正余弦定理复习课件

正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理11．正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理内容

a2＝

，b2＝

，c2＝

．b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC1．正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理内容22RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶si32.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下4△ABC中的常用结论①A+B+C=②A、B、C成等差数列的充要条件是B＝60°；③S△=④a>b⇔A>B⇔sinA>sinB；【知识拓展】△ABC中的常用结论【知识拓展】5⑤在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB>0.简证如下：C有解⇔(A＋B)有解⇔0<A＋B<π⇔0<A<π－B<π⇔cosA>cos(π－B)⇔cosA>－cosB⇔cosA＋cosB>0.因此判断C是否有解，只需考虑cosA＋cosB的符号即可．(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，cos＝sin.(3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边．⑤在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有61．(苏州市高三教学调研考试)在△ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2＝(b＋c)2－bc，则A的大小等于________．解析：根据余弦定理得cosA＝ ，∴A＝答案：2．(2010·东台中学高三诊断)若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于________．答案：60°1．(苏州市高三教学调研考试)在△ABC中，A，B，C对应的73．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝2， 则此三角形有________个解． 解析：∵A＝60°，c＝4，a＝2， ∴由正弦定理得：，即 ∴sinC＝1.又∵0°<C<180°，∴C＝90°，B＝30°. 因此三角形只有一个解． 答案：一3．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝28在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________．解析：由已知acosA＝bcosB得，又由正弦定理，得所以，整理得：sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.因为A、B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形4．在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC的形95．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则该三角形的形状是________．解析：由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，由sinA，sinB，sinC成等比数列得sin2B＝sinAsinC，所以由正弦定理得b2＝ac.⇒a＝c，所以a＝b＝c，所以三角形是等边三角形．答案：等边三角形5．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，a，b，c10【例1】已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝ ，求最大角． 思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大， 然后运用余弦定理求解． 解：由正弦定理，知 ＝2R， ∴a∶b∶c＝ 不妨设a＝＋1，b＝－1，c＝，由在三角形中大边对大角知， ∠C最大．由余弦定理，知cosC＝ ，∴∠C＝120°.【例1】已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝11变式1：已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶＋1)， 求△ABC中的各角的大小． 解：设a＝2k，b＝

k，c＝(＋1)k(k>0)， 利用余弦定理，有cosA＝ ∴A＝45°.同理可得cosB＝，B＝60°. ∴C＝180°－(A＋B)＝75°.变式1：已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶12这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断．【例2】在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状． 思路点拨：先进行对数的运算，再将边化角即可．这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、13解：由lga－lgc＝lgsinB＝lg，得sinB＝，又B为锐角，∴B＝45°.同时，∴.∴sinC＝2sinA＝2sin(135°－C)，即sinC＝sinC＋cosC，∴cosC＝0，所以C＝90°.故此三角形为等腰直角三角形．解：由lga－lgc＝lgsinB＝lg14变式2：在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·cosB，那么△ABC的形状是________． 解析：由sinC＝2sin(B＋C)cosB，得sinC＝2sinAcosB. 再结合正、余弦定理得： 整理得a2＝b2，所以△ABC一定是等腰三角形．也可由sinC＝2sinAcosB， 可得sin(A＋B)＝2sinAcosB，sin(A－B)＝0，从而A＝B. 答案：等腰三角形变式2：在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·c151．这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化．2．三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题．1．这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也16【例3】在△ABC中，证明： 思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边． 证明：左边＝ ＝ ＝右边．故原命题得证．【例4】 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长．已知a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求A的大小及的值． 思路点拨：把已知条件a2－c2＝ac－bc变形，构造余弦定理结构求出∠A的值，然后再利用正弦定理变形求出的值．【例3】在△ABC中，证明：【例4】 在△ABC中，a、17解：(1)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝，∴∠A＝60°.(2)在△ABC中，由正弦定理sinB＝，∵b2＝ac，∠A＝60°，∴

解：(1)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又∵a2－c18变式3：(2010·北京海淀区高考模拟题)在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边．如果(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，且A≠B， 求证：△ABC是直角三角形．证明：由已知得：a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]．利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.由正弦定理得asinB＝bsinA，∴acosA＝bcosB.又由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B.∵A≠B，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝.∴△ABC是直角三角形．变式3：(2010·北京海淀区高考模拟题)在△ABC中，a、19【规律方法总结】1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内 角与应用向量的模求三角形边长等．3．在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重 挖掘隐含条件．4．注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用．

【规律方法总结】1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种20【高考真题】【例5】 (2009·天津卷)在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA. (1)求AB的值；(2)求sin的值． 分析：根据正弦定理求AB的值，根据余弦定理求出∠A的余弦，根据倍角公式求出2A的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式 求sin的值．【高考真题】【例5】 (2009·天津卷)在△ABC中，BC21解：由，得sinA＝∵a>b，∴A>B＝45°，∴A为锐角或钝角，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－60°－45°＝75°，c＝当A＝120°时，C＝180°－120°－45°＝15°，c＝解：由，222．已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断△ABC的形状．分析：要判断三角形的形状，就要根据条件得出三角形中的边的关系或角的关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断．解：设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系，得x1＋x2＝bcosA，

x1x2＝acosB，由题意，得bcosA＝acosB，由正弦定理，得2RsinBcosA＝2RsinAcosB，即sinBcosA－sinAcosB＝0，

即sin(A－B)＝0，在△ABC中，∵A，B为其内角，

∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，

∴△ABC为等腰三角形．2．已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根23

正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理241．正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理内容

a2＝

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．b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC1．正弦定理、余弦定理及相关知识定理正弦定理余弦定理内容252RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶si262.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下27△ABC中的常用结论①A+B+C=②A、B、C成等差数列的充要条件是B＝60°；③S△=④a>b⇔A>B⇔sinA>sinB；【知识拓展】△ABC中的常用结论【知识拓展】28⑤在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB>0.简证如下：C有解⇔(A＋B)有解⇔0<A＋B<π⇔0<A<π－B<π⇔cosA>cos(π－B)⇔cosA>－cosB⇔cosA＋cosB>0.因此判断C是否有解，只需考虑cosA＋cosB的符号即可．(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，cos＝sin.(3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边．⑤在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有291．(苏州市高三教学调研考试)在△ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2＝(b＋c)2－bc，则A的大小等于________．解析：根据余弦定理得cosA＝ ，∴A＝答案：2．(2010·东台中学高三诊断)若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于________．答案：60°1．(苏州市高三教学调研考试)在△ABC中，A，B，C对应的303．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝2， 则此三角形有________个解． 解析：∵A＝60°，c＝4，a＝2， ∴由正弦定理得：，即 ∴sinC＝1.又∵0°<C<180°，∴C＝90°，B＝30°. 因此三角形只有一个解． 答案：一3．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝231在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC的形状为________．解析：由已知acosA＝bcosB得，又由正弦定理，得所以，整理得：sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.因为A、B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形4．在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC的形325．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则该三角形的形状是________．解析：由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，由sinA，sinB，sinC成等比数列得sin2B＝sinAsinC，所以由正弦定理得b2＝ac.⇒a＝c，所以a＝b＝c，所以三角形是等边三角形．答案：等边三角形5．(江苏省高考命题研究专家原创卷)在△ABC中，a，b，c33【例1】已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝ ，求最大角． 思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大， 然后运用余弦定理求解． 解：由正弦定理，知 ＝2R， ∴a∶b∶c＝ 不妨设a＝＋1，b＝－1，c＝，由在三角形中大边对大角知， ∠C最大．由余弦定理，知cosC＝ ，∴∠C＝120°.【例1】已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝34变式1：已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶＋1)， 求△ABC中的各角的大小． 解：设a＝2k，b＝

k，c＝(＋1)k(k>0)， 利用余弦定理，有cosA＝ ∴A＝45°.同理可得cosB＝，B＝60°. ∴C＝180°－(A＋B)＝75°.变式1：已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶35这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断．【例2】在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状． 思路点拨：先进行对数的运算，再将边化角即可．这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、36解：由lga－lgc＝lgsinB＝lg，得sinB＝，又B为锐角，∴B＝45°.同时，∴.∴sinC＝2sinA＝2sin(135°－C)，即sinC＝sinC＋cosC，∴cosC＝0，所以C＝90°.故此三角形为等腰直角三角形．解：由lga－lgc＝lgsinB＝lg37变式2：在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·cosB，那么△ABC的形状是________． 解析：由sinC＝2sin(B＋C)cosB，得sinC＝2sinAcosB. 再结合正、余弦定理得： 整理得a2＝b2，所以△ABC一定是等腰三角形．也可由sinC＝2sinAcosB， 可得sin(A＋B)＝2sinAcosB，sin(A－B)＝0，从而A＝B. 答案：等腰三角形变式2：在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)·c381．这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化．2．三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题．1．这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也39【例3】在△ABC中，证明： 思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边． 证明：左边＝ ＝ ＝右边．故原命题得证．【例4】 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长．已知a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求A的大小及的值． 思路点拨：把已知条件a2－c2＝ac－bc变形，构造余弦定理结构求出∠A的值，然后再利用正弦定理变形求出的值．【例3】在△ABC中，证明：【例4】 在△ABC中，a、40解：(1)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝，∴∠A＝60°.(2)在△ABC中，由正弦定理sinB＝，∵b2＝ac，∠A＝60°，∴

解：(1)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又∵a2－c41变式3：(2010·北京海淀区高考模拟题)在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边．如果(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，且A≠B， 求证：△ABC是直角三角形．证明：由已知得：a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]．利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.由正弦定理得asinB＝bsinA，∴acosA＝bcosB.又由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B.∵A≠B，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝.∴△ABC是直角三角形．变式3：(2010·北京海淀区高考模拟题)在△ABC中，a、42【