数学归纳法教案-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列4.4数学归纳法教学设计一、教学目标1.了解数学归纳法原理及适用范围；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；3.明确数列问题解决的重要方法——“归纳——猜想——证明”.二、教学重难点1、教学重点数学归纳法的原理及应用.2、教学难点数学归纳法原理与证明.三、教学过程（一）新课导入教师：如何证明与正整数n有关的数学命题？等差数列的通项公式：教师：已知数列满足，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.计算可得.再结合，由此猜想：.如何证明这个猜想？一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.那么，如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立？学生：思考（二）探索新知探究一：数学归纳法的推导过程首先回顾一下猜想的获得过程：由，利用递推关系，推出；由，利用递推关系，推出；由，利用递推关系，推出；……以成立为条件，推出也成立.它相当于命题：当时猜想成立，则时猜想也成立.只要能够证明这个命题，我们就可以在的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n，成立.事实上，如果时猜想成立，即，那么，即当时，猜想也成立.这样，对于猜想“”，由成立，就有成立；由成立，就有成立；…….所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是.例1用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么①对任何都成立.证明：（1）当时，左边，右边，①式成立.（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是，即当时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立.探究二：用数学归纳法证明命题的具体步骤数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.教师：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？记是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：（1）为真；（2）若为真，则也为真.结论：为真.在数学归纳法的两步中，第一步证明了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若为真，则也为真.完成这两步，就有真，真……真，真…….从而完成证明.例2用数学归纳法证明：.②证明：（1）当时，②式的左边，右边，所以②式成立.（2）假设当时，②式成立，即，两边同时加上，有即当时，②式也成立.由（1）（2）可知，②式对任何都成立.例3已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解：由，可得.由，可得.同理可得.归纳上述结果，猜想.③下面用数学归纳法证明这个猜想.（1）当时，③式左边，右边，猜想成立.（2）假设当时，③式成立，即，那么，即当时，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.（三）课堂练习1.用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是()A. B. C. D.答案：A解析：假设当时命题成立，即能被9整除，当时，.因为能被9整除，所以要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除.故选A.2.已知，记，若，则Q等于()A. B.C. D.答案：C解析：因为，所以，所以，所以.故选C.3.用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是()A. B.C. D.答案：B解析：当时，所假设的不等式为，当吋，要证明的不等式为，故需添加的项为.故选B.4.已知，存在自然数m，使得对任意，都能使m整除，则最大的m的值为()A.30 B.36 C.9 D.6答案：B解析：由，得，，，，由此猜想.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立.②假设当，，时，能被36整除，即能被36整除；当时，.因为是2的倍数，所以能被36整除，所以当时，也能被36整除.由①②可知对一切正整数n都有能被36整除，m的