数值分析-误差分析和解的精度改进(共40张PPT)

第四节误差分析和解的精度改进一、解的误差分析基本问题——解的稳定性三、数值稳定性及解的精度改进第1页，共40页。一、解的误差分析基本问题——解的稳定性第2页，共40页。第3页，共40页。

数学稳定性:对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。

数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。第4页，共40页。第5页，共40页。第6页，共40页。第7页，共40页。第8页，共40页。第9页，共40页。第10页，共40页。

第11页，共40页。第12页，共40页。第13页，共40页。证闭第14页，共40页。第15页，共40页。这就是由A和b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界第16页，共40页。第17页，共40页。第18页，共40页。第19页，共40页。第20页，共40页。第21页，共40页。在正交变换下，误差不增长第22页，共40页。一、解的误差分析基本问题——解的稳定性（2）（行）比例增减改善这就是由A和b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界1、在第一步消元前，计算3、对换EkEr,sksr要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。方程组这就是由A和b的原始数据小的扰动引起解的相对误差界在正交变换下，误差不增长三、数值稳定性及解的精度改进前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。列主元法求解x1=x2=1三、数值稳定性及解的精度改进（2）（行）比例增减改善第23页，共40页。

前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。列主元法求解x1=x2=1

按行比例消元法:将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组的最大系数的绝对值不超过1，然后再做列主元消元。（2）（行）比例增减改善第24页，共40页。例4应用按比例消元法求解方程组2、在第k步消元前，选主元指标r使3、对换EkEr,sksr

4、消元

具体步骤如下：1、在第一步消元前，计算第25页，共40页。第26页，共40页。算法:按行比例列主元高斯消元法解线性方程组Ax=b第27页，共40页。第28页，共40页。第29页，共40页。迭代改善的计算格式：第30页，共40页。第31页，共40页。第32页，共40页。||||||||第33页，共40页。病态严重：1:正交分解2:A的奇异值分解。轻度病态：1:双精度改善2:比例增减改善3:迭代改善。2.解的精度改进第34页，共40页。在正交变换下，误差不增长要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。在正交变换下，误差不增长三、数值稳定性及解的精度改进例4应用按比例消元法求解算法:按行比例列主元高斯消元法解线性方程组Ax=b当计算机接替了大量计算，对机器的使用者来说，聪明地设计正确算法和解释结果是很重要的。在正交变换下，误差不增长三、数值稳定性及解的精度改进3、对换EkEr,sksr3、对换EkEr,sksr二版习题P116---24,26,28证明：病态的程度。接近奇异的大小可作为度量矩阵最小的奇异值分解的nnTTnAAAAAconddiagVUASVDAsssllsss1minmax221)()()(),...,,(,)1(===SS=奇异值分解的应用第35页，共40页。第36页，共40页。第37页，共40页。

要想成为一名计算机算法语言的明智的使用者，那么掌握归纳、递推等基本概念，理解算法的精确性、经济性和稳定性的属性则是非常重要的。第38页，共40页。

培养“数觉”：当计算机接替了大量计算，对机器的使用者来说，聪明地设计正确算法和解释结果是很重要的。设计计算需要充分理解运算的意义，解释结果需要会判断机器输出