实际问题中导数的意义

实际问题中导数的意义学科组

高二数学组

主备人

田光海

执教人课题

4.2.1

实际问题中导数的意

课

型

新授课

时间2012.课时教学目标教学设想

义1.进步熟练函数的最大值与最小值的求法；2.初会解有关函数最大值、最小值的实际问题3.掌导数在日常生活中的重要作用，并能应用导数去解决生活中的实际问题4.通学习，感受学习的乐趣，激发学习的兴趣，树立必胜的信念。重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．难点：建立函数模型，解有关函数的实际问题．教法学法指导：引导探究，讲练结合多媒课演）教学程序与策略教过：多体件示一复引：极大：一般地，设函数f(x)在x附有定义，如果对x附的所有的点，都有＜f(x)就f(x)是数f(x)的一个极大值记作y=f(x)x是大值点极小：一般地设数f(x)在x附有定义如对附的所有的点都f(x)＞).就说f(x)是函数f(x)一个极小值，记作y=f(x)，是极小值点极大与小统为极判x)极、小的方:0

个性化修改若满足f0

，在x的侧00

f(

的导数异号，则x是f(0

的极值点，

f(0

是极值并如果

f

在

x

0

两侧满“正右负

x

0

是

f(

的极大值点，

f(0

是极大值如

f

在

x

0

两侧满“负右正

x

0

是

f(的极小值点，

f(0

是极小值求导数x的极的骤(1)确定函数的定义区间，求导数′()(2)求方程′(x的根(3)用函数的导数为0的，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检f(在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么x)在这个根处取得极小值如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么fx在这个根处无极值二讲范：多体件示/

实际问题中导数的意义例1在长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，把它的边沿虚线折起如)，做成一个无盖的方底子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【媒课演图】

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高60hcm，得2

0

x

x子容积

0V()2h

60x

22

3(060)．

3x2

60)令

V

3x2

＝，得x=0（舍去，并求得V(40)=16000由题意可知x过（接近0或过（接近60）时，箱子容积很小，因000是最大

60-2x

x值

60-2x

60-2x答当x=40cm时箱子容积最大最大容积是16000cm解法二：设箱高为cm，则箱底长为(60-2)cm，则得箱子容积

60-2x

xV(x))2xx

面解法一，略）由题意可知，当x过或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上可导函数

V()

2

h

60x

22

3

、V)(60)2x

在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2πR

由V=Rh，得

h

2

，则S(R)=2R

2VV+2R=+2πR令s+4πR=0R/

实际问题中导数的意义解得，

3

V，从而h==22

4VV=3=23)2即h=2R因为S(R)只有一个极值所以它是最小值答当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．三课练：1.函数y=2－x

－12+5在0，3］的最小值___________.2.函数fx)=sin2－在－

,］的最大值为；小_______.23.将正数a成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分_________.4.使内接椭圆

22a2

=1的矩形面积最大，矩形的长_____，为____.5.在半径为的内，作内接等腰三角形，当底边上高___时，它的面积最大答：－152.四课小：

a－3.4.5.2

R⑴解有关函数最大值小的际问题要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式确函数的定义区间得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较