高中新课程数学《基本初等函数》素质测评

第二章素质测评一、选择题1．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝(\f(1,2))x，x>1))，则A∩B等于()\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|0<y<\f(1,2))) B．{y|0<y<1}\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|\f(1,2)<y<1)) D．Ø解析：A＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}．B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝(\f(1,2))x，x>1))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|0<y<\f(1,2)))，所以A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|0<y<\f(1,2)))答案：A2．函数f(x)＝lgeq\f(1－x,x－4)的定义域为()A．(1,4) B．[1,4)C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)解析：∵为使函数f(x)有意义，应有eq\f(1－x,x－4)>0，即eq\f(x－1,x－4)<0⇔1<x<4，∴函数f(x)的定义域是(1,4)．答案：A3．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是()解析：由f(3)g(3)<0知，f(3)与g(3)异号，故排除B、D，而A中图象可知f(x)＝ax的底数a>1，而y＝logax中的底数0<a<1，相互矛盾，所以又排除A，故选C.答案：C4．设a＝，b＝log1.10.9，c＝()A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b解析：∵0<a＝，b＝log1.10.9<0，c＝，∴c>a>b答案：C5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))，则f[f(eq\f(1,4))]的值是()\f(1,9) B．9C．－eq\f(1,9) D．－9解析：因为f(eq\f(1,4))＝log2eq\f(1,4)＝－2，所以f[f(eq\f(1,4))]＝f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9)答案：A6．幂函数f(x)的图象过点(4，eq\f(1,2))那么f－1(8)的值是()A．2eq\r(2) B．64\f(\r(2),4) \f(1,64)答案：D7．函数y＝f(x)与函数y＝log2x的图象关于直线x＝0对称，则()A．f(x)＝－2x B．f(x)＝2xC．f(x)＝log2(－x) D．f(x)＝－log2x解析：∵y＝f(x)与y＝log2x的图象关于直线x＝0对称，则在y＝log2x中以－x代x，y值不变，故y＝log2(－x)，即f(x)＝log2(－x)．答案：C8．(2022·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)解析：由题意可知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，结合选项，可知选A.答案：A9．函数f(x)＝2x＋2－4x，若x2－x－6≤0，则f(x)的最大值和最小值分别是()A．4，－32 B．32，－4\f(2,3)，0 \f(4,3)，1解析：f(x)＝2x＋2－4x＝－(2x)2＋4·2x＝－(2x－2)2＋4，又∵x2－x－6≤0，∴－2≤x≤3，∴eq\f(1,4)≤2x≤8.从而当2x＝2时，f(x)max＝4，当2x＝8时，f(x)min＝－32.答案：A10．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是()A．(eq\f(1,10)，1) B．(0，eq\f(1,10))∪(1，＋∞)C．(eq\f(1,10)，10) D．(0,1)∪(10，＋∞)解析：由已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上递减，则f(x)在(－∞，0)上递增，∴f(lgx)>f(1)⇔0≤lgx<1，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx<0,－lgx<1))⇔1≤x<10，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,lgx>－1))⇔1≤x<10，或eq\f(1,10)<x<1⇔eq\f(1,10)<x<10，∴x的取值范围是(eq\f(1,10)，10)．答案：C11．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为()\f(1,4) \f(1,2)C．2 D．4解析：∵函数ax与loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，∴函数f(x)的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得，由a0＋loga1＋a1＋loga2＝a得a＝eq\f(1,2).答案：B12．若函数f(x)＝m·ax－a－x(a>0，且a≠1)既是奇函数，又是增函数，那么g(x)＝loga(x＋m)的图象是()解析：因为x∈R且f(x)为奇函数，故f(0)＝0，所以m＝1，即f(x)＝ax－a－x，又因为f(x)为增函数，所以a>1，故g(x)＝loga(x＋1)(a>1)，由函数的图象变换知选D.答案：D二、填空题答案：(2，＋∞)答案：[－1,1][eq\f(1,5)，1]答案：eq\f(5,2)eq\f(1,2)16．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在故c>b>a.答案：a<b<c三、解答题(2)解方程：log3(6x－9)＝3.＝eq\f(5,3)＋1＋eq\f(4,3)＝4.(2)由方程log3(6x－9)＝3得6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.经检验，x＝2是原方程的解．18．已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋x>0，,3－x>0，))得－3<x<3，∴函数f(x)的定义域为(－3,3)．(2)函数f(x)是偶函数．理由如下：由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称，又∵f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．19．求使不等式(eq\f(1,a))x2－8>a－2x成立的x的集合(其中a>0，且a≠1)．当a>1时，函数y＝ax是增函数，∴8－x2>－2x，解得－2<x<4；当0<a<1时，函数y＝ax是减函数，∴8－x2<－2x，解得x<－2，或x>4.故当a>1时，x的集合是{x|－2<x<4}；当0<a<1时，x的集合是{x|x<－2，或x>4}．20．某工厂2022年开发一种新型农用机械，每台成本为5000元，并以纯利润20%标价出厂．自2022年开始，加强内部管理，进行技术革新，使成本降低，2022年平均出厂价尽管只有2022年的80%，但却实现了纯利润为50%的高效益．以2022年生产成本为基础，设2022年到2022年生产成本平均每年每台降低的百分数为x，试建立2022年生产成本y与x的函数关系式，并求x的值．(可能用到的近似值：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈，eq\r(5)≈解：根据题意，由2022年到2022年生产成本经历了4年的降低，所以，y＝5000(1－x)4.由2022年出厂价为5000(1＋20%)＝6000元，得2022年出厂价为6000×80%＝4800元．由4800＝y(1＋50%)，得y＝3200元．再由5000(1－x)4＝3200，得x＝1－eq\f(2\r(5),5)≈11%.所以，由2022年到2022年，生产成本平均每年降低11%.21．已知函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x).(1)求证：f(x)＋f(y)＝f(eq\f(x＋y,1＋xy))；(2)若f(eq\f(a＋b,1＋ab))＝1，f(eq\f(a－b,1－ab))＝2，求f(a)和f(b)的值．解：(1)f(x)＋f(y)＝lgeq\f(1－x,1＋x)＋lgeq\f(1－y,1＋y)＝lgeq\f((1－x)(1－y),(1＋x)(1＋y))＝lgeq\f(1＋xy－(x＋y),1＋xy＋(x＋y))＝lgeq\f(1－\f(x＋y,1＋xy),1＋\f(x＋y,1＋xy))＝f(eq\f(x＋y,1＋xy))．(2)由已知可证f(－x)＝－f(x)，再由(1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(\f(a＋b,1＋ab))＝f(a)＋f(b)＝1，,f(\f(a－b,1－ab))＝f(a)＋f(－b)＝f(a)－f(b)＝2，))解得f(a)＝eq\f(3,2)，f(b)＝－eq\f(1,2).(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－eq\r(3))上是增函数，求实数m的取值范围．由x2－x－1>0可得：x>eq\f(1＋\r(5),2)或x<eq\f(1－\r(5),2)，∴函数f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，＋∞))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－