高等数学课件1-第8章-多元函数

返回多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性0（1）邻域设P0

(

x0

,

y0

)是xoy

平面上的一个点，

是某一正数，与点P0

(

x0

,

y0

)距离小于

的点P(

x,

y)的全体，称为点P0

的

邻域，记为U

(

P0

,

)

，U(P0

,

)

P

|

PP0

|

P200y

)

.(

x

x

)2

(

y

(

x,

y)

|

一、多元函数的概念（2）区域EP内点：设

E

是平面上的一个点集，P

是平面上的一个点．如果存在点P

的某一邻域U

(

P

)

E

，则称

P

为

E

的内点.

E

的内点属于

E

.开集：如果点集E

的点都是内点则称E

为开集.1例如，E

{(

x,

y)1

x2

y2

4}即为开集．EPE

的边界点的全体称为E

的边界边界点：如果点P

的任一个邻域内既有属于E

的点也有不属于E

的点（点P

本身可以属于E

，也可以不属于E

），则称P

为E

的边界点．连通：设D

是开集．如果对于D

内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D

，则称开集D

是连通的．连通的开集称为区域或开区域．例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.xyo{(x,

y)

|

x

y

0}开区域．xo对于点集

E

如果存在正数

K，使一切点

P

E

与某一定点

A

间的距离

AP

不超过

K即

AP

K对一切

P

E成立，则称

E为有界点集，否则称为

点集．

例如，y{(

x,

y)

|

1

x2

y2

4}有界闭区域；（3）聚点设E

是平面上的一个点集，P

是平面上的一个点，如果点P

的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P

为E

的聚点.说明：内点一定是聚点；边界点可能是聚点；{(

x,

y)

|

0

x2

y2

1}(0,0)既是边界点也是聚点．例点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,

{(

x,

y)

|

0

x2

y2

1}(0,0)是聚点但不属于集合．例如,

{(

x,

y)

|

x2

y2

1}边界上的点都是聚点也都属于集合．（4）n说明：n的记号为Rn

;n中两点间距离公式设两点为P(x1

,x2

,,xn

),Q(

y1

,

y2

,,

yn

),|

PQ

|

(

y

x

)2

(

y

x

)2

(

y

x

)2

.1

1

2

2

n

n特殊地当n

1,2,3

时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．n

中邻域、区域等概念n,

P

R0

0

U(P

,

)

P

|

PP

|内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设D

是平面上的一个点集，如果对于每个点

P

(x,y)

D

，变量z

按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z

是变量x,y

的二元函数，记为

z

f

(x,y)（或记为z

f

(P

)）.类似地可定义三元及三元以上函数．当n

2时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量因变量等概念.（5）二元函数的定义例1求f

(x,y)的定义域．x

y2

y2

)arcsin(

3

x2解

x

y2

0

3

x2

y2

1

x

y22

x2

y2

4

所求定义域为

D

{(x,y)|

2

x2

y2

4,

x

y2

}.（6）二元函数z

f

(

x,

y)的图形设函数z

f

(

x,

y)的定义域为D

，对于任意取定的P(

x,

y)

D

，对应的函数值为z

f

(x,y)，这样，以x

为横坐标、y

为纵坐标、z

为竖坐标在空间就确定一点M

(x,y,z)，当(

x

,

y

)取遍D

上一切点时，得一个空间点集{(

x,

y,

z)

|

z

f

(

x,

y),

(

x,

y)

D}，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzo例如,

z

sin

xy例如,

x2图形如右图.

y2

z2

a2左图球面.D

{(

x,

y)

x2

y2

a2

}.a2a2单值分支:

z

x2

y2z

x2

y2

.定义1

设函数z

f

(x,y)的定义域为

D,P0

(x0

,y0

)是其聚点，如果对于任意给定的正数

，总存在正数

，使得对于适合不等式0

0

0(

x

x

)2

(

y

y

)2

0

|

PP

|的一切点，都有|

f

(

x,

y)

A

|

成立，则称

A

为函数z

f

(

x,

y)当x

x0

，

y

y0

时的极限，记为lim

f

(

x,

y)

Ax

x0y

y0（或

f

(

x,

y)

A(

0)这里

|

PP0

|）.二、多元函数的极限说明：定义中P

P0

的方式是任意的；二元函数的极限也叫二重极限

lim

f

(

x,

y);x

x0y

y0二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2

求证lim(x2

y2

)sin证

01x2

y2x0y0

01x2

y2(

x2

y2

)sin1x2

y2

x2

y2

sin

x2

y2

0,

,当

0

(

x

0)2

(

y

0)2

时，

0

1x2

y2(

x2

y2

)sin原结论成立．例3

求极限lim.sin(

x2

y)x2

y2x0y0解x2

y2sin(

x2

y)limx0y02

,22sin(

x2

y)

x2

yx

y

x

y

limx0y0x

ysin(

x2

y)其中limx0y02usin

ulimu0

1,x2x2

y

y21

x

0,2x0

0.sin(

x2

y)

lim2x

y2x0y0u

x2

y22x

y

2

x

y

0不存在．证

取26例4

证明limx3

y

yy0x0

xy

kx3

,26limx3

y

yy0x0

xx3

kx3

limx0ykx32

,x6

k

2

x6

1

kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．观察z

2

不存在.6x3

ylim

yy0x0

x62

图形,x3

yx

y令P(x,y)沿y

kx

趋向于P0

(x0

,y0

)，若极限值与k

有关，则可断言极限不存在；找两种不同趋近方式，使lim

f

(

x,

y)

存在，x

x0y

y0但两者不相等，此时也可断言f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)处极限不存在．确定极限不存在的方法：定义

2

设n

元函数

f

(

P

)

的定义域为点集D,

P0

是其聚点，如果对于任意给定的正数总

存

在

正

数

，

使

得

对

于

适

合

不

等

式0

|

PP0

|

P

D的

一

切

点 ，

都

有|

f

(P

)

A

|

成立，则称A为n

元函数f

(P

)当P

P0

时的极限，记为lim

f

(

P

)

A.P

P0利用点函数的形式有n元函数的极限定义3

设n

元函数

f

(

P

)

的定义域为点集D,

P0是其聚点且P0

D

，如果lim

f

(

P

)

f

(

P0

)P

P0则称n元函数f

(P

)在点P0

处连续.设P0

是函数f

(P

)的定义域的聚点，如果

f

(P

)在点P0

处不连续，则称P0

是函数f

(P

)的间断点.三、多元函数的连续性例5函数0,

x3

y3(

x,

y)

(0,0), (

x,

y)

(0,0)f

(

x,

y)

2

2x

y在(0,0)处的连续性．解取x

cos

,y

f

(

x,

y)

f

(0,0)

(sin3

cos3

)

2f

(

x,

y)

f

(lim

f

(

x,

y)

f

(0,0),(

x

,

y

)(0,0)故函数在(0,0)处连续.2

0,

,当

0

x2

y2

时例6

函数0,x2

y2

0,

x2

y2

0f

(

x,

y)

22x

yxy在(0,0)的连续性．解

取y

kxxyx2

y2limx0y02

2

2kx2

k

x

limykxx0

x21

kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．有界闭区域上连续函数的性质最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例７求

limx0y0xyxy

1

1

.xy

1

1)xy

1

1y0x0

xy(解原式

lim1xy

1

1

limx0y02

1

.P

P0一般地，求

lim

f

(

P

)

时，如果

f

(

P

)

是初等函P

P0数，且

P0

是

f

(

P

)

的定义域的内点，则

f

(

P

)

在点

P0

处连续，于是

lim

f

(

P

)

f

(

P0

).多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念有界闭区域上连续函数的性质四、小结若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0

,y0

)时，函数f

(x,y)都趋向于A，能否断定lim

f

(

x,

y)

A？(

x

,

y

)(

x0

,

y0

)思考题思考题解答例不能.x3

y2f

(

x,

y)

,(

x2

y4

)2(

x,

y)

(0,0)取y

kx,x3

k

2

x2(

x2

k

4

x4

)2f

(

x,

kx)

x0

0但是lim

f

(x,y)不存在.(

x

,

y

)(

0,0)2原因为若取x

y

,2(

y4

y4

)y6

y22f

(

y

,

y)

.4

1练习题一、填空题:y1、若f

(x,y)

x

2

y

2

xy

tan

x

,则f

(tx,ty)=t

2

f

(.x,y)2、若f

(x,y)

y

2x

2,则

f

(2,3)

;xf

(1,

y

)

.(y

0),则f

(x)

y

2x

2y3、若

f

( )x.4、若f

(x

y,

y

2

,则f

(x,y)yxy)

x

2.函数z

ln(1

x

2

y

2

)4

x

y

2的定义域是

.12

132

xyf

(

x,y)x1

x

21

yx

2

(1

y){(

x,

y)

:

0

x

2

y

2

1,4x

y

2

0}6、函数z

x

y

的定义域是{(x,y):x

0,y.

0,y

x

2

}7、函数z

arcsin

y

的定义域是

.8、函数z

y

2

2

xx

2

xy

2二