弹性力学预备知识12-23课件

第一章数学预备知识§1-1微分方程的一般概念§1-2一阶常微分方程的基本解解法§1-3高阶线性常微分方程解法§1-4变分法的基本概念§1-5矩阵代数的基础知识§1-6函数的级数展开第一章数学预备知识§1-1微分方程的一般概念§11

凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.是联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶,根据组成方程的未知函数个数,微分的性质,幂次等,可分为常微分方程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等一、微分方程的定义及分类§1－1微分方程的一般概念二阶常系数非其次微分方程.一阶非线性常微分方程.n阶常微分方程.偏微分方程.一阶常微分方程常微分方程组凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.2代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.设在区间I上有n阶导数，使得二、微分方程的求解则称为方程的解微分方程的解概念(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解。代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.设3过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。（5）初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题（4）初始条件:用来确定任意常数的条件（3）解的图象:微分方程的积分曲线(族)过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定4解所求特解为解所求特解为5一、可分离变量的微分方程的方程为可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解。上例方程的解为分离变量法§1－2一阶常微分方程的解法形如例如一、可分离变量的微分方程的方程为可分离变量的微分方程.解法为6二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义：二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原71、一阶线性微分方程的标准形式:齐次方程三、一阶线性微分方程

非齐次方程齐次方程的通解为1）线性齐次方程2、一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)1、一阶线性微分方程的标准形式:齐次方程三、一阶线性微分82）线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.常数变易法实质:

未知函数的变量代换.2）线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通9作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解10例:如图所示，平行与y轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解:解此微分方程所求曲线为例:如图所示，平行与y轴的动直线被曲线11一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式§3－3高阶常系数线性微分方程

(齐次)(非齐次)二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上述齐次方程,得从而得到特征值特征方程一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数线性方程12

讨论:两个线性无关的特解齐次方程的通解为特征根为

(a)有两个不相等的实根

(a)有两个相等的实根特征根为一特解为得齐次方程的通解为另一特解设为代入原方程可求得讨论:两个线性无关的特解齐次方程的通解为特征根为(a)有13二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

特征根的情况

通解的表达式特征方程齐次方程二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征14三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项结论:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法。n

次代数方程有

n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的15特征根为故所求通解为特征方程为解：特征方程为故所求通解为例2

解得例1

解：特征根为故所求通解为特征方程为解：特征方程为故所求通解为例216四、二阶常系数非齐次线性微分方程

对应齐次方程通解结构非齐次线性方程设非齐方程特解为代入原方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程

讨论：四、二阶常系数非齐次线性微分方程对应齐次方程通解结构非齐次17综上讨论可设注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）特别地综上讨论可设注意上述结论可推广到n阶常系数非齐特别地18弹性力学预备知识12-23课件19§1－4变分原理泛函的定义自变量是具有一定条件的函数，因变量是普通变量的函数关系定义为泛函。即泛函是函数的函数。记为:以积分形式构筑泛函关系若I[y]是以定义域的泛函，其中是在区间[a，b]上的分段连续的函数集，则I[y]可表示为

一、泛函的基本知识例如：A、B间任一曲线长度为abABcdxyo§1－4变分原理泛函的定义自变量是具有一定条件的函数20泛函一般形式或二、函数的变分

定义

函数y的微小增量被称为函数y(x)的变分力学意义oxyABCD结构构件的虚位移其中AB为梁的挠度曲线CD为该梁发生虚位移后的一段挠度曲线与导数关系导数的变分等于变分的导数泛函一般形式或二、函数的变分定义函数y的微小增量被称为函21三、泛函的变分因而有泛函I[y(x)]的变分可由泛函的变分获得,而的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得,即四、泛函的极值问题－变分问题如同函数取得极值所要满足的条件一样,泛函取到极值的条件为(※)式即为求解极值曲线的微分方程.(※)三、泛函的变分因而有泛函I[y(x)]的变分可由泛函的变分22例abABcdxyo求图中AB曲线为最短时的函数于是并且由极值条件得从而得可见最短为一条直线，其中的C1和C2可由边界条件求得例abABcdxyo求图中AB曲线为最短时的函数于是并且由极231、二阶行列式的概念设有数表a11

称数a11a22－a12a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)副对角线主对角线

定义a12a21a22(＋)(－)一、n阶行列式的定义§1-5矩阵代数的基础知识1、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11a22－a24引进记号：称为对应于数表(3)的三阶行列式2、三阶行列式定义设有数表(3)(+)(+)(+)(－)(－)(－)主对角线副对角线例如：引进记号：称为对应于数表(3)的三阶行列式2、三阶行列式定义25n阶行列式定义

3、n阶行列式的定义D的展开式为:或者n阶行列式定义3、n阶行列式的定义D的展开式为:或者26定理

(克莱姆法则)(1)若系数行列式设线性方程组二、克莱姆法则定理(克莱姆法则)(1)若系数行列式设线性方程组二、克莱27

其中Di(i=1,2,…,n)是用常数项b1,b2…;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：(2)则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：(i=1,2,…,n)其中Di(i=1,2,…,n)是用常数项b1,b28例

解线性方程组解：方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。例解线性方程组解：方程组的系数行列式所以方程组有唯29又：所以：又：所以：30

注：在方程组中，若所有的常数项b1=b2=…=bn

=0，则方程组称为n元齐次线性方程组。(3)显然有零解x1=x2=…=xn

=0

结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D0，则方程组只有零解。一般解

结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式D=0。特解注：在方程组中，若所有的常数项b1=b2=…=31由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表

称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第i行、第j列的元素。1、矩阵的定义三、矩阵知识由m×n个数aij(i=1,2,32注意：有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵(2)两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。---行矩阵---列矩阵(1)只有一行或一列的矩阵称为行矩阵或列矩阵,有时也称为向量,如:注意：有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵(2)两个矩阵A332、矩阵的运算(1)定义:

设矩阵

A=(aij)m×n,B=(bij)m×n则矩阵称为矩阵A与B的和，记作C=A+B1）矩阵的加法

C=(cij)m×n=(aij+bij)m×n(2)性质:设A，B，C，O都是m×n矩阵,则有(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A2、矩阵的运算(1)定义:设矩阵A=(aij342）矩阵的减法(1)负矩阵设A=(aij)m×n,则称(－aij)m×n

为A的负矩阵，简记－A显然A+(－A)=O,－(－A)=A(2)减法：设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,A－B为A－B=A+(－B)=(aij－bij)m×n定义:设是常数，A=(aij)m×n，则矩阵

(aij)m×n

称为数与矩阵A的乘积，计为A,即3）数与矩阵的乘法2）矩阵的减法(1)负矩阵设A=(aij)35设A、B为m×n矩阵，、u为常数(1)(u)A=(uA)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+uA(4)1·A=A，(－1)·A=－A(2)性质（1）定义：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,

则A与B的乘积C其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)C＝AB是m×n矩阵，C=(cij)m×n

4）矩阵的乘法设A、B为m×n矩阵，、u为常数(1)(36例设试证：(1)AB=0；(2)AC=AD证：(1)(2)故有AC＝AD(1)(AB)C=A(BC)(2)A(B+C)=AB+AC(3)(B+C)A=BA+CA(4)(AB)=(A)B=A(B)(其中为常数)(2)性质例设试证：(1)AB=0；(2)375）线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为AX＝B。A称为由线性方程组的系数矩阵。5）线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为AX＝B。38(1)定义:将矩阵Am×n的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的n×m矩阵称为A的转置矩阵，记作AT

或A'。例如：则6）矩阵的转置(1)

(AT)T=A(2)(A+B)

T=AT+

BT

(3)(A

)T＝A

T(4)(AB)T=BT

AT(2)性质(1)定义:将矩阵Am×n的行换成同序数的列，列换393、方阵1）定义(其中：k,l均为正整数)k个行数与列数相同的n×n

矩阵A称为方阵，n称为它的阶数，简记An

。则：记A·A…A=Akk个,称为n阶单位矩阵，简记E显然1.单位矩阵002）几类特殊方阵3、方阵1）定义(其中：k,l均为正整数)k个行数与列数相402.对角矩阵其中aij=0,ij00特别：称为数量矩阵004、分块矩阵定义:如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子块或子矩阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵。例如：2.对角矩阵其中aij=0,ij00特别：称41一、函数的泰勒级数展开形式其中若函数在y0开区间内有（n＋1）阶导，则可以展开为为在级数展开时的误差§1－6函数的级数展开对于多元函数，若A(x,y)点的函数值为f（x，y）则B(x+dx,y)点的函数值为一、函数的泰勒级数展开形式其中若函数在y0开区间内有（n＋1421、以2L为周期的傅里叶级数代入傅里叶级数中二、周期为2L的周期函数的傅里叶级数若周期为2L的周期函数f(x)满足收敛条件,则它的傅里叶级数展开式为其中1、以2L为周期的傅里叶级数代入傅里叶级数中二、周期为2L的43则有则有则有则有44二元函数f（x，y）在区间（0≤x≤a，0≤y≤b）可以展开为三、双三角级数注意：矩形薄板的三角级数解就是利用荷载函数的三角级数展开的方法来实现的其中二元函数f（x，y）在区间（0≤x≤a，0≤y≤b）三、双45解解46弹性力学预备知识12-23课件47

第一章数学预备知识§1-1微分方程的一般概念§1-2一阶常微分方程的基本解解法§1-3高阶线性常微分方程解法§1-4变分法的基本概念§1-5矩阵代数的基础知识§1-6函数的级数展开第一章数学预备知识§1-1微分方程的一般概念§148

凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.是联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶,根据组成方程的未知函数个数,微分的性质,幂次等,可分为常微分方程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等一、微分方程的定义及分类§1－1微分方程的一般概念二阶常系数非其次微分方程.一阶非线性常微分方程.n阶常微分方程.偏微分方程.一阶常微分方程常微分方程组凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.49代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.设在区间I上有n阶导数，使得二、微分方程的求解则称为方程的解微分方程的解概念(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解。代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.设50过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。（5）初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题（4）初始条件:用来确定任意常数的条件（3）解的图象:微分方程的积分曲线(族)过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定51解所求特解为解所求特解为52一、可分离变量的微分方程的方程为可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解。上例方程的解为分离变量法§1－2一阶常微分方程的解法形如例如一、可分离变量的微分方程的方程为可分离变量的微分方程.解法为53二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义：二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原541、一阶线性微分方程的标准形式:齐次方程三、一阶线性微分方程

非齐次方程齐次方程的通解为1）线性齐次方程2、一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)1、一阶线性微分方程的标准形式:齐次方程三、一阶线性微分552）线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.常数变易法实质:

未知函数的变量代换.2）线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通56作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解57例:如图所示，平行与y轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解:解此微分方程所求曲线为例:如图所示，平行与y轴的动直线被曲线58一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式§3－3高阶常系数线性微分方程

(齐次)(非齐次)二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上述齐次方程,得从而得到特征值特征方程一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数线性方程59

讨论:两个线性无关的特解齐次方程的通解为特征根为

(a)有两个不相等的实根

(a)有两个相等的实根特征根为一特解为得齐次方程的通解为另一特解设为代入原方程可求得讨论:两个线性无关的特解齐次方程的通解为特征根为(a)有60二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

特征根的情况

通解的表达式特征方程齐次方程二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征61三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项结论:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法。n

次代数方程有

n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的62特征根为故所求通解为特征方程为解：特征方程为故所求通解为例2

解得例1

解：特征根为故所求通解为特征方程为解：特征方程为故所求通解为例263四、二阶常系数非齐次线性微分方程

对应齐次方程通解结构非齐次线性方程设非齐方程特解为代入原方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程

讨论：四、二阶常系数非齐次线性微分方程对应齐次方程通解结构非齐次64综上讨论可设注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）特别地综上讨论可设注意上述结论可推广到n阶常系数非齐特别地65弹性力学预备知识12-23课件66§1－4变分原理泛函的定义自变量是具有一定条件的函数，因变量是普通变量的函数关系定义为泛函。即泛函是函数的函数。记为:以积分形式构筑泛函关系若I[y]是以定义域的泛函，其中是在区间[a，b]上的分段连续的函数集，则I[y]可表示为

一、泛函的基本知识例如：A、B间任一曲线长度为abABcdxyo§1－4变分原理泛函的定义自变量是具有一定条件的函数67泛函一般形式或二、函数的变分

定义

函数y的微小增量被称为函数y(x)的变分力学意义oxyABCD结构构件的虚位移其中AB为梁的挠度曲线CD为该梁发生虚位移后的一段挠度曲线与导数关系导数的变分等于变分的导数泛函一般形式或二、函数的变分定义函数y的微小增量被称为函68三、泛函的变分因而有泛函I[y(x)]的变分可由泛函的变分获得,而的变分可由由泰勒级数展开法则推导获得,即四、泛函的极值问题－变分问题如同函数取得极值所要满足的条件一样,泛函取到极值的条件为(※)式即为求解极值曲线的微分方程.(※)三、泛函的变分因而有泛函I[y(x)]的变分可由泛函的变分69例abABcdxyo求图中AB曲线为最短时的函数于是并且由极值条件得从而得可见最短为一条直线，其中的C1和C2可由边界条件求得例abABcdxyo求图中AB曲线为最短时的函数于是并且由极701、二阶行列式的概念设有数表a11

称数a11a22－a12a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：(1)副对角线主对角线

定义a12a21a22(＋)(－)一、n阶行列式的定义§1-5矩阵代数的基础知识1、二阶行列式的概念设有数表a11称数a11a22－a71引进记号：称为对应于数表(3)的三阶行列式2、三阶行列式定义设有数表(3)(+)(+)(+)(－)(－)(－)主对角线副对角线例如：引进记号：称为对应于数表(3)的三阶行列式2、三阶行列式定义72n阶行列式定义

3、n阶行列式的定义D的展开式为:或者n阶行列式定义3、n阶行列式的定义D的展开式为:或者73定理

(克莱姆法则)(1)若系数行列式设线性方程组二、克莱姆法则定理(克莱姆法则)(1)若系数行列式设线性方程组二、克莱74

其中Di(i=1,2,…,n)是用常数项b1,b2…;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：(2)则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：(i=1,2,…,n)其中Di(i=1,2,…,n)是用常数项b1,b75例

解线性方程组解：方程组的系数行列式所以方程组有唯一解。例解线性方程组解：方程组的系数行列式所以方程组有唯76又：所以：又：所以：77

注：在方程组中，若所有的常数项b1=b2=…=bn

=0，则方程组称为n元齐次线性方程组。(3)显然有零解x1=x2=…=xn

=0

结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D0，则方程组只有零解。一般解

结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式D=0。特解注：在方程组中，若所有的常数项b1=b2=…=78由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表

称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而aij表示矩阵第i行、第j列的元素。1、矩阵的定义三、矩阵知识由m×n个数aij(i=1,2,79注意：有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵(2)两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称A、B是同型的。---行矩阵---列矩阵(1)只有一行或一列的矩阵称为行矩阵或列矩阵,有时也称为向量,如:注意：有时也可以通过行矩阵的转置表示列矩阵(2)两个矩阵A802、矩阵的运算(1)定义:

设矩阵

A=(aij)m×n,B=(bij)m×n则矩阵称为矩阵A与B的和，记作C=A+B1）矩阵的加法

C=(cij)m×n=(aij+bij)m×n(2)性质:设A，B，C，O都是m×n矩阵,则有(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A2、矩阵的运算(1)定义:设矩阵A=(aij812）矩阵的减法(1)负矩阵设A=(aij)m×n,则称(－aij)m×n

为A的负矩阵，简记－A显然A+(－A)=O,－(－A)=A(2)减法：设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,A－B为A－B=A+(－B)=(aij－bij)m×n定义:设是常数，A=(aij)m×n，则矩阵

(aij)m×n

称为数与矩阵A的乘积，计为A,即3）数与矩阵的乘法2）矩阵的减法(1)负矩阵设A=(aij)82设A、B为m×n矩阵，、u为常数(1)(u)A=(uA)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+uA(4)1·A=A，(－1)·A=－A(2)性质（1）定义：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,

则A与B的乘积C其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)C＝AB是m×n矩阵，C=(cij)m×n

4）矩阵的乘法设A、B为m×n矩阵，、u为常数(1)(83例设试证：(1)AB=0；(2)AC=AD证：(1)