人教版数学必修2知识点

立体几何初步1.柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是和底面全等的多边形。（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面和底面相似，其相似比等于顶点到截面距离和高的比的平方。（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线和轴平行；③轴和底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。2.空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3.空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来和x轴平行的线段仍然和x平行且长度不变；②原来和y轴平行的线段仍然和y平行，长度为原来的一半。4.柱体、锥体、台体的表面积和体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：；第二章直线和平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面含义：平面是无限延展的2.三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈LB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2空间中直线和直线之间的位置关系1.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.注意点：①a'和b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，和O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直和异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线和平面、平面和平面之间的位置关系1.直线和平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点注意：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示aαa∩αa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线和平面平行的判定1.直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线和此平面内的一条直线平行，则该直线和此平面平行。(线线平行，则线面平行)符号表示：aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面和平面平行的判定1.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2.判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线和平面、平面和平面平行的性质1.直线和平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线和该直线平行。(线面平行,则线线平行)符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面和平面平行得出直线和直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线和平面垂直的判定1.定义：如果直线L和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L和平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线和平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。PaL2.直线和平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线和平面垂直”和“直线和直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面和平面垂直的判定1.二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形AlβBα2.二面角的记法：二面角αβ或αβ3.两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线和平面1.直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2.两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直。第三章直线和方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向和直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即。斜率反映直线和轴的倾斜程度。当直线l和x轴平行或重合时,α=0°,k=0°=0;当直线l和x轴垂直时,α=90°,k不存在.当时，；当时，；当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：（）注意:(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k和P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，0，直线的方程是1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是1。②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点，④截矩式：其中直线和轴交于点,和轴交于点,即和轴、轴的截距分别为⑤一般式：（A，B不全为0）注意：①各式的适用范围②特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（6）两直线平行和垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行和垂直时，要注意斜率的存在和否。（7）两条直线的交点相交，交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解和重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则和的距离为第四章圆和方程1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2.圆的方程：（1）标准方程：，圆心，半径为r；点和圆的位置关系：当>，点在圆外当=，点在圆上当<，点在圆内（2）一般方程：当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3.直线和圆的位置关系：和圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；（2）过圆外一点的切线方程：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆()2+()22，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0)()+(y0)()=r24.圆和圆