分子对称性和点群(同名47)课件

第三章分子对称性和点群

分子具有某种对称性.它对于理解和应用分子量子态及相关光谱有极大帮助.

确定光谱的选择定则需要用到对称性.

标记分子的量子态需要用到对称性.第三章分子对称性和点群分子具有某种对称性.3.1对称元素对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象.把等价原子进行交换的操作叫做对称操作.对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.3.1对称元素对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分3.1.1n重对称轴,Cn(转动)转角I为恒等操作主轴:n最大的轴。产生n-1个转动。3.1.1n重对称轴,Cn(转动)转角I为3.1.2对称面,(反映)2=Ih:垂直于主轴的对称面v:包含主轴的对称面d:包含主轴且平分两个C2轴的对称面3.1.2对称面,(反映)2=I3.1.3.对称中心,i(反演)i2=I3.1.3.对称中心,i(反演)i2=I3.1.4n重旋转反映轴,SnSn=h

Cn

由于S1=h

C1=,S2=h

C2=i所以S1

和S2无意义.3.1.5恒等元素,E

或I所有分子都具有恒等元素E(有时也写为I).是保持群论规则必需的元素.Sn=hCn

=Cn

h3.1.4n重旋转反映轴,SnSn=h3.1.6元素的生成v=v

C2,v包含CH2面,而v包含CF2面.

对Cn,会产生(n-1)个对称操作.如:类似地,v=v

C2,C2=vv（注意顺序）3.1.6元素的生成v=vC2,当n为偶数时,当n为奇数时,例:当n为偶数时,例:3.2群的定义和基本性质定义:群G是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…},

对于一定的乘法规则,满足以下四个条件:1)封闭性群中任意两个元素R和S的乘积等于集合中另一个元素,T=RS2)结合律

A(BC)=(AB)C3)有唯一的恒等元素E,使得对任意群元素R,有RE=ER=R4)每个元素R必有逆元素R-1,使得RR-1=R-1R=E性质:1)若AB=AC则B=C2)(AB)–1=B–1A–1

因为(AB)(AB)–1=ABB–1A–1=AA–1=E3.2.1群的定义与分类3.2群的定义和基本性质定义:群G是一个不同元素的集10群的分类阿贝尔群

群元素的乘积都可对易的群SR=RS非阿贝尔群群中至少有一对元素乘积不能对易有限群

群元素的数目有限，群元素的个数称为群的阶无限群

群元素的数目无限连续群

群元素可用一组连续变化的参数描写离散群群元素个数是可数无限的10群的分类阿贝尔群群元素的乘积都可对易的群SR例一：数群（群元素为数字）(1)全部整数的集合,乘法规则为代数加法,则构成一个群.

恒等元素为0.数n的逆元素为(-n).

封闭性和结合律是显然的.

(2)数的集合{1,-1,i,-i},乘法规则为代数乘法,

则构成一个群.恒等元素为1.数(-1)的逆元素为(-1).

数(i)的逆元素为(-i).(3)全体非零整数的集合,乘法规则为代数乘法,不构成群.数n的逆元素为1/n,不为整数，不在群元素中.例一：数群（群元素为数字）例二：置换群（群元素为变换位置的操作，乘法规则为从右到左相继操作）.S3

群(三阶置换群)

123123将1、2、3处之物分别放于2、3、1处例二：置换群（群元素为变换位置的操作，乘法规则为从右到左相继例三：矩阵群（群元素为矩阵，乘法规则为矩阵乘法）例三：矩阵群（群元素为矩阵，乘法规则为矩阵乘法）例四：对称操作群（群元素为对称操作，乘法规则为相继两次操作）(1)D3={e,d,f,a,b,c}e:恒等操作d:绕z轴顺时针转动120f:绕z轴顺时针转动240a:绕a轴顺时针转动180b:绕b轴顺时针转动180c:绕c轴顺时针转动180故ad=b(2)空间反演群{E,i},i为空间反演操作.i2=E例四：对称操作群（群元素为对称操作，乘法规则为相继两次操作）D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素的重排ad=b,da=c，D3群为6阶非阿贝尔群3.2.2群的乘法表对有限群，群元素的数目有限，把元素所有可能的乘积全部列出（左列元素乘顶行元素），构成一个表，称群的乘法表.D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素例1.求3阶群的乘法表.(错)G={E,A,A2}3阶群只能为循环群(?)循环群:整个群是由一个元素及其所有的幂产生.如:构成n阶循环群Cn

例1.求3阶群的乘法表.(错)G={E,A,A2}(?)例2.求4阶群的乘法表.（1）显然存在一个循环群（2）非循环群

欲构成非循环群，只可能是各元素的逆元素为自身

即,再根据重排定理即可得乘法表例2.求4阶群的乘法表.（1）显然存在一个循环群（2）非循子群:设H是群G的非空子集,若对于群G的乘法规则,集合H也满足群的四个条件,则称H是G的子群.1)封闭性2)结合律：H属于G并且为相同的乘法规则，因此结合律显然满足3)恒等元素：针对每个子群加入群G的恒等元素即可4)逆元素因此满足条件1）与4）是证明子群成立的关键.

显然,恒等元素E单独构成的群和群G自身是平庸子群.3.2.3群的子群

例1.在D3={e,d,f,a,b,c}中,子集{e,d,f},{e,a},{e,b},{e,c}都是子群.{e,d,f}：df=fd=e{e,a}：aa=e{e,b},{e,c}与{e,a}同理可证子群:设H是群G的非空子集,若对于群G的乘法例2.乘法规则为代数加法,全体实数构成的群R全体整数构成一个子群Z例3.三阶置换群S3{E,D,F}构成S3的一个3阶子群{E,A}、{E,B}、{E,C}分别构成S3的2阶子群例2.乘法规则为代数加法,全体实数构成的群R例3.三阶共轭元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G的元素)

元素的共轭类:一组彼此共轭的所有元素集合称为群的一个类.f类={x-1fx,x取遍所有的群元素}(A和B共轭）3.2.4群的共轭类共轭元素的性质（1）每个元素与其自身共轭（2）若A与B共轭，则B与A共轭（3）传递性：若A与B及C共轭，则B与C共轭(令）共轭元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G例.求D3

的所有共轭类D3={e,d,f,a,b,c}e类:x-1ex=ed类:a-1da=ac=fa类:b-1ab=bd=cd-1ad=fb=cc-1ac=cf=b所以D3的共轭类为:{e},{d,f},{a,b,c}一个群的单位元素始终自成一类例.求D3的所有共轭类所以D3的共轭类为:{e}3.3点群分子的所有对称元素构成分子的点群.这些对称元素至少保持空间中的一点(分子质心)不变,从而成为点群.如H2O的所有对称元素为:

1.Cn点群3.3点群分子的所有对称元素构成分子的点群.1.Cn点群2.Sn点群(n为偶数)3.Cnv点群有一个Cn轴和n个包含该轴的对称面vCv上下两个平面平行，各平面中两个相邻的硫氰酸根夹角均为120°，上下两个平面旋转60°即可重合.S6六硫氰酸根合铬离子2.Sn点群(n为偶数)3.Cnv点群Cv上下两4.Dn点群有一个Cn轴和n个垂直于该轴的C2轴.5.Cnh点群有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称面h.三乙胺合钴离子

风扇形构型D34.Dn点群5.Cnh点群三乙胺合钴离子6.Dnd点群有一个Cn轴,一个S2n轴,n个垂直于该轴的C2轴,n个平分C2轴的对称面d.7.Dnh群有一个Cn轴,n个垂直于该轴的C2轴,1个垂直于该轴的对称面hD3hH2为Dh6.Dnd点群7.Dnh群D3hH2为Dh8.Td点群有4个C3轴,3个C2轴,6个对称面d.正四面体对称群.9.Oh点群有3个C4轴,4个C3轴,3个h,6个对称面d,对称中心i.正八面体对称群.8.Td点群9.Oh点群3.4群的表示3.4.1向量和矩阵

向量具有一定的大小和方向.是数的有序排列,代表在坐标轴上的投影.3.4群的表示3.4.1向量和矩阵是数的有序排列,代表矩阵是由数值或符号组成的长方形列阵.如行列维数:每行和每列中矩阵元的个数.矩阵加法:矩阵乘法:矩阵与向量的乘法:（i＝1,2,3)矩阵是由数值或符号组成的长方形列阵.如行列维数:每行和每矩阵的迹

(trace)或特征标

(character):相似变换:(S为正交矩阵)证明:(这个性质在群表示中很有用）矩阵的迹(trace)或特征标(character):矩阵的直和m阶矩阵A与n阶矩阵B的直和为由下式定义的m+n阶矩阵C

：符号代表直和。这个概念很容易推广到多个矩阵的直和。例如矩阵的直和是下面的六阶方阵:分块对角矩阵矩阵的直和m阶矩阵A与n阶矩阵B的直和为由下式分块对角矩阵的性质：其中A1和A2都是n阶矩阵，B1和B2都是m阶矩阵。分块对角矩阵的性质：其中A1和A2都是n阶矩阵，矩阵的直积如果有两个矩阵，另有一个矩阵，它们的矩阵元之间满足关系就说矩阵A和B的直积是矩阵C，记作例如由定义有矩阵的直积如果有两个矩阵，另有一个矩阵特征标:推广：直积矩阵的特征标等于每个直积因子矩阵的特征标的乘积。通过直接计算可以证明，若和是阶相同的矩阵，和是阶相同的矩阵，则有注意两个矩阵间没有符号时，如表示两个矩阵和的乘积。特征标:推广：直积矩阵的特征标等于每个直积因子矩阵的特征标的3.4.2群的表示(矩阵群)选定一组基向量,把群元素用一个矩阵表示,且

(1)一一对应.任一群元素g都有对应的矩阵A(g).(2)保持群的乘法规律不变.即A(f)A(g)=A(fg)

则称为群的表示.在三维空间中对称操作的矩阵表示.（表示的乘积等于乘积的表示）绕z轴转动3.4.2群的表示(矩阵群)选定一组基向量,把群元素用一个特征标:表示矩阵对角元之和.共轭类的特征标相等.

从

f=X-1gX得

A(f)=A(X)-1A(g)A(X)

从而

例:D3={e,d,f,a,b,c}在三维空间的表示特征标:表示矩阵对角元之和.例:D3={e,d,f,a,分子对称性和点群(同名47)课件如果选取作为表示空间的基。映射A为：例:求以为基函数的群的表示矩阵。如果选取例:求以分子对称性和点群(同名47)课件分子对称性和点群(同名47)课件所以的表示矩阵为同理可得其余操作的表示矩阵所以的表示矩阵为同理可得其余操作的表示分子对称性和点群(同名47)课件分子对称性和点群(同名47)课件表示的分类:(1)等价表示若A(g)是群G的一个表示,X是一正交变换矩阵,则

B(g)=X-1A(g)X是表示A的等价表示.(因为B(g)B(f)=X-1A(g)XX-1A(f)X=X-1A(g)A(f)X=X-1A(gf)X=B(gf),从而保持乘法规律不变)等价表示有相等的特征标.

表示的分类:例：二阶群的二维等价表示表示1表示2正交变换矩阵表示1与表示2为两组等价的二维表示例：二阶群的二维等价表示表示1表示2正交变换矩阵表示1与表示(2)可约表示与不可约表示若表示A可通过相似变换形成对角分块的等价表示,则称为可约表示,否则为不可约表示.(对所有的群元素)如D3群在直角坐标系下的表示就是可约表示.群论的任务之一就是要找出点群所有不等价不可约表示的特征标.(2)可约表示与不可约表示(对所有的群元素)如D3群在D3群在直角坐标系下的表示化成了一组二维不可约表示与一组一维不可约表示D3群在直角坐标系下的表示化成了一组二维不可约表示与一组一规则一.

点群中不可约表示的数目等于共轭类的数目.

如D3中有3个共轭类{e},{d,f},{a,b,c},故有3个不可约表示.规则二.点群中所有不可约表示的维数的平方和等于群的阶n.

在D3中,从而

规则一.点群中不可约表示的数目等于共轭类的数目.规则二.点k为群中所有共轭类的数目;hj为共轭类j中的群元素个数.规则三.点群中不可约表示特征标间的正交关系:

对不可约表示:

或对可约表示:如D3群在直角坐标系下的表示一般地,可约表示的分解公式:由此可得该可约表示中含不可约表示r的数目.由此很容易判断可约表示k为群中所有共轭类的数目;规则三.点群中不可约表示特征标设群有两个表示作表示矩阵和的直积直积矩阵的集合构成群的一个直积表示。因此C

也是群G

的一个表示，称为是表示A

和B

的直积表示。保持G的乘法规律不变.对任意，有群的直积表示设群有两个表示作表示矩阵设表示A和B

的特征标为和，则直积表示C的特征标为如果A

和B

分别是有限群G的不等价不可约表示，则由特征标的正交性定理，可得而一般不等于1，故C

一般是G

的可约表示。设表示A和B的特征标为和，则直积表示点群的特征标表说明:A1为全对称表示

A表示对主轴是对称的

B表示对主轴是反对称的我们经常需要考虑两个不可约表示的乘积,即表示的直积,如故

对称:反对称:点群的特征标表说明:A1为全对称表示我们经常需要考虑两个不利用可约表示的分解公式:故对前例中的三维表示:30-1利用可约表示的分解公式:故对前例中的三维表示:分子对称性和点群(同名47)课件3.5偶极矩的对称性偶极矩是用来度量分子中电荷的不对称性,常用符号d或表示.对称性,电负性,孤对电子3.5偶极矩的对称性偶极矩是用来度量分子中电荷的不对称性,偶极矩的定义:

偶极矩的常用单位为Debye(D):

如NH3(1.47D),NF3(0.2D),C6H5CH3(0.36D)实验上可测出偶极矩的数值,但不能确定其方向.用量子化学计算可以提供方向和大小.

如何判断分子具有非零偶极矩?由于偶极矩向量对分子所属点群的所有对称操作都必须是完全对称的,且偶极矩的定义:如何判断分子具有非零偶极矩?可见分子具有非零偶极矩的规则为:

若分子点群中任一平动的对称性属于全对称表示,则该分子具有永久偶极矩.可见分子具有非零偶极矩的规则为:习题1.以下分子的基态和激发态具有不同几何构型,找出它们所属的点群和对称元素.(a)NH3(基态为锥形,激发态为平面)(b)C2H2(基态为直线,激发态为平面反式弯曲)(c)H2CO(基态为平面,激发态为锥形)2.确定丙二烯分子所属点群,并利用特征标表计算直积:3.给出下列分子的对称元素,并利用相应的特征标表判断分子是否有非零偶极矩:(a)1,2,3-三氟代苯;(b)1,2,4-三氟代苯;(c)1,3,5-三氟代苯;习题1.以下分子的基态和激发态具有不同几何构型,找出它们所第三章分子对称性和点群

分子具有某种对称性.它对于理解和应用分子量子态及相关光谱有极大帮助.

确定光谱的选择定则需要用到对称性.

标记分子的量子态需要用到对称性.第三章分子对称性和点群分子具有某种对称性.3.1对称元素对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分的图象.把等价原子进行交换的操作叫做对称操作.对称操作依赖的几何集合(点,线,面)叫做对称元素.3.1对称元素对称性是指分子具有两个或更多的在空间不可区分3.1.1n重对称轴,Cn(转动)转角I为恒等操作主轴:n最大的轴。产生n-1个转动。3.1.1n重对称轴,Cn(转动)转角I为3.1.2对称面,(反映)2=Ih:垂直于主轴的对称面v:包含主轴的对称面d:包含主轴且平分两个C2轴的对称面3.1.2对称面,(反映)2=I3.1.3.对称中心,i(反演)i2=I3.1.3.对称中心,i(反演)i2=I3.1.4n重旋转反映轴,SnSn=h

Cn

由于S1=h

C1=,S2=h

C2=i所以S1

和S2无意义.3.1.5恒等元素,E

或I所有分子都具有恒等元素E(有时也写为I).是保持群论规则必需的元素.Sn=hCn

=Cn

h3.1.4n重旋转反映轴,SnSn=h3.1.6元素的生成v=v

C2,v包含CH2面,而v包含CF2面.

对Cn,会产生(n-1)个对称操作.如:类似地,v=v

C2,C2=vv（注意顺序）3.1.6元素的生成v=vC2,当n为偶数时,当n为奇数时,例:当n为偶数时,例:3.2群的定义和基本性质定义:群G是一个不同元素的集合{A,B,…,R,…},

对于一定的乘法规则,满足以下四个条件:1)封闭性群中任意两个元素R和S的乘积等于集合中另一个元素,T=RS2)结合律

A(BC)=(AB)C3)有唯一的恒等元素E,使得对任意群元素R,有RE=ER=R4)每个元素R必有逆元素R-1,使得RR-1=R-1R=E性质:1)若AB=AC则B=C2)(AB)–1=B–1A–1

因为(AB)(AB)–1=ABB–1A–1=AA–1=E3.2.1群的定义与分类3.2群的定义和基本性质定义:群G是一个不同元素的集67群的分类阿贝尔群

群元素的乘积都可对易的群SR=RS非阿贝尔群群中至少有一对元素乘积不能对易有限群

群元素的数目有限，群元素的个数称为群的阶无限群

群元素的数目无限连续群

群元素可用一组连续变化的参数描写离散群群元素个数是可数无限的10群的分类阿贝尔群群元素的乘积都可对易的群SR例一：数群（群元素为数字）(1)全部整数的集合,乘法规则为代数加法,则构成一个群.

恒等元素为0.数n的逆元素为(-n).

封闭性和结合律是显然的.

(2)数的集合{1,-1,i,-i},乘法规则为代数乘法,

则构成一个群.恒等元素为1.数(-1)的逆元素为(-1).

数(i)的逆元素为(-i).(3)全体非零整数的集合,乘法规则为代数乘法,不构成群.数n的逆元素为1/n,不为整数，不在群元素中.例一：数群（群元素为数字）例二：置换群（群元素为变换位置的操作，乘法规则为从右到左相继操作）.S3

群(三阶置换群)

123123将1、2、3处之物分别放于2、3、1处例二：置换群（群元素为变换位置的操作，乘法规则为从右到左相继例三：矩阵群（群元素为矩阵，乘法规则为矩阵乘法）例三：矩阵群（群元素为矩阵，乘法规则为矩阵乘法）例四：对称操作群（群元素为对称操作，乘法规则为相继两次操作）(1)D3={e,d,f,a,b,c}e:恒等操作d:绕z轴顺时针转动120f:绕z轴顺时针转动240a:绕a轴顺时针转动180b:绕b轴顺时针转动180c:绕c轴顺时针转动180故ad=b(2)空间反演群{E,i},i为空间反演操作.i2=E例四：对称操作群（群元素为对称操作，乘法规则为相继两次操作）D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素的重排ad=b,da=c，D3群为6阶非阿贝尔群3.2.2群的乘法表对有限群，群元素的数目有限，把元素所有可能的乘积全部列出（左列元素乘顶行元素），构成一个表，称群的乘法表.D3群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素例1.求3阶群的乘法表.(错)G={E,A,A2}3阶群只能为循环群(?)循环群:整个群是由一个元素及其所有的幂产生.如:构成n阶循环群Cn

例1.求3阶群的乘法表.(错)G={E,A,A2}(?)例2.求4阶群的乘法表.（1）显然存在一个循环群（2）非循环群

欲构成非循环群，只可能是各元素的逆元素为自身

即,再根据重排定理即可得乘法表例2.求4阶群的乘法表.（1）显然存在一个循环群（2）非循子群:设H是群G的非空子集,若对于群G的乘法规则,集合H也满足群的四个条件,则称H是G的子群.1)封闭性2)结合律：H属于G并且为相同的乘法规则，因此结合律显然满足3)恒等元素：针对每个子群加入群G的恒等元素即可4)逆元素因此满足条件1）与4）是证明子群成立的关键.

显然,恒等元素E单独构成的群和群G自身是平庸子群.3.2.3群的子群

例1.在D3={e,d,f,a,b,c}中,子集{e,d,f},{e,a},{e,b},{e,c}都是子群.{e,d,f}：df=fd=e{e,a}：aa=e{e,b},{e,c}与{e,a}同理可证子群:设H是群G的非空子集,若对于群G的乘法例2.乘法规则为代数加法,全体实数构成的群R全体整数构成一个子群Z例3.三阶置换群S3{E,D,F}构成S3的一个3阶子群{E,A}、{E,B}、{E,C}分别构成S3的2阶子群例2.乘法规则为代数加法,全体实数构成的群R例3.三阶共轭元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G的元素)

元素的共轭类:一组彼此共轭的所有元素集合称为群的一个类.f类={x-1fx,x取遍所有的群元素}(A和B共轭）3.2.4群的共轭类共轭元素的性质（1）每个元素与其自身共轭（2）若A与B共轭，则B与A共轭（3）传递性：若A与B及C共轭，则B与C共轭(令）共轭元素:B=X-1AX(X,A,B都是群G例.求D3

的所有共轭类D3={e,d,f,a,b,c}e类:x-1ex=ed类:a-1da=ac=fa类:b-1ab=bd=cd-1ad=fb=cc-1ac=cf=b所以D3的共轭类为:{e},{d,f},{a,b,c}一个群的单位元素始终自成一类例.求D3的所有共轭类所以D3的共轭类为:{e}3.3点群分子的所有对称元素构成分子的点群.这些对称元素至少保持空间中的一点(分子质心)不变,从而成为点群.如H2O的所有对称元素为:

1.Cn点群3.3点群分子的所有对称元素构成分子的点群.1.Cn点群2.Sn点群(n为偶数)3.Cnv点群有一个Cn轴和n个包含该轴的对称面vCv上下两个平面平行，各平面中两个相邻的硫氰酸根夹角均为120°，上下两个平面旋转60°即可重合.S6六硫氰酸根合铬离子2.Sn点群(n为偶数)3.Cnv点群Cv上下两4.Dn点群有一个Cn轴和n个垂直于该轴的C2轴.5.Cnh点群有一个Cn轴和一个垂直于该轴的对称面h.三乙胺合钴离子

风扇形构型D34.Dn点群5.Cnh点群三乙胺合钴离子6.Dnd点群有一个Cn轴,一个S2n轴,n个垂直于该轴的C2轴,n个平分C2轴的对称面d.7.Dnh群有一个Cn轴,n个垂直于该轴的C2轴,1个垂直于该轴的对称面hD3hH2为Dh6.Dnd点群7.Dnh群D3hH2为Dh8.Td点群有4个C3轴,3个C2轴,6个对称面d.正四面体对称群.9.Oh点群有3个C4轴,4个C3轴,3个h,6个对称面d,对称中心i.正八面体对称群.8.Td点群9.Oh点群3.4群的表示3.4.1向量和矩阵

向量具有一定的大小和方向.是数的有序排列,代表在坐标轴上的投影.3.4群的表示3.4.1向量和矩阵是数的有序排列,代表矩阵是由数值或符号组成的长方形列阵.如行列维数:每行和每列中矩阵元的个数.矩阵加法:矩阵乘法:矩阵与向量的乘法:（i＝1,2,3)矩阵是由数值或符号组成的长方形列阵.如行列维数:每行和每矩阵的迹

(trace)或特征标

(character):相似变换:(S为正交矩阵)证明:(这个性质在群表示中很有用）矩阵的迹(trace)或特征标(character):矩阵的直和m阶矩阵A与n阶矩阵B的直和为由下式定义的m+n阶矩阵C

：符号代表直和。这个概念很容易推广到多个矩阵的直和。例如矩阵的直和是下面的六阶方阵:分块对角矩阵矩阵的直和m阶矩阵A与n阶矩阵B的直和为由下式分块对角矩阵的性质：其中A1和A2都是n阶矩阵，B1和B2都是m阶矩阵。分块对角矩阵的性质：其中A1和A2都是n阶矩阵，矩阵的直积如果有两个矩阵，另有一个矩阵，它们的矩阵元之间满足关系就说矩阵A和B的直积是矩阵C，记作例如由定义有矩阵的直积如果有两个矩阵，另有一个矩阵特征标:推广：直积矩阵的特征标等于每个直积因子矩阵的特征标的乘积。通过直接计算可以证明，若和是阶相同的矩阵，和是阶相同的矩阵，则有注意两个矩阵间没有符号时，如表示两个矩阵和的乘积。特征标:推广：直积矩阵的特征标等于每个直积因子矩阵的特征标的3.4.2群的表示(矩阵群)选定一组基向量,把群元素用一个矩阵表示,且

(1)一一对应.任一群元素g都有对应的矩阵A(g).(2)保持群的乘法规律不变.即A(f)A(g)=A(fg)

则称为群的表示.在三维空间中对称操作的矩阵表示.（表示的乘积等于乘积的表示）绕z轴转动3.4.2群的表示(矩阵群)选定一组基向量,把群元素用一个特征标:表示矩阵对角元之和.共轭类的特征标相等.

从

f=X-1gX得

A(f)=A(X)-1A(g)A(X)

从而

例:D3={e,d,f,a,b,c}在三维空间的表示特征标:表示矩阵对角元之和.例:D3={e,d,f,a,分子对称性和点群(同名47)课件如果选取作为表示空间的基。映射A为：例:求以为基函数的群的表示矩阵。如果选取例:求以分子对称性和点群(同名47)课件分子对称性和点群(同名47)课件所以的表示矩阵为同理可得其余操作的表示矩阵所以的表示矩阵为同理可得其余操作的表示分子对称性和点群(同名47)课件分子对称性和点群(同名47)课件表示的分类:(1)等价表示若A(g)是群G的一个表示,X是一正交变换矩阵,则

B(g)=X-1A(g)X是表示A的等价表示.(因为B(g)B(f)=X-1A(g)XX-1A(f)X=X-1A(g)A(f)X=X-1A(gf)X=B(gf),从而保持乘法规律不变)等价表示有相等的特征标.

表示的分类:例：二阶群的二维等价表示表示1表示2正交变换矩阵表示1与表示2为两组等价的二维表示例：二阶群的二维等价表示表示1表示2正交变换矩阵表示1与表示(2)可约表示与不可约表示若表示A可通过相似变换形成对角分块的等价表示,则称为可约表示,否则为不可约表示.(对所有的群元素)如D3群在直角坐标系下的表示就是可约表示.群论的任务之一就是要找出点群所有不等价不可约表示的特征标.(2)可约表示与不可约表示(对所有的群元素)如D3群在D3群在直角坐标系下的表示化成了一组二维不可约表示与一组一维不可约表示D3群在直角坐标系下的表示化成了一组二维不可约表示与一组一规则一.

点群中不可约表示的数目等于共轭类的数目