初中数学经典难题(含答案)-2

000000经典难题（一）、已知：如图，O是半圆的圆心、E是上的两点CDAB，⊥AB，⊥CO．求证：CD＝GF二）C

EA

GDOF

B解.下图作GHAB,连接EO由于四共圆，所以GFH∠OEG,即△GHF△OGE,得1、

EOCO==又，所以CD=GF得。GH、已知：如图，P是方形内点，＝PDA．求证：△正三角形二）

A

DB解.如图做△DGC使与ADP全，可eq\o\ac(△,得)PDG为eq\o\ac(△,边)，从而可得△DGCAPD≌△得∠DCG=＝所以∠DCP=30，而得出PBC是三角形

C2220002220002、、如图，已知四边形ABCDABCD都是正方形A、B、C、D分是AA、BB、11121CC、的点．1求证：四边形ABCD是方形二）222

A

A

2

A

1

D

2

DD

1B

1C

1B

2

C

2B

C解析.如图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接CF与AE并延长相交于Q点，1122连接EB延长交CQ于H点，连接延长交AQ于G点，2222由AE=AB=BC=FB，EB=12111122

AB=

BC=F，又1

∠GFQ+

和∠GEB+∠Q=900所以∠B=GFQ又∠B=∠A，22可得eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)FC≌eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)EB，以AB，22又∠GFQ+HB和∠∠A222从而可得∠B=90，22同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形ABCD是方形。22BB3、、已知：如图，在四边形ABCD中ADBC，、N分是、的点AD、BC的延长线交于E、．求证：DEN∠F．

FENC解析

DAM.如下图连接AC取其中点Q，连QN和QM，所以可∠∠，∠和∠QNM从而得出∠＝。4、0000经典难题（二）、已知：△ABC中为心（各边高线的交点为心且OM⊥BC于M．求证：AH；若∠BAC＝，证＝AO二）

AO·

H

EB

MD

C解析

.(1)延长AD到F连BF，做OG

⊥AF,又∠F=∠ACB=BHD可得从而可得，又(2)连接OB，OC,既得∠BOC=120，从而可得∠BOM=60,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。1、OO、设MN是外直线，过O作OA于A，自A引的两条直线，交圆于B、及、，直线及CD别交于P、Q．求证：＝二）2、

CM

GE·BDAQ

N、如果上题把直线由圆外平移至圆内，则由此可得以命题：设圆O的，过的中点A任两弦BCDE设CDEB分交于P、Q

E求证：＝AQ二）

M

C

A·

Q

N·OBD解析作OF⊥CD，OG⊥BE连接，OAOFAFOGAG，OQ。由于

ACCDFD=AB2BGBG

，由此可得△≌△，而可得AFC=∠AGE又因为PFOA与QGOA四共圆，可得∠AFC=∠和∠AGE=，∠AOP=，从而可得。3、、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，ABC的侧作正方形ACDE和方形CBFG点P的点求证：点到AB距离等于的半二

DGCE

F解析

A.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=

QBEGFH2

。由△EGA≌△AIC，得EG=AI由△BFH△CBI，可得FH=BI。从而可得

PQ=

AI+BIAB=，而得证。200000000004、经典难题（三）、如图，四边形ABCD为方形∥，AE＝AC，AE与CD交于F求证：＝二）

A

D解析顺时针旋ADE，到△，连接由于∠ABG=∠+4500从而可得B，GD在条直线上，可得AGB△。推出AE=AG=AC=GC可得AGC为等边三角形。

F

E∠AGB=30，得，从而可得A。又∠EFC=+30=75可证：。1、

B

C00000000000、如图，四边形ABCD为方形∥，且＝，直线交DA延线于．求证：＝AF二

F

AD.连接BD作CH⊥DE可四边形是方形。解析由AC=CE=2GC=2CH

B

C

E可得∠，所以CAE=∠CEA=∠，又∠=150从而可知道F=152、

，从而得出、设P是方形ABCD一边BC上任一点PF⊥AP，CF平∠．求证：PA＝PF二）

A

DAB

CE解析作FG⊥CD，FE⊥BE可以得出GFEC为方形。令AB=Y，,得PC=Y-X。BAP=tan∠EPF=

Z=Y-+

，可得，即Z(Y-X)=X(Y-X)，得，得出≌△PEF，得到PA＝，证。3、、如图PC切于，AC为圆的直径，PEF为的割线AEAF与线PO相交于B、D．求AB＝DCBC＝AD三）

A

B

ODE

F4、

C0000经典难题（四）、已知：△ABC是三形，P是三角形内一点PA3，＝4，PC5．求：∠APB的数二）

A解：

顺时针旋

B，接PQ，△PBQ是三角形。

C可得

△是角三角形。所以∠APB=150。1、、设P是行四边形ABCD内部的点，且PBA＝∠PDA．

A

D求证：PABPCB二

B

C解

.作过P点平行于AD直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出

∠ABP=∠ADP=∠，可得：共（一边所对两角相等可得∠∠∠，证2、Ptolemy（托勒密理ABCD为内接凸四边CDADBCAC．（初三）

AD解

B.在BD取一点E，使∠BCE=，既得△BEC∽△ADC，可得：AD=，即AD•BC=BE•AC，①BCAC又∠ACB=∠，得△∽△，既得=，即ABCD=DE•，②ACDC由①+②可得ABCD+AD•BC=AC(BE+DE)=ACBD，得证。3、、平行四边形中，设、分别是BC、AB上的一点，AE与CF相于，AECF求证：DPA＝DPC二A

DFB

E

C解

.过D作AQ⊥AE，AGCF，

=

=2

DFC

，可得：AQ=，AE=FC。2可得DQ=DG可得∠DPA∠（角平线逆定理224、证明：过D作DQ⊥，DG⊥并连接DF和DE如右图所示1则=Seq\o\ac(△,S)ABCDDFC1∴AE﹒DQ=DG﹒FC2又∵AE=FC,∴∴PD为∠的平分线，∴∠DPA=∠经典难题（五）、设P是长为的正△ABC内一点，l＝＋＋，求证：≤L＜．A解析

.（1）顺时针旋BPC600，可得△PBE等边三角形。

B

C既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要，PE，在条直线上，即如下图：可得最小L=

；（2）过P点作的平行线交AB,AC与点D，F。由于

∠APD>∠ATP=ADP推出AD>AP又BP+DP>BP和PF+FC>PC

又DF=AF④由①②③④可得：最大L<2；由（1）和（）得：≤L。1、、已知P是长为的正方形ABCD内一点，求＋PB＋PC的小值．解析.顺时针旋转△600，得等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要最小只要AP，，EF在一条直线上，即如下图：可得最小。

ADB

C既得AF==

+(+1)(3+=2

=

22

2+3=(3+1)

4+23=

6+2

。2.、为方形ABCD内一点，并且＝，PB＝，，求正方形的边长．A

D解析

.顺时针旋ABP0，得如下图：

B

C00000000000000000000既得正方形边长L

(2+

)2+(

=

5+22

。、如图，ABC中＝∠ACB＝80DE别是ABAC上点，＝∠EBA，∠的数．

，A解析

.在AB上找一点F，使

∠

，连接EFDG，既得△为等边三角形，可得∠,∠,出ABE△ACF，得到BE=CF，FG=GE。推出：△FGE为边三角形，得∠AFE=80，

D

E既得：∠又BD=BC=BG，既∠BGD=80，既得推得：DF=DG,得到：≌DGE，

BC从而推得：FED=∠0。118.中数学题证明：已知AB为半圆的直径，为圆上的一点CD垂AB圆⊙O切圆于Q，CD于P，切AB于，求证：BC=BR证明：连接AC∵AB是O的直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠CDB=90=∠ACB又∵∠B=∠B∴△ACB△（AA）∴AB/BC=BC/BD∴×∵⊙O1与CDAB相∴∠O1PD=O1RD=90°=∠PDR∴四边形O1RDP是形∵∴四边形O1PDP是方形∴RD=O1R∵⊙O与⊙O1相切于Q∴点Q、O1、在