电动力学课件：2-6-电多极矩法

§2.6电多极矩二、电多极矩一、电势的多极展开三、电荷体系在外电场中的能量(相互作用能)主要内容§2.6电多极矩二、电多极矩一、电势的多极展开三、电荷体系1一、电势的多极展开小区域电荷分布若已知，原则上可通过求电势。一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件。PO一、电势的多极展开小区域电荷分布若已知，原则上可通过求电2(1)一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）(2)三元函数的麦克劳林展开的麦克劳林展开2.(1)一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）(2)三3(3)将在点展开(3)将在点展开4其中小区域电荷分布产生的电势其中小区域电荷分布产生的电势5电四极矩张量电偶极矩矢量电四极矩张量电偶极矩矢量6二、电多极矩展开式的物理意义等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小电荷体系在电荷分布区外产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。等效电偶极矩产生的电势。最简单的体系为两个点电荷产生的电势。二、电多极矩展开式的物理意义等效于坐标原点点电荷产7等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点电荷产生的电势等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简单的体系为坐标82.电四极矩张量重新定义：

*证明：它不改变，只有5个独立分量

有9个分量电四极矩有6个分量,5个独立2.电四极矩张量重新定义：*证明：它不改变9电四极矩最简单体系举例：四个点电荷在一直线上按（+，-，-，+）排列，可看作一对正负电偶极子。体系总电荷、总电偶极矩为零依定义其它分量均为零zORr+r-Px+--+a-ab-b电四极矩最简单体系举例：四个点电荷在一直线上按（+，-10它与直接计算结果完全一致（）：

它与直接计算结果完全一致（）：11x++--yz四个点电荷在x轴四个点电荷在

y轴x-y平面x-z

平面y-z平面电四极矩其它例子x++--yz四个点电荷在x轴四个点电荷在y轴x-y12例题：带电荷为Q的椭圆，半长轴为b,半短轴为a，求它的电四极矩和远处的电势。电多极矩例题：带电荷为Q的椭圆，电多极矩13上图椭球方程为：椭球电荷密度为：根据电四极矩公式：电多极矩上图椭球方程为：椭球电荷密度为：根据电四极矩公式：电多14近似电四极矩项的远处电势为：由于电偶极矩为零。分别可得：电多极矩近似电四极矩项的远处电势为：由于电偶极矩为零。分别可得：电15三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）1．设外场电势为，场中电荷分布为，体系具有的总能量为：

可证明：zyx因此：+称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）1．设外场电势为162．带电体系为小区域时相互作用能的展开将对电荷所在小区域展开为麦克劳林级数2．带电体系为小区域时相互作用能的展开将173．相互作用能的意义：体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；体系等效电偶极子在外场中的能量；体系等效电四极子在外场中的能量。若外场为均匀场4.带电体系在外场中受到的力和力矩设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场中受到的力（假定Q不变）以下仅讨论和3．相互作用能的意义：体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；18力：相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中受到的作用力若为均匀场电偶极子只在非均匀场中受力。力：相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中受到的作用力若为19假定在外场作用下不变，设为与之间的夹角，则

可见即使均匀场，但力矩：假定在外场作用下不变，设为与20§2.6电多极矩二、电多极矩一、电势的多极展开三、电荷体系在外电场中的能量(相互作用能)主要内容§2.6电多极矩二、电多极矩一、电势的多极展开三、电荷体系21一、电势的多极展开小区域电荷分布若已知，原则上可通过求电势。一般若体电荷分布不均匀或区域不规则，积分十分困难（用计算机可数值求解）。但是在许多实际情况中，电荷分布区域的线度远小于该区域到场点的距离，可以近似处理，解析求解。条件。PO一、电势的多极展开小区域电荷分布若已知，原则上可通过求电22(1)一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）(2)三元函数的麦克劳林展开的麦克劳林展开2.(1)一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）(2)三23(3)将在点展开(3)将在点展开24其中小区域电荷分布产生的电势其中小区域电荷分布产生的电势25电四极矩张量电偶极矩矢量电四极矩张量电偶极矩矢量26二、电多极矩展开式的物理意义等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小电荷体系在电荷分布区外产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中于原点处产生的电势。等效电偶极矩产生的电势。最简单的体系为两个点电荷产生的电势。二、电多极矩展开式的物理意义等效于坐标原点点电荷产27等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点电荷产生的电势等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简单的体系为坐标282.电四极矩张量重新定义：

*证明：它不改变，只有5个独立分量

有9个分量电四极矩有6个分量,5个独立2.电四极矩张量重新定义：*证明：它不改变29电四极矩最简单体系举例：四个点电荷在一直线上按（+，-，-，+）排列，可看作一对正负电偶极子。体系总电荷、总电偶极矩为零依定义其它分量均为零zORr+r-Px+--+a-ab-b电四极矩最简单体系举例：四个点电荷在一直线上按（+，-30它与直接计算结果完全一致（）：

它与直接计算结果完全一致（）：31x++--yz四个点电荷在x轴四个点电荷在

y轴x-y平面x-z

平面y-z平面电四极矩其它例子x++--yz四个点电荷在x轴四个点电荷在y轴x-y32例题：带电荷为Q的椭圆，半长轴为b,半短轴为a，求它的电四极矩和远处的电势。电多极矩例题：带电荷为Q的椭圆，电多极矩33上图椭球方程为：椭球电荷密度为：根据电四极矩公式：电多极矩上图椭球方程为：椭球电荷密度为：根据电四极矩公式：电多34近似电四极矩项的远处电势为：由于电偶极矩为零。分别可得：电多极矩近似电四极矩项的远处电势为：由于电偶极矩为零。分别可得：电35三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）1．设外场电势为，场中电荷分布为，体系具有的总能量为：

可证明：zyx因此：+称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）1．设外场电势为362．带电体系为小区域时相互作用能的展开将对电荷所在小区域展开为麦克劳林级数2．带电体系为小区域时相互作用能的展开将373．相互作用能的意义：体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；体系等效电偶极子在外场中的能量；体系等效电四极子在外场中的能量。若外场为均匀场4.带电体系在外场中受到的力和力矩设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场中受到的力（假定Q不变）以下仅讨论和3．相互作用能的意义：体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；3