2022-2023学年北师大版必修第二册 第1章 1　周期变化 课件（21张）

第一章三角函数§1周期变化自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析

自主预习·新知导学一、周期现象【问题思考】1.“钟表上的时针每经过12小时运行一周,分针每经过1小时运行一周,秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象具有怎样的特征?提示:周而复始,重复出现.2.想一想:生活中存在的周期现象的例子有哪些?提示:如“24小时为1天”“7天为1星期”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替,等等.二、从数学的角度研究周期现象【问题思考】下面是小明画出的四个函数的图象,其中不具有周期性的是(

)解析:A,B,D都具有周期性,C不具有周期性,C中,x∈[-2,2]时的图象在前后都没有重复出现.答案:C三、周期【问题思考】1.对于函数f(x),如果存在x0满足f(x0+3)=f(x0),那么3是f(x)的周期吗?提示:不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时,都有x+3也在定义域内,且f(x+3)=f(x),才可以说3是f(x)的周期.2.所有的函数都具有周期性吗?提示:不一定,只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.3.一般地,对于函数f(x),x∈D,如果存在一个

非零常数T,使得对任意的x∈D,都有

x+T∈D,且满足

f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.4.已知函数y=f(x)是周期函数,10是它的一个周期,且f(2)=,则f(22)=

.

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究一

函数周期的判断【例1】

已知函数y=f(x)满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,判断函数y=f(x)是不是周期函数,若是周期函数,则周期是多少?分析:根据偶函数、周期函数的定义,得出函数y=f(x)是周期函数,进而求周期.解:因为函数y=f(-x)为偶函数,所以f(-x)=f(x).由函数y=f(x+2)是偶函数知f(x+2)=f(-x+2)=f[-(x-2)]=f(x-2),令x-2=t,则f(t+4)=f(t),故f(x+4)=f(x),则函数y=f(x)是周期函数,周期为4.反思感悟

判断函数是不是周期函数,常用周期的定义,此外记住以下两个结论有助于周期性的判断.已知f(x)的定义域为R.(1)若T(T≠0)是f(x)的周期,则-T也是f(x)的周期;(2)若T(T≠0)是f(x)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期.探究二

周期的应用【例2】

已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),当-2≤x<0时,f(x)=(x+1)2;当0≤x<1时,f(x)=-2x+1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2021)+f(2022)=

.

解析:根据题意,函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),所以函数f(x)是周期为3的周期函数.又因为当-2≤x<0时,f(x)=(x+1)2,所以f(-2)=1,f(-1)=0.当0≤x<1时,f(x)=-2x+1,则f(0)=1.所以f(1)=f(-2)=1,f(2)=f(-1)=0,f(3)=f(0)=1,所以f(1)+f(2)+f(3)=1+0+1=2,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

021)+f(2

022)=674×[f(1)+f(2)+f(3)]=674×2=1

348.答案:1348已知f(x)为定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(3-x),则f(15)=

.

解析:∵f(x)=f(3-x),且f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(x-3),则f(x-6)=f[(x-3)-3]=-f(x-3)=f(x),即f(6+x)=f(x),∴f(x)是以6为周期的周期函数.由题意,得f(3)=f(0)=0,∴f(15)=f(12+3)=f(3)=0.答案:0反思感悟

对于求值问题,当自变量绝对值较大时,一般要结合函数的周期性求解,解题的关键就是利用题中定义推导出函数的周期,根据已知和周期性求值.易

错

辨

析对周期定义理解不透致误【典例】

已知奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+3)为偶函数,则函数f(x)的周期是

.

错解:由题意,函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又由f(x+3)为偶函数,得f(x+3)=f(-x+3),故函数f(x)的周期是6.答案:6以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:对周期的定义理解不透彻致误.由f(x+3)=f(-x+3)不能判断函数f(x)是周期函数.正解:由题意,函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又由f(x+3)为偶函数,得f(x+3)=f(-x+3),用x