高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用

2.3等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章数列考点一考点二N0.1课堂强化

N0.2课下检测考点三2.3第二课时课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲返回返回高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[读教材·填要点]1．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值；当a1<0，d>0，Sn有最小值．[读教材·填要点]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[小问题·大思维]1．在等差数列{an}中，若a1>0，d>0或a1<0，d<0时，Sn能否取得最值？提示：当a1>0，d>0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a1<0，d<0时，Sn的最大值为a1，无最小值．[小问题·大思维]2．若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值时Sn取得最小值？提示：∵an＝2n－37，an＋1－an＝2>0，∴{an}为递增数列．由an＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18<0，a19>0，∴S18最小，即当n＝18时，Sn取得最小值．2．若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值3．等差数列前n项和Sn与函数有哪些关系？提示：对于形如Sn＝An2＋Bn的数列一定为等差数列，且公差为2A，记住这个结论，如果已知数列的前n项和可以直接写出公差．3．等差数列前n项和Sn与函数有哪些关系？(1)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a1＝0，d＝0)；(2)当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数(此时，a1≠0，d＝0)；(3)当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．(4)若{an}是等差数列且d≠0，则Sn是关于n的不含常数项的二次函数．(1)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[研一题][例1]

在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．[研一题]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用将“a1＝20”改为“a1<0”其它条件不变，则n为何值时，Sn最小？解：∵S10＝S15，∴a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，即a13＝0.又∵a1<0，∴d>0，∴当n＝12或13时，Sn取最小值．将“a1＝20”改为“a1<0”其它条件不变，则n[悟一法]在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．[悟一法][通一类]1．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．[通一类]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用法三：先求出d＝－2(同法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－2＜0，a1＝25＞0，∴a13＞0，a14＜0.故n＝13时，Sn有最大值169.法三：先求出d＝－2(同法一)，[研一题][例2]

数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.(1)求证：{an}是等差数列；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.[研一题][自主解答]

(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项为an＝34－2n.所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．[自主解答](1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0.所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.当n≥18时，S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[悟一法]等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．[悟一法][通一类]2．在等差数列中，a10＝23，a25＝－22，(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列{|an|}的前n项和．[通一类]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[研一题][例3]一个水池有若干进水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？[研一题]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[悟一法]解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型．本题就是建立了等差数列这一数学模型，以方程为工具来解决问题的．[悟一法][通一类]3．假设某市2011年新建住房400万

m2，其中有250万

m2是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万

m2，那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将等于4750万

m2?[通一类]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用令25n2＋225n＝4750，即n2＋9n－190＝0.而n是正整数，∴n＝10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米.令25n2＋225n＝4750，等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大．

[解]法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，由于a1>0，可知d≠0，所以a7>0，a8<0.所以当n＝7时，Sn最大．法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，[点评]求数列前n项和的最值问题的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0成立的最大n即可．这是因为：当an＞0时，Sn＞Sn－1，即Sn单调递增；当an＜0，Sn＜Sn－1，即Sn单调递减．[点评]求数列前n项和的最值问题的方法高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用点击此图片进入NO.1课堂强化点击此图片进入NO.1课堂强化点击此图片进入NO.2课下检测点击此图片进入NO.2课下检测2.3等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章数列考点一考点二N0.1课堂强化

N0.2课下检测考点三2.3第二课时课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲返回返回高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[读教材·填要点]1．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值；当a1<0，d>0，Sn有最小值．[读教材·填要点]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[小问题·大思维]1．在等差数列{an}中，若a1>0，d>0或a1<0，d<0时，Sn能否取得最值？提示：当a1>0，d>0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a1<0，d<0时，Sn的最大值为a1，无最小值．[小问题·大思维]2．若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值时Sn取得最小值？提示：∵an＝2n－37，an＋1－an＝2>0，∴{an}为递增数列．由an＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18<0，a19>0，∴S18最小，即当n＝18时，Sn取得最小值．2．若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值3．等差数列前n项和Sn与函数有哪些关系？提示：对于形如Sn＝An2＋Bn的数列一定为等差数列，且公差为2A，记住这个结论，如果已知数列的前n项和可以直接写出公差．3．等差数列前n项和Sn与函数有哪些关系？(1)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a1＝0，d＝0)；(2)当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数(此时，a1≠0，d＝0)；(3)当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．(4)若{an}是等差数列且d≠0，则Sn是关于n的不含常数项的二次函数．(1)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[研一题][例1]

在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．[研一题]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用将“a1＝20”改为“a1<0”其它条件不变，则n为何值时，Sn最小？解：∵S10＝S15，∴a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，即a13＝0.又∵a1<0，∴d>0，∴当n＝12或13时，Sn取最小值．将“a1＝20”改为“a1<0”其它条件不变，则n[悟一法]在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．[悟一法][通一类]1．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．[通一类]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用法三：先求出d＝－2(同法一)，由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－2＜0，a1＝25＞0，∴a13＞0，a14＜0.故n＝13时，Sn有最大值169.法三：先求出d＝－2(同法一)，[研一题][例2]

数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.(1)求证：{an}是等差数列；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.[研一题][自主解答]

(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项为an＝34－2n.所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2.故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列．[自主解答](1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0.所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn(2)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.当n≥18时，S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[悟一法]等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．[悟一法][通一类]2．在等差数列中，a10＝23，a25＝－22，(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列{|an|}的前n项和．[通一类]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[研一题][例3]一个水池有若干进水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多长时间？[研一题]高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用高中数学课件第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用[悟一法]解决实际问题首先要审清题意，明确条件与问题之间的数量关系，然后建立相应的数学模型．本题就是建立了等差数列这一数学模型，以方程为工具来解决问题的．[悟一法][通一类]3．假设某市2011年新建住房400万

m2，其中有250万

m2是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万

m2，那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将等于4750万

m2?[通一类]高中数学课件第二章23等差