一元二次方程根的分布

.PAGE.方程根的分布专题讲义一．知识要点二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标,所以研究方程的实根的情况,可从的图象上进行研究．若在内研究方程的实根情况,只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号,根据判别式以及韦达定理,由的系数可判断出的符号,从而判断出实根的情况．若在区间内研究二次方程,则需由二次函数图象与区间关系来确定．1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件若其中一个是方程的根,则由韦达定理可求出另一根．若不是二次方程的根,二次函数的图象有以下几种可能：〔1〔2〔3〔4由图象可以看出,在处的值与在处的值符号总是相反,即；反之,若,的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若都不是方程的根,记,则有且只有一个实根属于的充要条件是．2．二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于,则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点,且两个交点或切点的横坐标都大于小于,它的图象有以下几种情形：〔1〔2〔3〔4由此可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：这里．3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧〔一根小于,另一根大于的充要条件是：这里．4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是：二次方程的两个实根都在的左侧〔两根都小于的充要条件是：这里．二．例题选讲例１．设关于的方程R,〔1若方程有实数解,求实数b的取值范围；〔2当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解。例２．已知二次函数f<x>=ax2+bx+c<a≠0>.若方程f<x>=x无实根,求证：方程f[f<x>]=x也无实根．例３．设,,若,求实数的取值范围．变式：已知方程x2+<3m-1>x+<3m-2>=0的两个根都属于<-3,3>,且其中至少有一个根小于1,求m的取值范围．例４．已知方程有两个负根,求的取值范围．例５．求实数的范围,使关于的方程．〔１有两个实根,且一个比２大,一个比２小．〔２有两个实根,且满足．〔３至少有一个正根．例６．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.<1>若方程有两根,其中一根在区间<－1,0>内,另一根在区间<1,2>内,求m的范围.<2>若方程两根均在区间<0,1>内,求m的范围.变式：已知方程2x2–2<2a-1>x+a+2=0的两个根在-3与3之间,求a的取值范围．例７．已知二次方程的两个根都小于1,求的取值范围．变式：如果二次函数y=mx2+<m－3>x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围.例８．已知是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求的取值范围．二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况,在其它的一些场合下也可以适当运用．下面再举两个例子：例９．求函数y=EQ\F<x+1,x2-3x+2><1<x<2>的值域．例10．已知抛物线y=2x2-mx+m与直角坐标平面上两点<0,0>,<1,1>为端点的线段〔除去两个端点有公共点,求m的取值范围．三．巩固练习1．已知二次方程有且只有一个实根属于<-1,1>,求m的取值范围．2．已知方程在上有两个根,求的取值范围．3．已知二次方程有且只有一个实根属于〔1,2,且都不是方程的根,求的取值范围．4．已知二次方程的两个根都属于〔–1,1,求的取值范围．5．若关于x的方程x2+<a-1>x+1=0有两相异实根,且两根均在区间[0,2]上,求实数a的取值范围．6．二次函数f<x>=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证<1>pf<><0;<2>方程f<x>=0在<0,1>内恒有解。参考答案例１．分析：可用换元法,设,原方程化为二次方程,但要注意,故原方程有解并不等价于方程有解,而等价于方程在内有解．另外,方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题,它的原理是：若关于的方程有解,则的值域．解：〔1原方程为,,时方程有实数解；〔2①当时,,∴方程有唯一解；②当时,.的解为；令的解为；综合①、②,得1当时原方程有两解：；2当时,原方程有唯一解；3当时,原方程无解。例２．证明：方程f<x>=x即f<x>-x=ax2+<b-1>x+c=0无实根,f<x>-x仍是二次函数,f<x>-x=0仍是二次方程,它无实根即Δ=<b-1>2-4ac＜0①若a＞0,则函数y=f<x>-x的图象在x轴上方,∴y＞0,即f<x>-x＞0恒成立,即：f<x>＞x对任意实数x恒成立。∴对f<x>,有f<f<x>>＞f<x>＞x恒成立∴f<f<x>>=x无实根②若a＜0,函数y=f<x>-x的图象在x轴下方∴y＜0,即f<x>-x＜0恒成立∴对任意实数x,f<x>＜0恒成立∴对实数f<x>,有：f<f<x>>＜f<x>＜x恒成立∴f<f<x>>=x无实根综上可知,当f<x>=x无实根时,方程f<f<x>>=x也无实根．例３．分析：观察到方程有两个实根,故此题不妨用求根公式来解决．解：因有两个实根,,故等价于且,即且,解之得．变式：解：原方程即为<x+1><x+3m-2>=0,所以方程两根分别为-1,2-3m,而-1在<-3,1>上,则由题意,另一根满足-3<2-3m<3-EQ\F<1,3><m<EQ\F<5,3>.例４．解：依题意有．例５．解：设．依题意有,即,得．依题意有解得：．〔３方程至少有一个正根,则有三种可能：①有两个正根,此时可得,即．②有一个正根,一个负根,此时可得,得．③有一个正根,另一根为０,此时可得．综上所述,得．例６．解：<1>条件说明抛物线f<x>=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间<－1,0>和<1,2>内,则,∴实数m的范围是.<2>据抛物线与x轴交点落在区间<0,1>内,列不等式组-EQ\F<1,2><m≤1-EQ\R<2>,∴ 实数m的范围是.变式：解：设f<x>=2x2–2<2a-1>x+a+2,则原方程两根都属于<-3,3>的充要条件为EQ\B\LC\{<\A\AL<△≥0,f<-3>>0,f<3>>0,-3<EQ\F<2a-1,2><3>>EQ\B\LC\{<\A\AL<4<2a-1>2–8<a+2>≥0,18+6<2a-1>+a+2>0,18-6<2a-1>+a+2>0,-3<EQ\F<2a-1,2><3>>-EQ\F<14,13><m≤EQ\F<3-EQ\R<21>,4>或EQ\F<3+EQ\R<21>,4>≤m<EQ\F<26,11>.故a的取值范围是<-EQ\F<14,13>,EQ\F<3-EQ\R<21>,4>]∪[EQ\F<3+EQ\R<21>,4>,EQ\F<26,11>>．例７．解一：二次方程两个根都小于1,其充要条件为〔1即为,它的解集是．〔2即为,它的解集是．〔3的解集是．所以,的取值范围是．解二：二次方程有两个根的充要条件是．设两根为,由于都小于1,即,其充要条件为：即因此,方程两个根都小于1的充要条件是：以下同解法一〔略．解三：令,原方程转化为,即〔*因为原方程两根都小于1,所以方程〔*的两个实根都小于0,其充要条件是：同样可求出的取值范围〔略．变式：解：∵f<0>=1>0<1>当m＜0时,二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧,符合题意.<2当m>0时,则解得0＜m≤1综上所述,m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.例８．解析1：函数在区间[-1,1]上有零点,即方程=0在[-1,1]上有解,a=0时,不符合题意,所以a≠0,方程f<x>=0在[-1,1]上有解<=>或或或或a≥1.所以实数a的取值范围是或a≥1.解析2：a=0时,不符合题意,所以a≠0,又∴=0在[-1,1]上有解,在[-1,1]上有解在[-1,1]上有解,问题转化为求函数[-1,1]上的值域；设t=3-2x,x∈[-1,1],则,t∈[1,5],,设,时,,此函数g<t>单调递减,时,>0,此函数g<t>单调递增,∴y的取值范围是,∴=0在[-1,1]上有解∈或。例９．解：原函数即为y<x2-3x+2>=x+1,yx2-<3y+1>x+2y-1=0,①由题意,关于的方程①在<1,2>上有实根．易知y<0,令f<x>=yx2-<3y+1>x+2y-1,则f<1>=-2<0,f<2>=-3<0,所以方程①在<1,2>上有实根当且仅当EQ\B\LC\{<\A\AL<△≥0,1<EQ\F<3y+1,2y><2>>,解得y≤-5-2EQ\R<6>.∴原函数的值域为<-,-5-2EQ\R<6>].例10．解：以<0,0>,<1,1>为端点的线段所在直线为y=x,代入抛物线方程得：x=2x2-mx+m即2x2-<m+1>x+m=0,①由题意,方程①在区间<0,1>上有实根,令f<x>=2x2-<m+1>x+m,则当且仅当f<0>·f<1><0或EQ\B\LC\{<\A\AL<△≥0,0<EQ\F<m+1,4><1,f<0>>0,f<1>>0>>m<0或EQ\B\LC\{<\A\AL<m2-6m+1≥0,-1<m<3,m>0>>m≤3-2EQ\R<2>且m≠0．故m的取值范围为<-,0>∪<0,3-2EQ\R<2>].巩固练习1．解：易知x1=-1是方程的一个根,则另一根为x2=EQ\F<m-4,3m-1>,所以原方程有且仅有一个实根属于<-1,1>当且仅当-1<EQ\F<m-4,3m-1><1,即EQ\B\LC\{<\A\AL<EQ\F<m-4,3m-1>+1>0,EQ\F<m-4,3m-1>-1<0>>EQ\B\LC\{<\A\AL<EQ\F<4m-5,3m-1>>0,EQ\F<2m+3,3m-1>>0>>m<-EQ\F<3,2>或m>EQ\F<5,4>,∴m的取值范围为<-,-EQ\F<3,2>>∪<EQ\F<5,4>,+>.2．解：令,当时,．由于是一一映射的函数,所以在上有两个值,则在上有两个对应的值．因而方程在〔0,2上有两个不等实根,其充要条件为由〔1得：,由〔2得：,由〔3得：或,由〔4得：．,即的取值范围为．3．解：设f<x>=,由于f<x>是二次函数,所以2m+1≠0,即m≠-EQ\F<1,2>.f<x>=0在〔1,2上有且仅有一个实根当且仅当f<1>·f<2><0<5m+3><m-2><0-EQ\F<3,5><m<2.综上得：m的取值范围是<-EQ\F<3,5>,-EQ\F<1,2>>∪<-EQ\F<1,2>,2>．4．令二次函数f<x>=<m-1>x2+<3m+4>x+m+1,则m-1≠0,即m≠1．f<x>=0的两个实根均在<-1,1>上,当且仅当∴ m的取值范围为．5．解：令f<x>=x2+<a-1>x+1,则满足题意当且仅当EQ\B\LC\{<\A\AL<△=<a-1>2-4>0,0<-EQ\F<a-1,2><2,f<0>≥0,f<2>≥0>>解得-