空间向量及其运算共课件

问题提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做向量.2.两个平面向量相加、相减的运算法则分别是什么？平行四边形法则，三角形法则.

问题提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做13.如图，一块质量为500kg的均匀正三角形钢板，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|.若分析这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板，以及这块钢板在这些力的作用下如何运动，需要有空间向量的知识才能解决.F2F1F33.如图，一块质量为500kg的均匀正三角形钢板，在它的顶点2空间向量空间向量3探究（一）：空间向量的有关概念

思考1：平面内既有大小又有方向的量与空间中既有大小又有方向的量有本质差别吗？如何定义空间向量？空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.探究（一）：空间向量的有关概念思考1：平面内既有大小又有方4思考2：向量的大小叫做向量的长度或模，在空间中，若向量a的起点为A，终点为B，则向量a可以怎样表示？其模怎样表示？向量的表示：模的表示：|a|或BAa思考2：向量的大小叫做向量的长度或模，在空间中，若向量a的起5思考3：在空间向量中，怎样定义零向量，单位向量，相反向量和相等向量？

零向量：模为0的向量；

单位向量：模为1的向量；

相反向量：模相等且方向相反的向量；

相等向量：模相等且方向相同的向量.思考3：在空间向量中，怎样定义零向量，单位向量，相反向量和相6思考4：在平面向量中，若两个向量可以平移到同一条直线上，则称这两个向量为共线向量.在空间向量中，若两个向量可以平移到同一个平面内，则称这两个向量为共面向量.那么空间任意两个向量共面吗？任意三个向量共面吗？思考4：在平面向量中，若两个向量可以平移到同一条直线上，则称7空间向量及其运算共课件8探究（二）：空间向量的加减运算

思考1：对于两个平面向量，可以利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量，如果空间向量a与b所在直线异面，如何求作它们的和向量与差向量？aba＋baba－b探究（二）：空间向量的加减运算思考1：对于两个平面向量，可9思考2：如果空间三个向量a，b，c不共面，如何求作它们的和向量？abca+b+c思考2：如果空间三个向量a，b，c不共面，如何求作它们的和向10思考3：如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，向量表示哪个向量？BACDB1A1C1D1思考3：如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABC11思考4：对于空间向量a，b，向量a＋b与b＋a相等吗？aba+bb+a交换律：a＋b＝b＋a思考4：对于空间向量a，b，向量a＋b与b＋a相等吗？ab12思考5：如图，设，，，则(a＋b)＋c与a＋(b＋c)分别等于哪个向量？由此得到什么结论？OABCabc结合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考6：若a＋b＝0或a－b＝0，则向量a与b的关系分别是什么？相反向量相等向量思考5：如图，设，，，则(a＋b)13理论迁移例在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，化简下列各式：BACDB1A1C1D1理论迁移例在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，141.空间向量是平面向量的拓展，其相关概念、表示方法、和差运算法则和运算律等，与平面向量具有一致性.小结作业2.空间向量与平面向量的区别在于表示空间向量的有向线段不一定共面，而表示平面向量的有向线段一定共面.1.空间向量是平面向量的拓展，其相关概念、表示方法、和差运算153.任意两个空间向量可以通过平移使其共面，因此，两个空间向量的和差运算实质是平面向量的和差运算，多个空间向量的和差运算可以转化为若干个平面向量的和差运算来解决.作业：P86练习：1，2，3.3.任意两个空间向量可以通过平移使其共面，因此，两个空间向量163.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算17问题提出1.空间向量与平面向量的概念是一样的，都是指具有大小和方向的量，对于两个向量a、b，如何体现它们是空间向量还是平面向量？表示向量的有向线段所在直线异面与共面.问题提出1.空间向量与平面向量的概念是一样的，都是指具有大小182.如何求作两个空间向量的和向量与差向量？先平移到同一个平面内，再利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量.3.在空间中，求作三个不共面向量的和向量有何运算法则？折线法则，平行六面体法则2.如何求作两个空间向量的和向量与差向量？先平移到同一个平194.空间向量的基本概念和加减运算，都是平面向量的推广.在平面向量中有向量的数乘运算，推广到空间，就能建立空间向量的数乘运算理论体系.4.空间向量的基本概念和加减运算，都是平面向量的推广.在平面20空间向量空间向量21探究（一）：数乘运算的含义

思考1：在平面向量中，实数λ与向量a的乘积λa还是一个向量，称为向量的数乘运算，其中向量λa与a的大小和方向有什么关系？概念：实数λ与向量a的乘积λa.大小：|λa|＝|λ|·|a|;方向：λ＞0时同向，λ＜0时反向，λ＝0时λa＝0.探究（一）：数乘运算的含义思考1：在平面向量中，实数λ与向22思考2：平面向量的数乘运算在空间向量中成立吗？对于实数λ，μ，则λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分别等于什么？λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2：平面向量的数乘运算在空间向量中成立吗？对于实数λ，μ23探究（二）：共线向量的概念与定理

思考1：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，如果空间向量a，b，c是一组平行向量，那么表示这三个向量的有向线段所在的直线的位置关系有哪几种可能？探究（二）：共线向量的概念与定理思考1：如果表示空间向量的24思考2：对空间任意两个向量a，b，若a＝λb，则a与b的有什么位置关系？反之成立吗？若a＝λb，则a与b共线；反之，当b＝0时不成立.思考3：对空间两个向量a，b(b≠0)，a//b的充要条件是什么？存在实数λ，使a＝λb.思考2：对空间任意两个向量a，b，若a＝λb，则a与b的25思考4：如图，已知点A和非零向量a，若直线l经过点A且平行于向量a所在直线，则向量a叫做直线l的方向向量，那么点P在直线l上的充要条件是什么？alAP存在实数t，使＝ta思考5：对空间任意一点O，向量与、的关系如何？上述结论可作怎样的变式？思考4：如图，已知点A和非零向量a，若直线l经过点A且平行于26思考6：在直线l上取＝a，则向量式 可作哪些变形？你能从中发现什么结论吗？若，则点P、A、B共线的充要条件是x＋y＝1；点P为AB的中点的充要条件是思考6：在直线l上取＝a，则向量式 27探究（三）：共面向量的概念与定理

OAOA思考1：已知平面α和向量a，作，如果直线OA平行于α或在α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α.一组空间向量可以都与平面α平行吗？αa探究（三）：共面向量的概念与定理OAOA思考1：已知平面α28思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空间任意两个向量一定共面吗？任意三个向量一定共面吗？思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空间任意两个向29思考3：如果两个向量a，b不共线，若向量p与a，b共面，由平面向量基本定理知，存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.反之成立吗？由此可得什么结论？若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.思考3：如果两个向量a，b不共线，若向量p与a，b共面，由平30思考4：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？APBC存在有序实数对(x，y)，使思考4：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？APB31思考5：对空间任一点O，上述向量式可变形为，进一步变形可得什么结论？对空间任一点O和不共线三点A、B、C，若，则点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1.思考5：对空间任一点O，上述向量式可变形为，对空间任一点O和32例1在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：向量与 、共面.理论迁移ABCDEF例1在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中33例2已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，，求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）平面AC//平面EG．OABCDEFGH例2已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量34小结作业1.向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上.2.空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据.小结作业1.向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线353.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法.作业：P89练习：1，2，3.3.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点363.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算37问题提出1.空间向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？存在实数λ，使a＝λb.2.如果向量a，b不共线，向量p与a，b共面的充要条件是什么？存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.问题提出1.空间向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？383.若，则点P、A、B共线的充要条件是什么？若，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？x＋y＋z＝1x＋y＝14.空间任意两个向量总是共面的，任何两个平面向量都有数量积，因此，空间任意两个向量也有数量积运算.3.若，则点P、A、B共线的充要39空间向量的空间向量的40探究（一）：数量积的概念

思考1：类比平面向量，对于空间两个非零向量a，b，如何确定其夹角？在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.OABab探究（一）：数量积的概念思考1：类比平面向量，对于空间两41思考2：对于空间两个非零向量a，b，〈a，b〉与〈b，a〉，〈a，b〉与〈－a，b〉的大小关系如何？〈a，b〉＝〈b，a〉〈a，b〉＋〈－a，b〉＝π思考3：若〈a，b〉＝90°，则向量a与b的位置关系如何？a⊥b思考2：对于空间两个非零向量a，b，〈a，b〉与〈b，a〉，42思考4：对于空间两个非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么a·b有什么几何意义？数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，abab思考4：对于空间两个非零向量a，b，|a||b|cos〈a，43探究（二）：数量积的运算性质

思考1：a·a等于什么？该等式有何应用价值？a·a＝|a|2，求向量的模.思考2：对任意向量a，b，在什么条件下a·b＝0？a＝0或b＝0或a⊥b.思考3：a·b与b·a有什么关系？如何解释？a·b＝b·a探究（二）：数量积的运算性质思考1：a·a等于什么？该等44思考4：设λ为实数，(λa)·b与λ(a·b)，a·(λb)有什么关系？如何证明？(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)思考5：a·(b＋c)与a·b＋a·c相等吗？如何证明？a·(b＋c)＝a·b＋a·c思考6：(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？(a·b)·c≠a·(b·c)思考7：若a·b＝a·c，能得出b＝c吗？不能思考4：设λ为实数，(λa)·b与λ(a·b)，a·(λb)45理论迁移例1用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.POAl理论迁移例1用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条46例2用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：已知m，n是平面α内的两条相交直线，直线l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α．αlmng例2用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：αlm47小结作业1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样.2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离.小结作业1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空48作业：P92练习：1，2，3.作业：49空间向量及其运算习题课空间向量及其运算习题课50D例1在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心，求证：.OABCMD例1在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心，求证51例2在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．DABC例2在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD52例3如图，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M、N分别在AE、BD上，且AM＝DN，求证：MN//平面BCF.DABCMENF例3如图，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点53例4在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的中点，求异面直线OE与BF所成的角的余弦值.OABCFE例4在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的中54例5如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值.OABC例5如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝55作业：P98习题3.1A组：3，4，5.作业：563.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解第57问题提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.问题提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是582.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量a的坐标.2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？在平面直角坐标593.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示.3.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个60空间向量正交分空间向量正交分61探究（一）：空间向量基本定理

思考1：设a，b是空间不共线的两个向量，对于空间任意一个向量p，能用向量a，b线性表示吗？OabPNO!探究（一）：空间向量基本定理思考1：设a，b是空间不共线的62思考2:设a，b，c是空间不共面的三个向量，作a，b，c，p，过点P作PM//CO，交平面AOB于点M，那么向量 能用向量，线性表示吗？OABCPM＝xa＋yb

思考2:设a，b，c是空间不共面的三个向量，作a，63思考3：向量与向量的位置关系如何？向量用向量如何表示？OABCPM思考3：向量与向量的位置关系如何？向量64思考4：向量与，有什么关系？向量与，，有什么关系？OABCPM思考5：上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？思考4：向量与，有什么关系？向量与65若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.思考6：上述结论就是空间向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点相同？若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有66思考7：以{a，b，c}为基底，空间所有向量组成的集合如何表示？{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}.思考8：对于基底{a，b，c}，设p＝xa＋yb＋zc，当x，y，z至少一个为0时，向量p的位置分别如何？思考7：以{a，b，c}为基底，空间所有向量组成的集合如何表67探究（二）：空间向量的坐标表示思考1：若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？探究（二）：空间向量的坐标表示思考1：若空间向量的一个基底中68思考2：设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，用基底{e1，e2，e3}可以怎样表示？xyzOe2e1e3pp＝xe1＋ye2＋ze3

思考2：设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别69思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).对一个给定的向量p，其坐标惟一吗？相等向量的坐标相等吗？xyzOe2e1e3p思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量70思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，则点P的坐标是什么？(x，y，z)xyzOe2e1e3pp思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，则点71理论迁移例1如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.POABCMNQ理论迁移例1如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA72例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基底 分别表示向量和.BACDB1A1C1D1MN例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分73小结作业1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理.2.把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算，其运算原理下节课再学习.小结作业1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三74作业：P94练习：1，2，3.作业：753.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表76问题提出1.空间向量基本定理是什么？若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.2.在空间直角坐标系中，确定向量p的坐标的基本原理是什么？若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).问题提出1.空间向量基本定理是什么？若三个向量a，b，773.空间向量可以用坐标表示，从而空间向量的运算和向量的关系也可以用坐标表示，其相关结论，我们将逐一探究.3.空间向量可以用坐标表示，从而空间向量的运算和向量的关系也78空间向量运算空间向量运算79探究（一）：向量运算的坐标表示

思考1：向量a＋b用基底{i，j，k}如何表示？a＋b的坐标是什么？设{i，j，k}为单位正交基底，向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)思考2：根据上述原理，向量a－b的坐标是什么？

a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)探究（一）：向量运算的坐标表示思考1：向量a＋b用基底{80思考3：设λ为实数，向量λa用基底{i，j，k}如何表示？λa的坐标是什么？λa＝(λx1，λy1，λz1)思考4：利用a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋y2j＋z2k，a·b等于什么？

a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2

思考3：设λ为实数，向量λa用基底{i，j，k}如何表示？81探究（二）：向量关系的坐标表示

设向量a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2).思考1：若a//b，则向量a，b的坐标满足什么关系？x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R).思考2：若a⊥b，则向量a，b的坐标满足什么关系？x1x2＋y1y2＋z1z2＝0探究（二）：向量关系的坐标表示设向量a＝(x1，y1，z82思考3：利用向量a的坐标如何求|a|？

|a|＝思考4：利用向量a，b的坐标如何求它们的夹角？cos〈a，b〉＝思考3：利用向量a的坐标如何求|a|？|a|＝思考4：利用83思考5：若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则向量的坐标是什么？A、B两点间的距离如何计算？＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，思考6：已知点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，若，则点P的坐标是什么？思考5：若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)84例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求异面直线BE与DF所成角的余弦值.理论迁移xyzEABCA1FB1C1D1D例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E85例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点，求证：EF⊥A1D.xyzEABCA1FB1C1D1D例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点861.空间向量的坐标运算是在空间向量基本定理和空间向量的坐标表示的基础上建立起来的理论，它与平面向量的坐标运算的算法原理是一致的，其不同点体现在空间向量是三维坐标运算，平面向量是二维坐标运算.小结作业1.空间向量的坐标运算是在空间向量基本定理和空间向量的坐872.求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，若向量的起点在原点，一般用几何法；若向量的起点和终点是一些特殊点，一般用差向量法，即终点坐标减起点坐标；若向量的具体位置不确定，一般用待定系数法.3.对立体几何中的某些证明或计算问题，如果图形中有三条互相垂直的直线，可以建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.2.求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，88作业：P97练习：1，2，3.作业：89谢谢！供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)谢谢！供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸90供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉91问题提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做向量.2.两个平面向量相加、相减的运算法则分别是什么？平行四边形法则，三角形法则.

问题提出1.在平面中，什么叫向量？即有大小又有方向的量叫做923.如图，一块质量为500kg的均匀正三角形钢板，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|.若分析这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板，以及这块钢板在这些力的作用下如何运动，需要有空间向量的知识才能解决.F2F1F33.如图，一块质量为500kg的均匀正三角形钢板，在它的顶点93空间向量空间向量94探究（一）：空间向量的有关概念

思考1：平面内既有大小又有方向的量与空间中既有大小又有方向的量有本质差别吗？如何定义空间向量？空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量.探究（一）：空间向量的有关概念思考1：平面内既有大小又有方95思考2：向量的大小叫做向量的长度或模，在空间中，若向量a的起点为A，终点为B，则向量a可以怎样表示？其模怎样表示？向量的表示：模的表示：|a|或BAa思考2：向量的大小叫做向量的长度或模，在空间中，若向量a的起96思考3：在空间向量中，怎样定义零向量，单位向量，相反向量和相等向量？

零向量：模为0的向量；

单位向量：模为1的向量；

相反向量：模相等且方向相反的向量；

相等向量：模相等且方向相同的向量.思考3：在空间向量中，怎样定义零向量，单位向量，相反向量和相97思考4：在平面向量中，若两个向量可以平移到同一条直线上，则称这两个向量为共线向量.在空间向量中，若两个向量可以平移到同一个平面内，则称这两个向量为共面向量.那么空间任意两个向量共面吗？任意三个向量共面吗？思考4：在平面向量中，若两个向量可以平移到同一条直线上，则称98空间向量及其运算共课件99探究（二）：空间向量的加减运算

思考1：对于两个平面向量，可以利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量，如果空间向量a与b所在直线异面，如何求作它们的和向量与差向量？aba＋baba－b探究（二）：空间向量的加减运算思考1：对于两个平面向量，可100思考2：如果空间三个向量a，b，c不共面，如何求作它们的和向量？abca+b+c思考2：如果空间三个向量a，b，c不共面，如何求作它们的和向101思考3：如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，向量表示哪个向量？BACDB1A1C1D1思考3：如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABC102思考4：对于空间向量a，b，向量a＋b与b＋a相等吗？aba+bb+a交换律：a＋b＝b＋a思考4：对于空间向量a，b，向量a＋b与b＋a相等吗？ab103思考5：如图，设，，，则(a＋b)＋c与a＋(b＋c)分别等于哪个向量？由此得到什么结论？OABCabc结合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考6：若a＋b＝0或a－b＝0，则向量a与b的关系分别是什么？相反向量相等向量思考5：如图，设，，，则(a＋b)104理论迁移例在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，化简下列各式：BACDB1A1C1D1理论迁移例在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，1051.空间向量是平面向量的拓展，其相关概念、表示方法、和差运算法则和运算律等，与平面向量具有一致性.小结作业2.空间向量与平面向量的区别在于表示空间向量的有向线段不一定共面，而表示平面向量的有向线段一定共面.1.空间向量是平面向量的拓展，其相关概念、表示方法、和差运算1063.任意两个空间向量可以通过平移使其共面，因此，两个空间向量的和差运算实质是平面向量的和差运算，多个空间向量的和差运算可以转化为若干个平面向量的和差运算来解决.作业：P86练习：1，2，3.3.任意两个空间向量可以通过平移使其共面，因此，两个空间向量1073.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算108问题提出1.空间向量与平面向量的概念是一样的，都是指具有大小和方向的量，对于两个向量a、b，如何体现它们是空间向量还是平面向量？表示向量的有向线段所在直线异面与共面.问题提出1.空间向量与平面向量的概念是一样的，都是指具有大小1092.如何求作两个空间向量的和向量与差向量？先平移到同一个平面内，再利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量.3.在空间中，求作三个不共面向量的和向量有何运算法则？折线法则，平行六面体法则2.如何求作两个空间向量的和向量与差向量？先平移到同一个平1104.空间向量的基本概念和加减运算，都是平面向量的推广.在平面向量中有向量的数乘运算，推广到空间，就能建立空间向量的数乘运算理论体系.4.空间向量的基本概念和加减运算，都是平面向量的推广.在平面111空间向量空间向量112探究（一）：数乘运算的含义

思考1：在平面向量中，实数λ与向量a的乘积λa还是一个向量，称为向量的数乘运算，其中向量λa与a的大小和方向有什么关系？概念：实数λ与向量a的乘积λa.大小：|λa|＝|λ|·|a|;方向：λ＞0时同向，λ＜0时反向，λ＝0时λa＝0.探究（一）：数乘运算的含义思考1：在平面向量中，实数λ与向113思考2：平面向量的数乘运算在空间向量中成立吗？对于实数λ，μ，则λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分别等于什么？λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2：平面向量的数乘运算在空间向量中成立吗？对于实数λ，μ114探究（二）：共线向量的概念与定理

思考1：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，如果空间向量a，b，c是一组平行向量，那么表示这三个向量的有向线段所在的直线的位置关系有哪几种可能？探究（二）：共线向量的概念与定理思考1：如果表示空间向量的115思考2：对空间任意两个向量a，b，若a＝λb，则a与b的有什么位置关系？反之成立吗？若a＝λb，则a与b共线；反之，当b＝0时不成立.思考3：对空间两个向量a，b(b≠0)，a//b的充要条件是什么？存在实数λ，使a＝λb.思考2：对空间任意两个向量a，b，若a＝λb，则a与b的116思考4：如图，已知点A和非零向量a，若直线l经过点A且平行于向量a所在直线，则向量a叫做直线l的方向向量，那么点P在直线l上的充要条件是什么？alAP存在实数t，使＝ta思考5：对空间任意一点O，向量与、的关系如何？上述结论可作怎样的变式？思考4：如图，已知点A和非零向量a，若直线l经过点A且平行于117思考6：在直线l上取＝a，则向量式 可作哪些变形？你能从中发现什么结论吗？若，则点P、A、B共线的充要条件是x＋y＝1；点P为AB的中点的充要条件是思考6：在直线l上取＝a，则向量式 118探究（三）：共面向量的概念与定理

OAOA思考1：已知平面α和向量a，作，如果直线OA平行于α或在α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α.一组空间向量可以都与平面α平行吗？αa探究（三）：共面向量的概念与定理OAOA思考1：已知平面α119思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空间任意两个向量一定共面吗？任意三个向量一定共面吗？思考2：平行于同一平面的向量，叫做共面向量，空间任意两个向120思考3：如果两个向量a，b不共线，若向量p与a，b共面，由平面向量基本定理知，存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.反之成立吗？由此可得什么结论？若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.思考3：如果两个向量a，b不共线，若向量p与a，b共面，由平121思考4：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？APBC存在有序实数对(x，y)，使思考4：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？APB122思考5：对空间任一点O，上述向量式可变形为，进一步变形可得什么结论？对空间任一点O和不共线三点A、B、C，若，则点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1.思考5：对空间任一点O，上述向量式可变形为，对空间任一点O和123例1在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：向量与 、共面.理论迁移ABCDEF例1在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中124例2已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，，求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）平面AC//平面EG．OABCDEFGH例2已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量125小结作业1.向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上.2.空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据.小结作业1.向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线1263.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法.作业：P89练习：1，2，3.3.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点1273.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算128问题提出1.空间向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？存在实数λ，使a＝λb.2.如果向量a，b不共线，向量p与a，b共面的充要条件是什么？存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.问题提出1.空间向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？1293.若，则点P、A、B共线的充要条件是什么？若，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？x＋y＋z＝1x＋y＝14.空间任意两个向量总是共面的，任何两个平面向量都有数量积，因此，空间任意两个向量也有数量积运算.3.若，则点P、A、B共线的充要130空间向量的空间向量的131探究（一）：数量积的概念

思考1：类比平面向量，对于空间两个非零向量a，b，如何确定其夹角？在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.OABab探究（一）：数量积的概念思考1：类比平面向量，对于空间两132思考2：对于空间两个非零向量a，b，〈a，b〉与〈b，a〉，〈a，b〉与〈－a，b〉的大小关系如何？〈a，b〉＝〈b，a〉〈a，b〉＋〈－a，b〉＝π思考3：若〈a，b〉＝90°，则向量a与b的位置关系如何？a⊥b思考2：对于空间两个非零向量a，b，〈a，b〉与〈b，a〉，133思考4：对于空间两个非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么a·b有什么几何意义？数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，abab思考4：对于空间两个非零向量a，b，|a||b|cos〈a，134探究（二）：数量积的运算性质

思考1：a·a等于什么？该等式有何应用价值？a·a＝|a|2，求向量的模.思考2：对任意向量a，b，在什么条件下a·b＝0？a＝0或b＝0或a⊥b.思考3：a·b与b·a有什么关系？如何解释？a·b＝b·a探究（二）：数量积的运算性质思考1：a·a等于什么？该等135思考4：设λ为实数，(λa)·b与λ(a·b)，a·(λb)有什么关系？如何证明？(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)思考5：a·(b＋c)与a·b＋a·c相等吗？如何证明？a·(b＋c)＝a·b＋a·c思考6：(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？(a·b)·c≠a·(b·c)思考7：若a·b＝a·c，能得出b＝c吗？不能思考4：设λ为实数，(λa)·b与λ(a·b)，a·(λb)136理论迁移例1用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.POAl理论迁移例1用向量方法证明三垂线定理：平面内的一条137例2用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：已知m，n是平面α内的两条相交直线，直线l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α．αlmng例2用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理：αlm138小结作业1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样.2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离.小结作业1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空139作业：P92练习：1，2，3.作业：140空间向量及其运算习题课空间向量及其运算习题课141D例1在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心，求证：.OABCMD例1在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心，求证142例2在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．DABC例2在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD143例3如图，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M、N分别在AE、BD上，且AM＝DN，求证：MN//平面BCF.DABCMENF例3如图，正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点144例4在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的中点，求异面直线OE与BF所成的角的余弦值.OABCFE例4在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的中145例5如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值.OABC例5如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝146作业：P98习题3.1A组：3，4，5.作业：1473.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解第148问题提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.问题提出1.平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是1492.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量a的坐标.2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？在平面直角坐标1503.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示.3.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个151空间向量正交分空间向量正交分152探究（一）：空间向量基本定理

思考1：设a，b是空间不共线的两个向量，对于空间任意一个向量p，能用向量a，b线性表示吗？OabPNO!探究（一）：空间向量基本定理思考1：设a，b是空间不共线的153思考2:设a，b，c是空间不共面的三个向量，作a，b，c，p，过点P作PM//CO，交平面AOB于点M，那么向量 能用向量，线性表示吗？OABCPM＝xa＋yb

思考2:设a，b，c是空间不共面的三个向量，作a，154思考3：向量与向量的位置关系如何？向量用向量如何表示？OABCPM思考3：向量与向量的位置关系如何？向量155思考4：向量与，有什么关系？向量与，，有什么关系？OABCPM思考5：上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？思考4：向量与，有什么关系？向量与156若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.思考6：上述结论就是空间向量基本定理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点相同？若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有157思考7：以{a，b，c}为基底，空间所有向量组成的集合如何表示？{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}.思考8：对于基底{a，b，c}，设p＝xa＋yb＋zc，当x，y，z至少一个为0时，向量p的位置分别如何？思考7：以{a，b，c}为基底，空间所有向量组成的集合如何表158探究（二）：空间向量的坐标表示思考1：若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？探究（二）：空间向量的坐标表示思考1：若空间向量的一个基底中159思考2：设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，用基底{e1，e2，e3}可以怎样表示？xyzOe2e1e3pp＝xe1＋ye2＋ze3

思考2：设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别160思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).对一个给定的向量p，其坐标惟一吗？相等向量的坐标相等吗？xyzOe2e1e3p思考3：若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为向量161思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，则点P的坐标是什么？(x，y，z)xyzOe2e1e3pp思考4：若向量p＝(x，y，z)，作 p，则点162理论迁移例1如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.POABCMNQ理论迁移例1如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA163例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基底 分别表示向量和.BACDB1A1C1D1MN例2在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分164小结作业1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理.2.把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算，其运算原理下节课再学习.小结作业1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三165作业：P94练习：1，2，3.作业：1663.1空间向