中考数学冲刺复习-08选择题压轴必刷60题②

选择题压轴必刷60题②一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）22．（2022•锡山区校级模拟）反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（）A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）23．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（）A． B． C． D．24．（2022•越秀区校级模拟）如图，直线交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作l1的垂线，交双曲线，直线l1于B、Q两点（xB＜xQ）．当取最小值时，点B的横坐标为（）A． B．1 C． D．一十四．反比例函数的应用（共1小题）25．（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（）A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝ C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 D．水温不低于30℃的时间为min一十五．反比例函数综合题（共1小题）26．（2022•和平区模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝一十六．二次函数的性质（共2小题）27．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（）A．1 B．2 C．3 D．428．（2022•九龙坡区校级模拟）给定正整数k（1≤k≤9），令kn表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如﹣1，，若对任意正整数n，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足当x＝kn时，y＝k2n，则称该二次函数为“k号函数”．例如：y＝3x2+2x，满足：当k＝3时，32n＝＝＝＝3（3n）2+2（3n）．因此，称y＝3x2+2x为“3号函数”．现有如下结论：①＝；②当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④一十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）29．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变一十八．抛物线与x轴的交点（共2小题）30．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（）A．15 B．18 C．23 D．3231．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④3b＞﹣2c；⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是（）A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④一十九．二次函数综合题（共1小题）32．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或二十．全等三角形的判定与性质（共2小题）33．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④34．（2022•梁山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，3），在纸片中心挖去边长为的正方形A1B1C1D1，将该纸片以O为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C和点B1的坐标分别为（）A．（﹣3，﹣1），（1，0） B．（﹣3，﹣1），（0，﹣1） C．（3，1），（0，﹣1） D．（3，1），（1，0）二十一．勾股定理（共1小题）35．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（）A．1 B． C．2 D．2.5二十二．勾股定理的证明（共1小题）36．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（）A．2 B．3 C．5 D．4二十三．多边形内角与外角（共1小题）37．（2022•无锡一模）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11二十四．菱形的性质（共1小题）38．（2022•无锡模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A＝60°，E、F分别为AB、AD上两动点，EG∥AD交CD于点G，FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点P，连接EF．当四边形PHCG的面积是一个保持不变的量时，△AEF的周长是（）A．15 B．9+3 C．10+2 D．10二十五．矩形的性质（共1小题）39．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．其中，说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④二十六．正方形的性质（共4小题）40．（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）A． B． C． D．41．（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（）A．△ABC的面积 B．正方形ADEB的面积 C．正方形ACFG的面积 D．正方形BNMC的面积42．（2022•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BQPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上．其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5＝（）A．2 B．3 C．2 D．43．（2022•大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则点D到CF的距离为（） B． C． D．【参考答案】一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）22．（2022•锡山区校级模拟）反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（）A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），∴k＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数为：y＝﹣．设直线OA的表达式为：y＝mx，代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣4m．∴m＝﹣．∴y＝﹣x．∵直线OA⊥直线AB．∴设直线AB的解析式为：y＝2x+b，代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣8+b，∴b＝10．∴直线AB：y＝2x+10．由解得：或．∴B（﹣1，8）．故选：D．23．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（）A． B． C． D．【解析】解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，km），B′（2﹣2m，2km）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），解得，m＝，∴＝m（2﹣m）＝．法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，∵点A是OB的中点，∴2m＝n②，由①②可知，m＝，n＝，∴mn＝＝．故选：A．24．（2022•越秀区校级模拟）如图，直线交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作l1的垂线，交双曲线，直线l1于B、Q两点（xB＜xQ）．当取最小值时，点B的横坐标为（）A． B．1 C． D．【解析】解：设B为（n，），则可设直线BP为y＝，设直线BP与y轴交于N点，令x＝0，则y＝，∴，设直线l1与y轴交于M点，同理可得M（0，），令y＝0，则，∴x＝1，∴A（1，0），同理，P（），在Rt△AOM中，tan∠OMA＝，∵∠OMA+∠ONP＝∠ONP+∠NPO＝90°，∴∠OMA＝∠NPO，∴tan∠NPO＝2，∴，∴4（k+2）＝kn2（k+2），∴k+2＝0或kn2＝4，∵k＜0，∴kn2＜0，∴kn2＝4舍去，∴k＝﹣2，∴直线BP为：，∴P（），联立，解得，∴Q（），过B作BG⊥x轴于G，过Q作QH⊥x轴于H，则BG∥QH，∴，∴＝＝，当n＝时，取得最小值，取得最小值，此时B的横坐标为，故选：A．一十四．反比例函数的应用（共1小题）25．（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（）A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝ C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 D．水温不低于30℃的时间为min【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，故A选项不合题意；由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为y＝，代入点（8，100）可得，k＝800，∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，故B选项不合题意；令y＝20，则＝20，∴x＝40，即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，而水温加热到100℃，仅需要8分钟，故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，令x＝10，则y＝＝80℃＞40℃，故C选项不符合题意；水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，令y＝30，则＝30，∴，∴水温不低于30℃的时间为＝min，故选：D．一十五．反比例函数综合题（共1小题）26．（2022•和平区模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【解析】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8，令x＝0，则y＝﹣4，∴B（8，0），G（0，﹣4），∴OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF，BE＝CF，∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，∴△OBG∽△FBC，∴＝，∴设CF＝a，BF＝2a，∴AE＝2a，BE＝a，∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），∴A（6，4），∴k＝4×6＝24，∴反比例函数表达式为y＝，故选：D．一十六．二次函数的性质（共2小题）27．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t，∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，∴＝﹣2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，当a＞0时，﹣4a≤﹣1，解得a≥，将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，∴a＝≥，∴0＜m2+4m≤8，∴4＜（m+2）2≤12，∴﹣2﹣2≤m＜﹣4或0＜m≤﹣2+2，故选：A．28．（2022•九龙坡区校级模拟）给定正整数k（1≤k≤9），令kn表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如﹣1，，若对任意正整数n，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足当x＝kn时，y＝k2n，则称该二次函数为“k号函数”．例如：y＝3x2+2x，满足：当k＝3时，32n＝＝＝＝3（3n）2+2（3n）．因此，称y＝3x2+2x为“3号函数”．现有如下结论：①＝；②当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④【解析】解：由＝＝得①正确，符合题意；对y＝9x2+2x，当x＝1n时，y＝9×（1n）2+2×（1n）＝9×[]2+2×＝（102n﹣2×10n+1）+（10n﹣1）＝[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+（10n﹣1）＝12n，∴当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”，故②正确，符合题意；∵当k＝9时，二次函数y＝ax2+bx+c时“9号函数”，∴92n＝a（9n）2+b（9n）+c，∴92n＝a（10n﹣1）2+b（10n﹣1）+c＝a（102n﹣2×10n+1）+b（10n﹣1）+c＝a[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+b（10n﹣1）+c＝a（102n﹣1）+（b﹣2a）（10n﹣1）+c＝a（92n）+（b﹣2a）（92n）+c，∴a＝1，b﹣2a＝0，c＝0，∴b＝2，∴函数解析式为y＝x2+2x，∴函数对称轴方程为x＝﹣1，故③错误，不符合题意；由“k号函数”的定义得，k2n＝a（kn）2+b（kn）+c，∴k2n＝a[]2+b[]+c＝（102n﹣2×10n+1）+（10n﹣1）+c＝[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+（10n﹣1）+c＝（92n）+（）（9n）+c＝（•92n）+（b﹣）（）+c＝+（b﹣）•kn+c，∴＝1，b﹣＝0，c＝0，∴a＝，b＝2，∵1≤k≤9，∴k值越大，a值越小，∴函数y＝ax2+bx+c的开口越大，故④正确，符合题意；故选：A．一十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）29．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变【解析】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．故选：D．一十八．抛物线与x轴的交点（共2小题）30．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（）A．15 B．18 C．23 D．32【解析】解：∵M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，∴点N坐标为（﹣6，﹣4），∵NR＝7，∴点R坐标为（1，﹣4），当抛物线顶点在R上时，y＝a（x﹣1）2﹣4，由题意得此时点B坐标为（3，0），将（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得0＝4a﹣4，解得a＝1，当抛物线顶点在M上时，抛物线解析式为y＝（x+6）2﹣2，将x＝﹣1代入y＝（x+6）2﹣2得y＝52﹣2＝23，故选：C．31．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④3b＞﹣2c；⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是（）A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4．∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．根据抛物线的对称性可知：当x＝﹣4时与当x＝2时的函数值相同，∴当x＝2时，y＝y1.．∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵2＜π﹣1，∴y1＞y2．∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，a＜0，∴当x＝﹣1时，函数由最大值为a﹣b+c．∴对于任意实数t，总有y＝at2+bt+c≤a﹣b+c．∴at2+bt≤a﹣b．∴③的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴＝﹣1．∴b＝2a．∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，a＜0，∴由抛物线可知：当x＝1时，y＝a+b+c＞0．∴b+b+c＞0．∴3b+2c＞0．∴3b＞﹣2c．∴④的结论正确；将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移p个单位，则得到抛物线y＝ax2+bx+c﹣p的图象，此时对于的一元二次方程为ax2+bx+c﹣p＝0，即方程ax2+bx+c＝p．若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则方程的根只能是：x1＝1，x2＝﹣3或x1＝0，x2＝﹣2或x1＝x2＝﹣1，因此对于的p值应该为3个，∴⑤的结论不正确；综上，正确的结论是：①③④，故选：D．一十九．二次函数综合题（共1小题）32．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或【解析】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1；∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1，如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n＝1，解得：n＝，∴1≤n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤，故选：C．二十．全等三角形的判定与性质（共2小题）33．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④【解析】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD＝PC，PA＝PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD＝PG．∴PC＝PG．∴①的结论正确；∵PD＝PC，∴∠PDC＝∠PCD＝（180°﹣∠DPC）．∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC＝（180°﹣∠CPG）．∴∠PCD+∠PCG＝[360°﹣（∠DPC+∠CPG）]．∵∠DPC+∠CPG＝90°，∴∠PCD+∠PCG＝135°．∵∠BCD＝90°，∴∠BCG＝45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP＝∠GFP．∵∠HFP+∠PFG＝180°，∴∠DEP+∠HFP＝180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF＝360°，∴∠EHF+∠EPF＝180°．∴∠EPF＝90°，∴∠EHF＝90°．即GH⊥AD．∵AD∥BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF＝45°．∴tan∠CGF＝1．∴②的结论正确；∵PA＝PB，PM⊥AB，∴∠APM＝∠BPM，∵PM∥AE，∴∠PEA＝∠BPM，∠PAE＝APM．∴∠PEA＝∠PAE．∴PA＝PE．∵PE＝PF，∴PA＝PB＝PE＝PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB＝∠FPB＝90°＝45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB＝45°．∵∠BCG＝∠CGF＝45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，DF＝AD•sin45°＝4×＝2．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故选：B．34．（2022•梁山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，3），在纸片中心挖去边长为的正方形A1B1C1D1，将该纸片以O为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C和点B1的坐标分别为（）A．（﹣3，﹣1），（1，0） B．（﹣3，﹣1），（0，﹣1） C．（3，1），（0，﹣1） D．（3，1），（1，0）【解析】解：∵360°＝45°×8，298＝37×8+2，∴第298次旋转后与第2次旋转后的位置相同，点C和点B1经过两次旋转之后落在此图中的D点和C1点处，∵A1B1C1D1的边长为，∴C1的坐标为（0，﹣1），对于D点的坐标，如图，过点A做AN⊥y轴于点N，过点D做DM⊥x轴于点M，在正方形中ABCD中，有OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠AON＝∠DOM，∵∠ANO＝∠DMO＝90°，∴△ANO≌△DMO（AAS），∴AN＝DM，ON＝OM，∴D（3，1）．故选：C．二十一．勾股定理（共1小题）35．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（）A．1 B． C．2 D．2.5【解析】解：连接CE，∵AD是BC边上的中线，F点为BE的中点，∴DF为△BCE的中位线，∴CE＝2DF，DF∥CE，∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，∵DF⊥BE，∴∠DFE＝∠DFB＝90°，在△DEF和△DBF中，，∴△DEF≌△DBF（SAS），∴∠EDF＝∠BDF，∴∠DEC＝∠DCE，∴CD＝ED，∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝ED＝CD＝AD，∴AD＝4DF，∵AC＝，∴AD2﹣（AD）2＝AC2＝48，解得AD＝8，∴DF＝2．故选：C．二十二．勾股定理的证明（共1小题）36．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（）A．2 B．3 C．5 D．4【解析】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，根据题意得：，解得：c2＝27，解得：c＝3或﹣3（舍去），故大正方形的边长为3，故选：B．二十三．多边形内角与外角（共1小题）37．（2022•无锡一模）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n﹣2）180°＝144°×n，解得n＝10，故选：C．二十四．菱形的性质（共1小题）38．（2022•无锡模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A＝60°，E、F分别为AB、AD上两动点，EG∥AD交CD于点G，FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点P，连接EF．当四边形PHCG的面积是一个保持不变的量时，△AEF的周长是（）A．15 B．9+3 C．10+2 D．10【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD和△BCD均为等边三角形，∵FH∥AB，EG∥AD，∴四边形PHCG，四边形PFDG，四边形AEPF，四边形PHBE均为平行四边形，∴∠GPH＝∠A＝60°，设DG＝x，DF＝y，则PH＝10﹣x，PG＝y，过点G作GM⊥FH于点M，则∠GMP＝90°，∴GM＝PG＝y∴S▱PHCG＝PH×GM＝（10﹣x）y，∵S▱PHCG为定值，∴10﹣x＝y，即x+y＝10时，四边形PHCG的面积为定值，连接BD，则点P在线段BD上，且四边形AEPF为菱形，∴PH＝PE＝10﹣a，∵DC∥AB，AD∥EG，∵四边形AEGD为平行四边形，∴AE＝DG＝a，∴10﹣a＝a，∴a＝5，∴△AEF的周长是＝5×3＝15．故选：A．二十五．矩形的性质（共1小题）39．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．其中，说法正确的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【解析】解：①当m＝1时，点B的坐标为（3，1），∴OC＝1，当α＝30°时，∠AOD＝30°，∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠ODC＝∠AOD＝30°，∴OD＝2OC＝2，CD＝，∴S△OCD＝•OC•CD＝×1×＝，即当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；故①正确；②如图1，由旋转得：OA＝OA'＝3，A'B'＝OC＝1，∠A'＝90°，由勾股定理得：OB'＝＝，∴B'C＝﹣1，tan∠COD＝＝，即＝，∴CD＝，∵OA'∥B'C'，∴∠OB'C'＝∠COD，∴tan∠OB'C'＝＝，∴EC＝，∴DE＝EC+CD＝+＝，故②正确；③∵点B的坐标为（3m，m），∴BC＝3m如图2，过点D作DF⊥B'C'于F，则DF＝B'C'＝OC，∵点D为线段BE的中点，∴ED＝BD，∴DF＝OC，∵∠DFE＝∠OCD＝90°，∠FED＝∠CDO，∴△OCD≌△DFE（AAS），∴ED＝OD，设BD＝a，则OD＝a，CD＝3m﹣a，Rt△OCD中，m2+（3m﹣a）2＝a2，解得：a＝m，∴CD＝3m﹣m＝m，即当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；故③正确；④当点D是线段BE的三等分点时，存在两种情况：ED＝2BD或BD＝2ED，如图3，ED＝2BD，过点D作DH⊥B'C'于H，则DH＝B'C'＝OC，同理可得OD＝ED，设BD＝a，则ED＝OD＝2a，在Rt△OCD中，由勾股定理得：m2+（3m﹣a）2＝（2a）2，m1＝a，m2＝a（舍），∴sinα＝＝＝＝≠或；故④错误；本题正确的结论有：①②③故选：C．二十六．正方形的性质（共4小题）40．（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）A． B． C． D．【解析】解：延长AM交BC于H点，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，∵点F，B，C在同一直线上，∴AD∥CF，∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，∵M是DF中点，∴DM＝FM，在△ADM和△HFM中，