一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点一元二次方程根的判别式知识点一元二次方程根的判别式知识点xxx公司一元二次方程根的判别式知识点文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）判别式的情况根的情况定理与逆定理△＞0△＝0△＜03、一元二次方程根的判别式的多种应用：不解方程，判断一元二次方程根的情况。

例1、判断下列方程根的情况

2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、

已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。

例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0有两个实数根三、

证明方程根的性质。

例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。四、

判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。

例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围

内因式分解。五、

判定二次三项式为完全平方式。

例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。

例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。

六、

利用判别式构造一元二次方程。

例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）

求证：2y=x+z

七、

限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。八、

与几何知识相联系的问题。

例9、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。

例10、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程

x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。

九、

判断其他类方程根的情况。

例12、分式方程无实数根，求m的取值范围。

例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。

十、

解决二次函数的相关问题。

例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。

例15、求证：无论m为何值，二次函数y=x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。

例16、直线y=3x-3与y=x2-x+1有几个交点？

评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ<0时没有交点（或者说当a>0时函数值恒为正，当a<0