等差数列的性质及简单应用

【选题明细表】知识点、方法题号等差数列性质的应用1、2、4、6、7、8等差数列中的计算问题3、5、9、10、12实际应用题11基础达标1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项为(C)(A)0 (B)37 (C)100 (D)-37解析:设cn=an+bn,则{c列.又c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,则d=c2-c1=0,故cn=100(n∈N*),从而c37=100.故选C.2.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0(A)(A)无实根 (B)有两个相等实根(C)有两个不等实根 (D)不能确定有无实根解析:由a2+a5+a8=9得3a5=9,a5=3,∴a4+a6=2a5=6,于是方程的判别式Δ=(a4+a6)2-4×10=62-4×10<0,故方程无实根,故选A.3.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9等于(C)(A)21 (B)24 (C)27 (D)30解析:由已知得3a4=39,3a5=33,∴a4=13,a5=11,若设公差为d,则d=a5-a4=11-13=-2,于是a6=9,∴a3+a6+a9=3a6=3×9=27,故选C.4.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有(D)①{an+an+1};②{QUOTE};③{an+1-an};④{2an};⑤{2an+n}.(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个解析:设等差数列{an}的公差为d,对于①(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d,∴{an+an+1}是等差数列;对于②,{QUOTE}不一定是等差数列,例如取{an}为1,2,3,4,…;对于③,由于an+1-an=d,∴{an+1-an}是常数列,仍为等差数列;对于④,2an-2an-1=2d,∴{2an}是等差数列;对于⑤,(2an+n)-(2an-1+n-1)=2d+1为常数,∴{2an+n}是等差数列,因此①③④⑤仍为等差数列,故选D.5.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于(B)(A)120 (B)105 (C)90 (D)75解析:∵a1+a2+a3=15,∴a2=5.∴a1a3=16.设{an}的公差为d,则QUOTE又d>0,∴d=3,a1=2.∴a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=3(2+11×3)=105,选B.6.(2022湖南师大高二期中)在等差数列{an}中,已知a2+a3+a10+a11=36,则a5+a8=.

解析:法一根据题意,有(a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36,∴4a1+22d=36,则2a1+11d=18.∴a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d=18.法二由等差数列的性质,可得a5+a8=a3+a10=a2+a11,∴36=2(a5+a8).∴a5+a8=18.答案:187.(2022德化高二检测)在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-QUOTEa8的值为.

解析:∵a2+a10=a4+a8=2a6,∴a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16.∴a7-QUOTEa8=(a6+d)-QUOTE(a6+2d)=QUOTEa6=QUOTE×16=8.答案:8能力提升8.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为(A)(A)24 (B)22 (C)20 (D)-8解析:设{an}公差为d,∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=2a8+2d-(a8+2d)=a8=24,选A.9.已知数列-1,x1,x2,9和-1,y1,y2,y3,9都是等差数列,则QUOTE=.

解析:设两个等差数列的公差分别为d1和d2,则3d1=9-(-1)=10,d1=QUOTE,4d2=9-(-1)=10,d2=QUOTE,于是QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.等差数列{an}中,公差为QUOTE,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a2+a4+a6+…+a100=.

解析:a2+a4+a6+…+a100=a1+QUOTE+a3+QUOTE+a5+QUOTE+…+a99+QUOTE=a1+a3+a5+…+a99+QUOTE×50=60+25=85.答案:8511.某单位用分期付款方40套住房,共需1150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月,求分期付款的第10个月应付多少钱?最后一次应付多少钱?解:购买时先付150万元,还欠款1000万元.依题意知20次可付清.设每次交付的欠款依次为a1,a2,a3,…,a20,构成数列{an},则a1=50+1000×=60;a2=50+(1000-50)×=;a3=50+(1000-50×2)×=59;…an=50+[1000-50(n-1)]×=60-QUOTE(n-1)(1≤n≤20).所以{an}是以60为首项,-QUOTE为公差的等差数列.则a10=60-9×QUOTE=,a20=60-19×QUOTE=,故第10个月应付万元,最后一次应付万元.探究创新12.如果有穷数列a1,a(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列