一平面上点集内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点.381.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ>39开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集.连通是指区域设D是一个开集，且D是连通的，称

D是一个区域.D-区域边界与边界点已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；内点外点D的所有边界点组成D的边界.P39开集若G内的每一点都是连通是指区域设D是40有界区域与无界区域若存在R>0,对任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，则D是有界区域；否则无界.闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域,40有界区域与无界区域闭区域区域D与它的边界一起构成4141422.简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;则曲线方程可记为：z=z(t)，a≤t≤b有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.422.简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)43重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点.定义称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线.z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线43重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，定义443.单连通域与多连通域简单闭曲线的性质

任一条简单闭曲线C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义

复平面上的一个区域B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域.443.单连通域与多连通域简单闭曲线的性质任一条简单闭曲45例如

|z|<R（R>0）是单连通的；

0≤r<|z|≤R是多连通的.单连通域多连通域多连通域单连通域45例如|z|<R（R>0）是单连通的；单连通域多连46作业P31

1（２）（４），２，８（３）（４）（５），１４（２）（４），２１（４）（８）（９）２２（３）（４）（６）46作业P311（２）（４），47474848494950501.复变函数的定义

2.映射的概念

3.反函数或逆映射§5复变函数1.复变函数的定义§5复变函数1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义

1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义复变函数与积分变换课件例1例2例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：

定义域函数值集合2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)woxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=

以下不再区分函数与映射（变换）.

在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）.在复变函数中用两个复平例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)见图2例4解例3解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)ooxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R3.反函数或逆映射例设z=w2

则称为z=w2的反函数或逆映射定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.3.反函数或逆映射例设z=w2则称例已知映射w=z3

，求区域0<argz<在平面w上的象.例例已知映射w=z3，求区域0<argz<在2008.10.8

(第三次课)2008.10.8

(第三次课)1.函数的极限

2.运算性质

3.函数的连续性§6复变函数的极限与连续性1.函数的极限§6复变函数的极限与连续性1.函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中1.函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义:

(1)

意义中的方式是任意的.

与一元实变函数相比较要求更高.(2)A是复数.2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.(1)意义中的方式是任意的.(2)A是定理2

以上定理用极限定义证!定理2以上定理用极限定义证!例1例2例3例1例2例33.函数的连续性定义定理33.函数的连续性定义定理3例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.证明xy(z)ozz例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.

定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)

仍为连续函数;

连续函数的复合函数仍为连续函数.有界性：定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)有界第二章解析函数

第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数第二章解析函数第一节解析函数的概念1.复变函数的导数定义

2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念1.复变函数的导数定义§2.1解析函数的概念

一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导.称此极限值为f(z)在z0的导数，记作

如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导.一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f

(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零.

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零.(2(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)③设函数f(z),g(z)均可导，则④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z).⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解复变函数与积分变换课件例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导.证明例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导.证复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故.(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,

但在复变函数中，却轻而易举.(1)复变函数在一点处可导，要比实函数(2)在高等数(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导2.4解析函数1.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数

(全纯函数或正则函数）.如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点.

(1)w=f(z)在D内解析在D内可导.(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析.2.4解析函数定义如果函数w=f(z)在z0及z0的复变函数与积分变换课件例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4).定理1设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数.例如定理1设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析定理2设w=f(h)在h

平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析.定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解

调和函数

调和函数

在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.内容简介§7解析函数与调和函数的关系在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数内容简定义定理定义定理证明：设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：如如复变函数与积分变换课件定理定理

公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.调和函数在流体力学和电磁场理论等实际例1解曲线积分法例1解曲线积分法故

故又解凑全微分法又解凑又解偏积分法又解偏又解不定积分法又解不定第八次课11月12日第八次课1.解析函数的充要条件

2.举例§2函数解析的充要条件1.解析函数的充要条件§2函数解析的充要条件

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析.

本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.问题如何判断函数的解析性呢？如果复变函数w=f(z)=u(x一.解析函数的充要条件一.解析函数的充要条件复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件

记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).记忆定义方程2008.10.15第四次课2008.10.15定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足

Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证

f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）.∵函数w=f(z)点z可导，即则f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且证明∵函数w=f(z)点z可导，即则f(Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1ΔyΔu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.

（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足

C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.复变函数与积分变换课件定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.

利用该定理可以判断那些函数是不可导的.定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，

ii)验证C-R条件.iii)求导数：

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导二.举例例1

判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

则二.举例例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0则仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+例2

求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为例2求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v例3证明例3证明例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，这里C1

、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、

vy

均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交.练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件1.指数函数

2.三角函数和双曲函数

3.对数函数

4.乘幂与幂函数

5.反三角函数与反双曲函数§3初等函数1.指数函数§3初等函数

本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它们的解析性.内容简介本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义复变函数与积分变换课件

这个性质是实变指数函数所没有的.这个性质是实变指数函数所没有的.

例1例2例1例2二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质复变函数与积分变换课件思考题：思考题：复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)复变函数与积分变换课件定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质复变函数与积分变换课件三.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数.即，(1)对数的定义三.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数.即，(故故特别

特别2008.10.22第五次课2008.10.22(2)对数函数的性质见§1-6例1(2)对数函数的性质见§1-6例1例4例4复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件四.乘幂与幂函数

乘幂ab定义

—多值—一般为多值四.乘幂与幂函数乘幂ab定义—q支—q支

(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a

的

n次根意义一致.(1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a的n次幂意义一致.(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的解例5解例5

幂函数zb定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复平面上是单值解析函数幂函数zb定义①当b=n(正整数)w=zn在整个复变函数与积分变换课件

除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值.5.反三角函数与反双曲函数详见P52

重点：指数函数、对数函数、乘幂．

作业P672,8,15,18作业P672,第三章复变函数的积分第三章复变函数的积分1.有向曲线

2.积分的定义

3.积分存在的条件及其计算法

4.积分性质§1复变函数积分的概念1.有向曲线§1复变函数积分的概念1.有向曲线1.有向曲线CA(起点)B(终点)CCCA(起点)B(终点)CC2.积分的定义定义DBxyo2.积分的定义定义DBxyo

复变函数与积分变换课件3.积分存在的条件及其计算法定理

3.积分存在的条件及其计算法定理证明证明

由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得4.积分性质由积分定义得：4.积分性质由积分定义得：例1解又解Aoxy例1解又解Axy例2解oxyrC例2解oxyrCîíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

îíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010n第六次课10月29日第六次课oxy例3解oxy例3解解:例4解:例4分析§1的积分例子:§2Cauchy-Goursat基本定理分析§1的积分例子:§2Cauchy-Goursat基本定猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关.先将条件加强些，作初步的探讨猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的先将条件加强些，作初步的探复变函数与积分变换课件—Cauchy定理—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也称Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：BC—也称Cauch(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.BBC推论设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1∈B,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关.Cz1z0C1C2C1C2z0z1(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.BBC推论设复合闭路定理：§3基本定理推广—复合闭路定理复合闭路定理：§3基本定理推广—复合闭路定理证明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH证明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH说明说明

此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过f(z)的不解析点.—闭路变形原理DCC1C1C1此式说明一个解析函DCC1C1C1例解C1C21xyo例解C1C21xyo练习解C1C21xyo练习解C1C21xyo作业P991,2,5,7(1)(2)作业P991,2,5,7(1)(2)1.原函数与不定积分的概念

2.积分计算公式§4原函数与不定积分1.原函数与不定积分的概念§4原函数与不定积分1.原函数与不定积分的概念

由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分∫cfdz与路径无关，只与起点和终点有关.

当起点固定在z0,终点z在B内变动,∫cf(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且1.原函数与不定积分的概念由§2基本定理的定义若函数(z)

在区域B内的导数等于f(z)

，即

,称(z)为f(z)在B内的原函数.

上面定理表明是f(z)的一个原函数.设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数.(见第二章§2例3)定义若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)，2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则

此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.

但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原例1计算下列积分：解1)

例1计算下列积分：解1)解)解)例3计算下列积分：例3计算下列积分：小结求积分的方法小结求积分的方法第七次课11月5日第七次课利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.§5Cauchy积分公式利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,分析DCz0C1分析DCz0C1DCz0C1∴猜想积分DCz0C1∴猜想积分定理(Cauchy积分公式)证明定理(Cauchy积分公式)证明复变函数与积分变换课件

一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.一个解析函数在圆心处的值等于它在例1解例1解例2解CC1C21xyo例2解CC1C21xyo本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式.研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点与实变函数有本质区别.§6解析函数的高阶导数本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式.研形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明.形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明.定理证明用数学归纳法和导数定义.定理证明用数学归纳法和导数定义.令为I令为I复变函数与积分变换课件依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得一个解析函数的导数仍为解析函数.一个解析函数的导数仍为解析函数.例1解例1解复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件

作业P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)

作业P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2

解析函数与调和函数的关系

解析函数与调和函数的关系

在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.内容简介§7解析函数与调和函数的关系在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数内容简定义定理定义定理证明：设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：如如复变函数与积分变换课件定理定理

公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.调和函数在流体力学和电磁场理论等实际例1解曲线积分法例1解曲线积分法故

故又解凑全微分法又解凑又解偏积分法又解偏又解不定积分法又解不定第八次课11月12日第八次课1.复数列的极限

2.级数的概念第四章级数§1复数项级数1.复数列的极限第四章级数§1复数项级数1.复数列的极限定义又设复常数：定理1证明1.复数列的极限定义又设复常数：定理1证明复变函数与积分变换课件2.级数概念级数的前n项的和---级数的部分和不收敛---无穷级数定义设复数列：

2.级数概念级数的前n项的和---级数的部分和不收敛---例1解定理2证明例1解定理2证明

由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题.性质定理3证明由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为性质定理3证明

?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4解例2：P108解例2：P108例3解练习(P108,例1)：例3解练习(P108,例1)：1.幂级数概念

2.收敛定理

3.收敛圆与收敛半径

4.收敛半径的求法

5.幂级数的运算和性质§2幂级数1.幂级数概念§2幂级数1.幂级数的概念定义设复变函数列：称为复变函数项级数级数的最前面n项的和级数的部分和

1.幂级数的概念定义设复变函数列：称为复变函数项级数级数的若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1阿贝尔(Able)定理讨论P142：52.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理证明证明(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛.(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，显然，<否则，级数(3)将在处发散.将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错.故播放显然，<否则，级数(3)将在处发散.将收敛部分染成红复变函数与积分变换课件

(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析.定义红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；圆的半径R叫做幂级数的收敛半径.(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外定义红蓝两色的4.收敛半径的求法

定理2(比值法)证明4.收敛半径的求法定理2证明复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件

定理3(根值法)

定理2(比值法)定理3定理2第九次课11月19日第九次课例1：P111解

综上例1：P111解综上例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的.例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解

综上该级数发散.该级数收敛，综上该级数发散.该级数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的.故该级数在复平面上是处处收敛的.5.幂级数的运算和性质

代数运算

---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算5.幂级数的运算和性质代数运算---幂级数的加、减运算---幂级数的代换(复合)运算

幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3：P116解代换---幂级数的代换(复合)运算幂级例3：P116解代解代换展开还原解代换展开还原

分析运算

定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算分析运算定理4---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐

作业P10330(1)(2),31P1411(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)作业P10330(1)(2),311.泰勒展开定理

2.展开式的唯一性

3.简单初等函数的泰勒展开式§3泰勒(Taylor)级数1.泰勒展开定理§3泰勒(Taylor)级数1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由§2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数.以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示.1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：由定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得DkzDkz---(*)得证！---(*)得证！证明(不讲)证明(不讲)(不讲)证明(不讲)证明

2.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数.利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:2.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的.---直接法---间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor---直接法3.简单初等函数的泰勒展开式例1解(P120)3.简单初等函数的泰勒展开式例1解(P120)复变函数与积分变换课件

上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:解上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2(2)由幂级数逐项求导性质得：(2)由幂级数逐项求导性质得：

(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负定理定理复变函数与积分变换课件第十次课第十次课??1.预备知识

2.双边幂级数

3.函数展开成双边幂级数

4.展开式的唯一性§4罗朗(Laurent)级数1.预备知识§4罗朗(Laurent)级数

由§3

知,f(z)在z0

解析，则f(z)总可以在z0

的某一个圆域z-z0<R内展开成z-z0的幂级数.若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开成z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1<z-z0<R2

内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？例如，P127由§3知,f(z)在z0解析由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2内

本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础.本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析1.预备知识Cauchy积分公式的推广到复连通域---见第三章第18题P101Dz0R1R2rRk1k2D1z1.预备知识Cauchy积分公式的推广到复连通域---见2.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如---双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：2.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如---双级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散.

级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z0R1R2z0R2R1z0R1R2z0R2R1

(2)在圆环域的边界z-z0=R1,

z-z0=R2上,(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-3.函数展开成双边幂级数定理3.函数展开成双边幂级数定理证明由复连通域上的Cauchy

积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2证明由复连通域上的CauchyDz0R1R2rRk1k2复变函数与积分变换课件式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进

(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点

z0的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开.(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点4.展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数.事实上，Dz0R1R2c4.展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数Dz0R1R2cDz0R1R2c

由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系数的方法.例1解由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可例1解例2解例3解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12P132例4xyo12xyo12xyo12P132解:没有奇点解:没复变函数与积分变换课件注意首项注意首项(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式.小结：把f(z)展成洛朗(Laurent)级数的方法：(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理小结：把f(z)解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo12解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo12

(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：(2)在(最大的)去心邻域xo12练习：

(2)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数.(2)根据区域判别级数方式：

(3)Laurent级数与Taylor级数的不同点：

Taylor级数先展开求R,找出收敛域.

Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0

为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环，在环域上展成级数.(3)Laurent级数与Taylor级数的不同点：计算沿封闭路线积分中的应用P135计算沿封闭路线积分中的应用P135复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件作业P14312(1)(3),16(2)(3)作业P14312(1)(3),16(2)(3)326复变函数与积分变换1复变函数与积分变换327第一章复数与复变函数2第一章复数与复变函数3281.复数的概念

2.代数运算

3.共轭复数§1复数及其代数运算31.复数的概念§1复数及其代数运算329

一般,任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念

定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数.复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

复数的模

判断复数相等4一般,任意两个复数不能比较大小.1.复数的概念定330定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四则运算5定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差331z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，6z1+z2=z2+z1；运算规律复数的运算满足交换律、结合332共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy

为z的共轭复数.(conjugate)7共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,33383341.点的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指数表示法§2复数的表示方法91.点的表示§2复数的表示方法3351.点的表示点的表示：

数z与点z同义.101.点的表示点的表示：数z与点z同义.3362.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)112.向量表示法337辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.

z=0时，辐角不确定.

计算argz(z≠0)

的公式12辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其338

当z落于一,四象限时，不变.

当z落于第二象限时，加.