空间直线、平面的垂直-课件

精品课件高中数学必修2第八章立体几何初步新人教版

空间直线、平面的垂直特级教师优秀课件精选精品高中数学必修2第八章立体几何初步新人教版空间直线、1教学目标异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义；直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定定理，异面

直线所成角、直线和平面所成的角、二面角及其求法；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理

的综合应用．教学目标异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义；直线教学重点教学难点异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定．找异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定

理的应用．教学重点教学难点异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角引入空间中两条直线的位置关系

1.空间两条直线的位置关系有三种:__________、_________、_________.异面直线平行直线相交直线引入空间中两条直线的位置关系

1.空间两条直线的位置关系有2.分类(1)从有无公共点的角度来看，可分为两类平行直线无公共点(2)从是否共面的角度来看，可分为两类相交直线共面直线直线平行直线不共面直线:异面直线有且仅有一个公共点:相交直线直线异面直线2.分类(1)从有无公共点的角度来看，可分为两类平行直线无公直线与直线垂直异面直线a与b所成的角1.如图，己知两条异面直线a,b经过空间任一点O分别作直线a'∥a,

b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做_________________________

(或夹角).直线与直线垂直异面直线a与b所成的角1.如图，己知两条异面直0°≤a≤90°2.范围:______________.3.当θ=____时，a与b互相垂直，记作______.

异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：

异面垂直和相交垂直.4.当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所成的角为________.

所以空间两条直线所成角α的取值范围是________________.

0°<θ≤90°a⊥b90°0°0°≤a≤90°2.范围:______________.3.[教材解难]

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，

常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移

有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交

直线.

(2)求——转化为一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的

角.

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为

所求；若90°<θ≤180°，则180°-θ为所求.[教材解难]

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作例1如图8.6-3,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？

(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小.

(3)求直线BA'与AC所成的角的大小.解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直线分别与直线AA'垂直.

(2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以BB'∥CC,因此∠A'BB'为直线BA'与

CC'所成的角.又因为∠A'BB'=45°,所以直线BA'与CC所成的角等于45°.

(3)如图8.6-4,连接A'C',因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以AA'⊥CC'.从

而四边形AA'C'C是平行四边形，所以AC//A'C.于是∠BA'C'为异面直线

BA'与AC所成的角，

连接BC',易知△A'BC'是等边三角形，所以∠BA'C'=60°.从而异面直线BA'

与AC所成的角等于60°.例1如图8.6-3,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.例

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1B1,

B1C1的中点，

求异面直线DB1与EF所成的角的大小.

拓展练习例

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是[解]

方法一

如图所示，连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O，

取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,

则OG//B1D，EF//A1C1,

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)

∵GA1=GC1,O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.[解]

方法一

如图所示，连接A1C1,B1D1,方法二

如图所示，连接A1D,取A1D的中点H,

连接HE，则HE∥∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).

方法二

如图所示，连接A1D,取A1D的中点H,

连接方法三:如图，连接A1C1,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN.

∵E,F分别是A1B1,B1C1的中点，∴EF//A1C1,又MN//A1C1,

∴MN//EF.

连接DM,

B1N,

MB1,

DN,则B1N//DM,

∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，

设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).方法三:如图，连接A1C1,分别取AA1,CC1的中点M方法四:如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，

连接B1Q，易得B1Q//EF,

∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).

方法四:如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体

方法归纳

求异面直线所成角的步骤

一作:选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角;

二证:证明作出的角就是要求的角；

三计算:将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形

求解.

例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，

求证AO1⊥BD.例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A[证明]如图，连接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1∥DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1//BD.

∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成

的角.连接AB1,

AD1,易证AB1=AD1.

又O1为底面A1B1C1D1的中心，

∴O1为B1D1的中点

∴AO1⊥B1D1,

∴AO1⊥BD.[证明]如图，连接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是方法归纳

证明直线与直线垂直的方法

①等腰三角形中线即是高线.

②勾股定理.

③异面直线所成的角为直角.方法归纳

证明直线与直线垂直的方法

①等腰三角形中线即是高空间直线、平面的垂直_课件证明:如图，取AC的中点F,

连接DF,EF,证明:如图，取AC的中点F,

连接DF,EF,在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，

∴DF//PA,同理可得EF//BC,

∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).

在△DEF中，DE=3,

在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，

∴DF//1.判所下列命题是否正确,正确的在括号内画"√".错误的画“×".

(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也

与已知直线垂直.

(

)

(2)垂直于同一条直线的两条直线平行

(

)

1.判所下列命题是否正确,正确的在括号内画"√".错误的画2.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中.

(1)与直线AB垂直的直线有____条;

(2)与直线AB异面且垂直的直线有____条;

(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有____条;

(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是______.84412.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直

(1)直线BC和AC'所成的角的大小:

(2)直线AA'和BC"所成的角的大小.

(1)因为BC∥BC，所以∠B'C'A'是异面直线A'C'与BC所成的角

(1)直线BC和AC'所成的角的大小:

(2)直线AA'4.如图.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D为棱AC的中点.AB=BB'=2.

求证BD⊥AC'.4.如图.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D为棱AC的引入引入定义画法直线与平面垂直如果直线l与平面α内的__________直线都______，就说

直线l与平面α互相垂直，记作.直线_____.

直线l叫作平

面α的_____，平面α叫作直线l的_____，直线与平面垂

直时，它们唯一的公共点P叫作______.任意一条垂直l⊥a垂线垂面垂足通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,

如图定义画法直线与平面垂直如果直线l与平面α内的________PO为垂线段，其长度为点P到面α的距离垂线段过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条PO为垂线段，其长度为点P到面α的距离垂线段过一点垂直于已知空间直线、平面的垂直_课件文字语言:如果一条直线与一个平面内的_____________________，

则该直线与此平面垂直.

直线与平面垂直的判定定理两条相交直线垂直图形语言:如图所示.文字语言:如果一条直线与一个平面内的___________1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.

2.注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数

条直线”.3.判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相

交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直.1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.

2.注意证明:如图8.6-13,在平面α内取两条相交直线m,n,

∴直线a⊥α,

∴a⊥m,

a⊥n.

∵b//a,

∴b⊥m,b⊥n.

又m⊂α,n⊂α,m,n是两条相交直线,

∴b⊥α.例3求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那

么另一条直线也垂直于这个平面.

已知:如图8.6-12，a//b,a⊥α,求证b⊥α.证明:如图8.6-13,在平面α内取两条相交直线m,n,例

如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,AC=BC,N是AB的中点.求证:CN⊥平面ABB1A1.例

如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AA1⊥底面ABCCN⊂底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是AB的中点AB⊥CN,又AA1⊂平面ABB1A1,

AB⊂平面ABB1A1,

AA1∩AB=A，所以

CN⊥平面ABB1A1.证明AA1⊥底面ABCCN⊂底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是方法归纳

线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到

一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析

几何图形，寻找隐含条件.方法归纳

线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，直线与平面所成的角直线和平面所成的角当直线与平面垂直时，它们所成的角是90°.当直线与平面

平行或在平面内时，它们所成的角是___.

定义范围画法平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的___，叫作这

条直线和这个平面所成的角.射影角0°如图，______就是斜线AP与平面α所成的角0°≤θ≤90°∠PAO直线与平面所成的角直线和平面所成的角当直线与平面垂直时，它们把握定义应注意两点:

①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的;

②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.把握定义应注意两点:

①斜线上不同于斜足的点P的选取是任例4

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面

A1DCB1所成的角.例4

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线解

连接BC1,

BC1与B1C相交于点O,

连接A1O.

设正方体的棱长为a.

∵A1B1⊥B1C1,

A1B1⊥B1B,

B1C1∩B1B=B1,

∴A1B1⊥平面BCC1B1.

∴A1B1⊥BC1.

又BC1⊥B1C,

∴BC1⊥平面A1DCB1.解

连接BC1,

BC1与B1C相交于点O,

连接A1空间直线、平面的垂直_课件方法归纳

求直线与平面所成的角的步骤

(1)作:在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的

位置是关键;

(2)证:证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为

直线与平面所成的角的定义;

(3)求:一般来说是借助三角形的相关知识求角.方法归纳

求直线与平面所成的角的步骤

(1)作:在斜线1.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定

平行吗?

两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线相交、平行

或异面，例如圆锥的两条母线，与底面所成角相等，但是母线

是相交直线.1.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定

2.如图.四梭锥S-ABCD的底面是正方形.SD⊥平面ABCD.求证:

AC⊥平面SDB.2.如图.四梭锥S-ABCD的底面是正方形.SD⊥平面A解答

∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，

∴B1D1⊥A1A,

若A1C⊥B1D1

则B1D1⊥平面A1AC1C

∴B1D1⊥AC,

又由B1D∥BD，

则有BD⊥AC，

反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1

故答案为:BD⊥AC.

3.如图，在直四棱柱A'B'C'D'-ABCD中，当底面四边形ABCD满

足什么条件时，A'C⊥B'D'？.解答

∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，

∴B14.过△ABC所在平面α外一点P.作PO⊥α,垂足为O.连接PA,PB,

PC.

(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的___心.

(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的___点

(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P.则点O是△ABC的___

心.外中垂4.过△ABC所在平面α外一点P.作PO⊥α,垂足为O直线与平面垂直的性质①线面垂直→线线平行；

②作平行线文字语言垂直于同一个平面的两条直线_____平行符号语言图形语言作用a//ba⊥αb⊥α→_____直线与平面垂直的性质①线面垂直→线线平行；

②作平行线文字语1.直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方

法.

2.定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了

“垂直”与“平行”关系转化的依据.1.直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方例5

如图8.6-19，直线l平行于平面α,求证:直线l上各点到平面

α的距离相等.

证明:过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线AA1,BB1,

垂足分别为A1,B.

∵AA1⊥α,BB⊥α.

∴AA1//AB1

设直线AA1,BB1确定的平面为β.

β∩α=A1B1

∵l//α

∴l//A1B1

∴四边形AA1B1B是矩形，

∴AA1=BB1.

由A,B是直线l上任取的两点.可知直线l上各点到平面α的距离相等.例5

如图8.6-19，直线l平行于平面α,求证:直一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距

离，叫做这条直线到这个平面的距离.由例5我们还可以进一步得出,

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面

的距离都相等.

我们把它叫做这两个平行平面间的距离.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距

例6推导棱台的体积公式

其中S'，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.解:如图8.6-20.延长棱台各侧棱交于点P.得到截得棱台的

棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与梭台的上、下

底面交于点O',则PO垂直于棱台的上底面(想一想，为什么

？).从而O'O=h.

设藏得棱台的棱锥的体积为V,去掉的棱锥的体积为V'、高为h',则PO'=h'.

于是

由棱台的上、下底面平行.可以证明棱台的上、下底面相似,所以例6推导棱台的体积公式

其中S'，S分别是棱台的上、下底例在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别在A1D,AC上，

EF⊥A1D,EF⊥AC,求证:EF//BD1.

[证明]如图所示，连接A1C1,C1D,B1D1,BD.例在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别在A1∵AC//A1C1,

EF⊥AC,

∴EF⊥A1C1.

又EF⊥A1D,

A1D∩AC1=A1,

∴EF⊥平面A1C1D1

①

∵BB1⊥平面A1B1C1D1,

A1C1⊂平面A1B1C1D1,

∴BB1⊥A1C1

∵四边形A1B1C1D1为正方形，

∴A1C1⊥B1D1,

又B1D1∩BB1=B1,

∴A1C1⊥平面BB1D1D,

而BD1⊂平面BB1D1D,

∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.

又DC1∩A1C1=C1,

∴BD1⊥平面A1C1D.

②

由①②可知EF//BD1.

∵AC//A1C1,

EF⊥AC,

∴EF⊥A1C1方法归纳

线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平

行的常用方法:

(1)a//b,b//c→a//c.

(2)a//α,a⊂β,β∩α=b→a//b.

(3)α//β,

γ∩α=a,γ∩β=b→a//b.

(4)a⊥α,b⊥α→a//b.

方法归纳

线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明1.已知直线a,b和平面α,

且a⊥b,a⊥α,

则b与a的位置关系是

_______.a//b1.已知直线a,b和平面α,

且a⊥b,a⊥α,

2.已知A,B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证:

直线AB//α.

证明:作出点A、B到α的垂线段AA'、BB'.

AA'平行且等于BB'→AA'BB'是平行四边形

→AB//A'B',AB∉α，A'B'⊂α→AB//α.2.已知A,B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求3.如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中点，

求证:DF//平面ABC.

∴FG∥CD，FG=CD，

∵FG⊥平面ABC，

∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，

CG⊂平面ABC，DF不包含于平面ABC,

∴DF∥平面ABC.3.如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,4.求证:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(提示:过这条直

线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.)证明：设直线为l，平面为α，β.

而l⊥α，l⊥β.则过l作平面m，

且l⊂平面m,则

假设m∩α=l1,m∩β=l2.

由提示l1∥l2，

又l1⊂α,

l2∉α，则l2∥α.

同理过l作平面n，使n∩α=l3,n∩β=l4.

则同理l4∥平面α.

又l3⊂β，l4⊂β，则α∥β.4.求证:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(提示:过二面角图示平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称

为_______.从这一条直线出发的____________所组成的图

形叫做二面角.这条直线叫做二面角的___,这两个半平

面叫做二面角的___.

概念半平面两个半平面棱面二面角图示平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称

平

面

角OA⊂α，OB⊂β,α∩β=l,O∈l,

OA⊥l,

OB⊥l→∠AOB

是二面角的平面角.

文字图示符号范围规定在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于___的射线，则这两条射线构成的___叫做这个

二面角的平面角棱角二面角的大小可以用它的________来度量,二面角的平面角是多___________________0°≤∠AOB≤180°

少度,就说这个二面角是多少度,平面角是_____的二面角叫做

直二面角直角平面角平

面

角OA⊂α，OB⊂β,α∩β=l,O∈l,

O棱为l，面分别为α,β的二面角记为_________.如图所示，

也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个

二面角记作二面角__________.

记法a-1-βP-l-Q棱为l，面分别为α,β的二面角记为_________.无关如图，根据等角定理可知，∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面

角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.1.二面角与平面几何中的角有什么区别?平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形;二面角是从

一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗?无关如图，根据等角定理可知，∠AOB=∠A'O'B',即二例下列命题中:

①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一

个二面角的两个面垂直，则a,b所成的角与这个二面角的平面角

相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个

面内作射线所成的角的最小角;

④二面角的大小与其平面角的

顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是

（

）

A.①③

B.②④

C.③④

D.①②

拓展练习例下列命题中:

①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②解析

由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

叫做二面角,所以①不对，实质上它共有四个二面角;由a，b分别垂

直于两个面，则a,b都垂直于二面角的棱，故②正确;

③中所作的

射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对;由定义知④正确.故选B.

答案B解析

由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的规律方法

1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.

2.要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面

内的角的联系与区别.

3.可利用实物模型，作图帮助判断.规律方法

1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一1.定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________,就

说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作________.

2.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平

面的______垂直.如图所示.平面与平面垂直直二面角α⊥β横边1.定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是_____平面与平面垂直的判定定理l⊥α,

______→α⊥β

文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的_______，则这两个平面

垂直垂线l⊂β平面与平面垂直的判定定理l⊥α,

______→α⊥β

例7如图8.6-27所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证:平面

A'BD⊥平面ACC'A'.

证明:

∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，

∴AA⊥平面ABCD.

∴AA'⊥

BD.

又BD⊥AC.

∴BD⊥平面ACC'A'.

∴平而A'BD⊥平面ACC'A'.例7如图8.6-27所示，在正方体ABCD-A'B'C'D例8如图8.6-28.AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面，

C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.

证明:∵PA⊥平面ABC,

BC⊂平面ABC.

∴PA⊥BC.

∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是⊙O的直

径，

∴∠BCA=90°,即BC⊥AC.

又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,

∴BC⊥平面PAC,

又BC⊂平面PBC,

∴平面PAC⊥平面PBC.例8如图8.6-28.AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所拓展练习如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平

面，C是圆周上的一点，且PA=AC,求二面角P-BC-A

的大小解

∵PA⊥平面ABC,

BC⊂平面ABС,

∴PA⊥ВС.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.

又∵РА∩AC=А,

∴BC⊥平面PAC.

而PC⊂平面PAC,

∴PC⊥BC.

拓展练习如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平

又∵BC是二面角P-BC-A的棱,

∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.

由PA=AC知，△PAC是等腰直角三角形,

∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.又∵BC是二面角P-BC-A的棱,

∴∠PCA是二面角P规律方法

确定二面角的平面角的方法:

(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂

直于棱的射线.

(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半

平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.

(3)线面垂直法:该法就是利用线面垂直来寻找二面角的平面角，是

最常用的也是最好用的一种方法.由一个半平面内异于棱上的点A向

另一半平面作垂线，垂足为点B,由B点向二面角的棱作垂线，垂足

为点O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角(或其补角).规律方法

确定二面角的平面角的方法:

(1)定义法:空间中的垂直关系空间中的垂直关系1.如图。检查工作的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的

一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，

观察尺边和这个面是否密合就可以了,这是为什么?

解答

检查工件的相邻的两个面是否垂直时，只要

用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，

另一边在工件的另一个面上转动一下，若曲尺的另一

边和工件的另一面密合,

就说明工件的另一个面经过

工件的一个面的垂线,

由面面垂直的判定定理得工件

的这两个互相垂直。如果不转运，无法判断曲尺的

另一边和工件的另一面是否密合,也就无法判断工件

的相邻的两个面是否垂直.1.如图。检查工作的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的2.已知直线a,b与平面α,β,γ.

能使α⊥β的充分条件是(

).

(A)α⊥γ

，β⊥γ

(B)α∩β=a,

b⊥a,

b⊂β

(C)a//ß,a//α

(D)a//α,a⊥βD2.已知直线a,b与平面α,β,γ.

能使α⊥β的充3.如下页图.AB⊥平面BCD，BC⊥CD.你能发现哪些平面互相

垂直，为什么？

解答平面ABC⊥平面BCD,

平面ABD⊥平面BCD,

平面ACD⊥平

面ABC3.如下页图.AB⊥平面BCD，BC⊥CD.你能发现哪些4.如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点.求证:平

面BDC'⊥平面ACC'A'.

证明：∵A'A⊥平面ABC

BD⊂平面ABC

∴A'A⊥BD

∵△ABC是正三角形,D为棱AC的中点∴BD⊥AC

∵BD⊥A'A，BD⊥AC，AA'⊂平面ACC'A，AC⊂平面ACC'A，

A'A∩AC=A→BD⊥平面ACC'A

又∵BD⊂平面BDC'

∴BDC'⊥平面ACC'A'

4.如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D为棱AC的中点平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另

一个平面______

垂直文字语言符号语言a⊥βa∩β=la⊂αa⊥l→a⊥β平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线图形语言作用证明直线与平面垂直图形语言作用证明直线与平面垂直例9如图8.6-32.已知平面α⊥平面β.直线a⊥β,

a∉α.判断a与α的

位置关系.

解:在α内作垂直于α与β交线的直线b,

∵α⊥β.

∴b⊥β.

又a⊥β.

∴a//b.

又a∉α.

∴a//α.

即直线a与平面α平行.

例9如图8.6-32.已知平面α⊥平面β.直线a⊥β,

例

如图8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证:BC⊥平面PAB.

证明:如图8.6-34，过点A作AE⊥PB,垂足为E.

∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB,

∴AE⊥平面PBC,

∵BC⊂平面PBC,

∴AE⊥BC.

∵PA⊥平面ABC,

BC⊂平面ABC,

∴PA⊥BC.

又PA∩AE=А,

∴BC⊥平面PAB.例

如图8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥拓展练习如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是

∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面

ABCD.若G为AD边的中点，求证:BG⊥平面PAD.拓展练习如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边拓展练习证明:连接PG,BD,

∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,

∴△ABD是正三角形,

∵G是AD的中点，

∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴BG⊥平面PAD.拓展练习证明:连接PG,BD,

∵四边形ABCD是菱形规律总结1.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的定理

将其转化为线面垂直、线线垂直.

在应用面面垂直的性质定理时，注意三点:①两个平面垂直，是前提条件;②直线必须在其中一个

平面内;③直线必须垂直于它们的交线.规律总结1.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂2.先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线，若没有与

交线垂直的直线，一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内

一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,

进而转化为线线垂直问题.2.先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线，若没有与1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画

“×”.

(1)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

（

）

(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.

（

）

(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面a内一定不存在直线垂直

于平面β.

（

）1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画2.若平面α⊥平面β，且a∩β=l,则下列命题中正确的个数是(

)

(1)平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线.

(2)平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线.

(3)平面α内的任一条直线必垂直于平面β.

(4)过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β.

(A)3

(B)2

(C)1

(D)0B2.若平面α⊥平面β，且a∩β=l,则下列命题中正确的个3.已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则

“α⊥β”是“m⊥β”的(

).

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件B3.已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则

解答

设过直线a与平面α内的一点的平面与α的交线为a'.

∵a∥α,

∴a∥a'.

∵a⊥AB,

∴a'⊥AB.

∵a'⊂α，α⊥β,

∴a'⊥β.

∴a⊥β,

即a与β的位置关系是a⊥β.4.已知平面α，β.直线a,且α⊥β，α∩β=AB.a//α,a⊥AB.判断直

线a与平面β的位置关系.并说明理由.解答

设过直线a与平面α内的一点的平面与α的交线为a'1.选择题

(1)若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4.则下面

结论正确的是(

).

(A)l1⊥l4

(B)l1//l4

(C)l1,l4既不垂直也不平行

(D)l1,l4的位置关系不确定

(2)设l,m,n均为直线.其中m,n在平面α内.则"l⊥α”是"l⊥m"且“l⊥n”

的(

).

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(3)直线l1,l2互相平行的一个充分条件是(

)

(A)l1,l2都平行于同一个平面

(B)l1,l2与同一个平面所成的角相等

(C)l1,l2都垂直于同一个平面

(D)l1平行于l2所在的平面DAD1.选择题

(1)若空间中四条不同的直线l1,l2,l2.判断下列命题是个正确，正确的在括号内画"√",错误的画"X".

(1)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.

（

）

(2)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.

（

）

(3)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.

（

）

(4)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.

（

）

(5)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

（

）

2.判断下列命题是个正确，正确的在括号内画"√",错误的画"3.判断下列命题是否正确.正确的说明理由,错误的举例说明.

(1)一条直线行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条

直线互相垂直；

(2)如果平面α//平面α1，平面β//平面β1，那么平面α与平面β所成的

二面角和平面α1与与平面β1所成的二面角相等或互补；

(3)如果平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，那么平而α⊥平面γ.

解:(1)正确,设直线a//平面α

,直线b⊥平面α

,则存在直线c⊂α,且a//c,∴b⊥c,∴b⊥a.

(2)正确,两个平面平行,则其法向量也平行,两个二面角的两个半平

面的法向量所成角相等或互补;

(3)错误,如长方体中两底面都与同一侧面垂直,但两底面不垂直.3.判断下列命题是否正确.正确的说明理由,错误的举例说明4.如图,在直二棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,

P为AB

的中点,Q为棱C1C的中点.求证:

(1)PQ⊥AB;

(2)PQ⊥C1C;

(3)PQ⊥A1B.

证明:(1)如图,取AB的中点D,连接CD、DP,

∴PD//CQ,

∴四边形CDPQ为平行四边形,

∴CD//PQ.

又∵CACB,D为AB的中点，∴CD⊥AB，∴PQ⊥AB.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,

CD⊂平面ABC,

∴AA1⊥CD,由(1)知CD//PQ,∴PQ⊥AA1.

又AA1//CC1，∴PQ⊥CC1.

(3)由(1)(2)知,PQ⊥AB，PQ⊥AA1,而AB∩AA1=A.

∴PQ⊥平面AA1B1B.

∵A1B⊂平面AA1B1B,

∴PQ⊥A1B.4.如图,在直二棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB5.如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，

PO⊥底面ABC,垂足为O，且O在CD上,求证AB⊥PC.

证明:∵PO⊥底面ABC,AB⊂底面ABC,

∴PO⊥AB.

∵O在CD上，∴PO∩CD=O.

又CD⊥AB

∴AB⊥平面POC，∵PC⊂平面POC,

∴AB⊥PC.5.如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，

P6.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ABC'D'与正方

体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？解:在正方体ABCD-A'B'C'D'中，考虑平面ABC'D'与平面ABCD,

AB⊥平面B'C'CB,

BC',BC⊂平面B'C'CB,所以平面∠B'BC就是平面ABC'D'与

平面ABCD所成角,

即平面ABC'D'与平面ABCD成角∠C'BC=45°.

同理平面ABC'D'与平面ABCD,平面A'B'C'D',平面ABB'A',平面CC'D'D都成

45°角,

又因为AB⊥平面ADD'A',平面ABC'D'与平面ADD'A'垂直,即所成的角为90°,

同理可得平面ABC'D'与平面ADD'A',平面BCC'B'都垂直,即与它们所成的角为

90°.

所以平面ABC'D'与平面ABCD,平面A'B'C'D',平面ABB'A',平面CC'D'D都成

45°角,平面ABC'D'与平面ADD'A',平面BCC'B'都垂直,即与它们所成的角为90°.6.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ABC'7.如图，在三棱锥V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=

∠ABC=90°,判断平面VAB与平面VBC的位置关系，

并说明理由.

解答

∵∠VAB=∠VAC=90°,

∴VA⊥AB,

VA⊥AC,又AB∩AC=A,

∴VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC.

∠ABC=90°,∴AB⊥BC,VA∩VB=V，

∴BC⊥平面VBA，又ВC⊂平面VBC,

∴平面VBA⊥平面VBC.7.如图，在三棱锥V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=

∠8.求证:如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确

定的平面也两两垂直.

解答

已知:直线a，b，c共点且两两垂直，直线a和b确定的平面为α,直

线a和c确定的平面为β,直线b和c确定的平面为γ,

求证:a⊥γ，b⊥β，c⊥α，

证明:∵直线a,b，c共点且两两垂直,直线b和c确定的平面为γ,

∴由直线与平面垂直的判定定理可得a⊥γ，同理可证b⊥β，c⊥α，

∴原命题得证8.求证:如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线解答

证明:

如图，

∵平面α⊥平面γ,

∴平面α与平面γ相交,

设交线为m,

在平面α内作直线a⊥m,∵平面α⊥平面γ，∴a⊥γ,

在平面β内任取一点O,由直线a和点O确定平面M，设M∩β于b,

∵平面α∥平面β,由面面平行的判定定理,得a∥b,

∵a//b，a⊥γ,

∴b⊥γ

又∵b⊂β,

∴平面β⊥平面γ.9.已知平面α,

β,

γ，且α⊥γ,

β//α,

求证β⊥γ.解答

证明:

如图，

∵平面α⊥平面γ,

∴平面α10.已知平面α,

β,

γ,且α⊥γ,

β⊥γ,

α∩β=l,

求证l⊥γ.

解答

证明:如图，在平面内γ任取一点P,

过点P作PA⊥l1,PB⊥l2，A，B为垂足.

∵α∩γ=l1，α⊥γ,

PA⊂γ,

∴PA⊥α

又∵l⊂α,

∴PA⊥I.

同理:PB⊥l,

∴l⊥γ.10.已知平面α,

β,

γ,且α⊥γ,

β⊥γ,11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P,Q分别为棱AD,CC1

的中点,求证A1P⊥BQ.

证明:取DD1的中点R,连接QR，AR,

如图:

AR∩A1P=O

∵Q是CC1的中点，∴QR平行且等于CD.而AB平行且等于CD，

∴QR平行且等于AB,

∴四边形ABQRR是平行四边形，∴BQ//AR

在正方形AA1D1D中，∵P,R分别是AD,DD1的中点,

∴Rt△AA1P≌Rt△DAR,

∴∠AA1P=∠DAR.

∵∠DAR+∠A1AR=90°,

∴∠AA1P+∠A1AR=90°

∴∠AOA1=90°，

即A1P⊥AR,

∴A1P⊥BQ.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P,12.如图，m,n是两条相交直线，l1,l2是与m,n都垂直的两条直

线，且直线l与l1，l2都相交，求证∠1=∠2.

解答

证明:∵m,n是两条相交直线,l1,l2是与m,n都垂直

的两条直线,

∴两条直线分别垂直于m,n的平面，

∴l1和l2平行，

此时，若l与l1和l2相交，说明，三条直线在同一个

平面内,且l与l1和l2相交,

∴∠1，∠2为同位角，根据两直线平行同位角相等，

可得:∠1=∠2,得证.12.如图，m,n是两条相交直线，l1,l2是与m,证明:设两平行线为a,b,平面为α.

①a,b都平行于α或都在α内，或一条与α平行，另一条在α内时，

a,b和α所成的角都等于0°,∴

a，b与α成等角；②a，b都和α垂直时，a,b和α所成的角都等于90°；

③a，b和α斜交时，如图,

设a∩α=A，b∩α=B,

在a，b.上分别取点C，D,

使C，D在α的同侧，作CE⊥α于E，DF⊥α于F,

则CE∥DF,连结AE，BF，则直线AE，BF分别是a，b在α内的射影，∴∠CAE，∠DBF

分别是a,b和α所成的角。

∵a∥b，CE∥DF，且∠ACE和∠BDF的方向相同，

∴∠ACE=∠BDF,

∴∠CAE=∠DBF，即斜线a,b与α所成的角相等.

综上所述，两条平行线和同一平面所成的角相等.

13.求证:两条平行直线与同一个平面所成的角相等.证明:设两平行线为a,b,平面为α.

①a,b都平14.如下页圏，在棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,

AD=BD,你能判定CD⊥AB,以及AC=BC吗?

解答

VA=VB,

AD=BD→VD⊥AB,

VO⊥平面ABC,

AB⊂平面ABC上

→VO⊥AB

→AB⊥平面VCD,

CD⊂平面VCD→AB⊥CD

即CD⊥AB

又AD=BD,CD=CD,∠BDC=∠ADC=90°

△ADC≌△BD→AC=BC14.如下页圏，在棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O15.如图.在正方形SG1G2G3中,

E.F分别是G1G2,G2G3

的中点.D是EF的中点，若沿SE,SF及EF把这个正方形

折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点

记为G.则在四面体S-EFC中，哪些棱与面互相垂直?

解答

∵在折叠过程中，

始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，

即SG⊥GE，SG⊥GF，

所以SG⊥平面EFG.15.如图.在正方形SG1G2G3中,

E.F分别是16.求证:垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一

个平面.

已知:

α∥β，a⊥α，求证:

α⊥β.

证明:如图，过直线a作两平面γ，δ,

使

γ∩α=b，γ∩β=b'，δ∩α=c，δ∩β=c'，

∵α∥β，根据面面平行的性质,

∴b∥b'，c//c'

∵a⊥α,b⊂α,c⊂α，∴a⊥b,

a⊥c.

∴a⊥b',

a⊥c'.

又b'与c'都在β内且相交，∴α⊥β.16.求证:垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另17.求证:三个两两亚直的平面的交线也两两垂直.

解答

设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ,且α∩β=a,

β∩γ=b,

γna=c,三个平面的公共点为O,如图所示：

在平面γ内，除点O外,任意取一点M,过点M作MN⊥c，MP⊥b，

M、P为垂足,则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α

,MP⊥β,

∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ.

再由b、c在平面γ内,可得a⊥b，a⊥c.

同理可证，c⊥b，c⊥a,从而证得a、b、c互相垂直.17.求证:三个两两亚直的平面的交线也两两垂直.

解答18.如图.在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VB=AC=BC=2,VC=1.作出二面角V-AB-C的平面角.并求出它的余弦值.

解:如答图所示,取AB的中点M,连接VM,CM.

∵VA=VB，AC=BC

∴VM⊥AB,

CM⊥AB

∴∠VMC为二面角V-AB-C的平面角

18.如图.在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VB=AC19.如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AA1

=AB.求证A1C⊥AB1.

证明:连接A1B.

∵ABC-A1B1C1为直三棱柱

∴BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC

∴BB1⊥BC

又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC

∵BC⊥BB1，BC⊥AB,

BB1⊂平面ABB1A1,

AB⊂平面ABB1A1,

BB1∩AB=B

∴BC⊥平面ABB1A1,

AB1⊂平面ABB1A1

∴BC⊥AB1

∵AA1=AB，在正方形ABB1A1中，对角线AB1⊥A1B

∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC

A1B∩BC=B

∴AB⊥平面A1BC,

A1⊂平面A1BC，∴A1C⊥AB1.19.如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=20.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直

线VC垂直于⊙O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.判断

直线DE平面VC的位置关系.并说明理由.

证明：∵AC⊥BC,VC⊥AC,

∴AC⊥面VBC,

∵D、E分別カVC、VA中点，

∴DE∥AC,

∴DE⊥面VBC.20.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C21.如图.在四棱锥P-ABC中.底面ABCD为正方形.

PA⊥底面ABCD.PA=AB,E为线段PB的中点.F为线

段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直?

如果垂直，请证明:如果不垂直，请说明理由.

平面AEF与平面PBC互相垂直

理由如下:

因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.

因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC

又PA∩AB=A，且PA,AB⊂平面PAB,

所以BC⊥平面PAB.

因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.

因为PA=AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB,

又PB∩BC=B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC,

因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.21.如图.在四棱锥P-ABC中.底面ABCD为正方形.1.求二面角大小的步骤

作作出平面角证证明所作的角满足定义，即为所求二面角的

平面角求将作出的角放在三角形中，计算出平面角的

大小简称为“一作二证三求”.总结1.求二面角大小的步骤

作作出平面角证证明所作的角满足定义，总结2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路

(1)本质:通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂

直→面面垂直.

(2)证题思路:处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一

步转化为处理线线垂直问题来解决.总结2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路

(1)本质:精品课件高中数学必修2第八章立体几何初步新人教版

空间直线、平面的垂直特级教师优秀课件精选精品高中数学必修2第八章立体几何初步新人教版空间直线、112教学目标异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义；直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定定理，异面

直线所成角、直线和平面所成的角、二面角及其求法；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理

的综合应用．教学目标异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义；直线教学重点教学难点异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定．找异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定

理的应用．教学重点教学难点异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角引入空间中两条直线的位置关系

1.空间两条直线的位置关系有三种:__________、_________、_________.异面直线平行直线相交直线引入空间中两条直线的位置关系

1.空间两条直线的位置关系有2.分类(1)从有无公共点的角度来看，可分为两类平行直线无公共点(2)从是否共面的角度来看，可分为两类相交直线共面直线直线平行直线不共面直线:异面直线有且仅有一个公共点:相交直线直线异面直线2.分类(1)从有无公共点的角度来看，可分为两类平行直线无公直线与直线垂直异面直线a与b所成的角1.如图，己知两条异面直线a,b经过空间任一点O分别作直线a'∥a,

b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做_________________________

(或夹角).直线与直线垂直异面直线a与b所成的角1.如图，己知两条异面直0°≤a≤90°2.范围:______________.3.当θ=____时，a与b互相垂直，记作______.

异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：

异面垂直和相交垂直.4.当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所成的角为________.

所以空间两条直线所成角α的取值范围是________________.

0°<θ≤90°a⊥b90°0°0°≤a≤90°2.范围:______________.3.[教材解难]

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，

常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移

有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交

直线.

(2)求——转化为一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的

角.

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为

所求；若90°<θ≤180°，则180°-θ为所求.[教材解难]

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作例1如图8.6-3,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？

(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小.

(3)求直线BA'与AC所成的角的大小.解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直线分别与直线AA'垂直.

(2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以BB'∥CC,因此∠A'BB'为直线BA'与

CC'所成的角.又因为∠A'BB'=45°,所以直线BA'与CC所成的角等于45°.

(3)如图8.6-4,连接A'C',因为ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以AA'⊥CC'.从

而四边形AA'C'C是平行四边形，所以AC//A'C.于是∠BA'C'为异面直线

BA'与AC所成的角，

连接BC',易知△A'BC'是等边三角形，所以∠BA'C'=60°.从而异面直线BA'

与AC所成的角等于60°.例1如图8.6-3,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.例

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1B1,

B1C1的中点，

求异面直线DB1与EF所成的角的大小.

拓展练习例

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是[解]

方法一

如图所示，连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O，

取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,

则OG//B1D，EF//A1C1,

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)

∵GA1=GC1,O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.[解]

方法一

如图所示，连接A1C1,B1D1,方法二

如图所示，连接A1D,取A1D的中点H,

连接HE，则HE∥∴∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).

方法二

如图所示，连接A1D,取A1D的中点H,

连接方法三:如图，连接A1C1,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN.

∵E,F分别是A1B1,B1C1的中点，∴EF//A1C1,又MN//A1C1,

∴MN//EF.

连接DM,

B1N,

MB1,

DN,则B1N//DM,

∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，

设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).方法三:如图，连接A1C1,分别取AA1,CC1的中点M方法四:如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，

连接B1Q，易得B1Q//EF,

∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).

方法四:如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体

方法归纳

求异面直线所成角的步骤

一作:选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角;

二证:证明作出的角就是要求的角；

三计算:将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形

求解.

例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，

求证AO1⊥BD.例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A[证明]如图，连接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1∥DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1//BD.

∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成

的角.连接AB1,

AD1,易证AB1=AD1.

又O1为底面A1B1C1D1的中心，

∴O1为B1D1的中点

∴AO1⊥B1D1,

∴AO1⊥BD.[证明]如图，连接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是方法归纳

证明直线与直线垂直的方法

①等腰三角形中线即是高线.

②勾股定理.

③异面直线所成的角为直角.方法归纳

证明直线与直线垂直的方法

①等腰三角形中线即是高空间直线、平面的垂直_课件证明:如图，取AC的中点F,

连接DF,EF,证明:如图，取AC的中点F,

连接DF,EF,在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，

∴DF//PA,同理可得EF//BC,

∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).

在△DEF中，DE=3,

在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，

∴DF//1.判所下列命题是否正确,正确的在括号内画"√".错误的画“×".

(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也

与已知直线垂直.

(

)

(2)垂直于同一条直线的两条直线平行

(

)

1.判所下列命题是否正确,正确的在括号内画"√".错误的画2.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中.

(1)与直线AB垂直的直线有____条;

(2)与直线AB异面且垂直的直线有____条;

(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有____条;

(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是______.84412.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直

(1)直线BC和AC'所成的角的大小:

(2)直线AA'和BC"所成的角的大小.

(1)因为BC∥BC，所以∠B'C'A'是异面直线A'C'与BC所成的角

(1)直线BC和AC'所成的角的大小:

(2)直线AA'4.如图.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D为棱AC的中点.AB=BB'=2.

求证BD⊥AC'.4.如图.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D为棱AC的引入引入定义画法直线与平面垂直如果直线l与平面α内的__________直线都______，就说

直线l与平面α互相垂直，记作.直线_____.

直线l叫作平

面α的_____，平面α叫作直线l的_____，直线与平面垂

直时，它们唯一的公共点P叫作______.任意一条垂直l⊥a垂线垂面垂足通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,

如图定义画法直线与平面垂直如果直线l与平面α内的________PO为垂线段，其长度为点P到面α的距离垂线段过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条PO为垂线段，其长度为点P到面α的距离垂线段过一点垂直于已知空间直线、平面的垂直_课件文字语言:如果一条直线与一个平面内的_____________________，

则该直线与此平面垂直.

直线与平面垂直的判定定理两条相交直线垂直图形语言:如图所示.文字语言:如果一条直线与一个平面内的___________1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.

2.注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数

条直线”.3.判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相

交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直.1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.

2.注意证明:如图8.6-13,在平面α内取两条相交直线m,n,

∴直线a⊥α,

∴a⊥m,

a⊥n.

∵b//a,

∴b⊥m,b⊥n.

又m⊂α,n⊂α,m,n是两条相交直线,

∴b⊥α.例3求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那

么另一条直线也垂直于这个平面.

已知:如图8.6-12，a//b,a⊥α,求证b⊥α.证明:如图8.6-13,在平面α内取两条相交直线m,n,例

如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,AC=BC,N是AB的中点.求证:CN⊥平面ABB1A1.例

如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AA1⊥底面ABCCN⊂底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是AB的中点AB⊥CN,又AA1⊂平面ABB1A1,

AB⊂平面ABB1A1,

AA1∩AB=A，所以

CN⊥平面ABB1A1.证明AA1⊥底面ABCCN⊂底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是方法归纳