九年级中考数学冲刺复习-23填空题提升必刷60题②

填空题提升必刷60题②一十四．平行四边形的性质（共1小题）21．（2022•无锡模拟）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且BM＝DN．求证：（1）△ABM≌△CDN；（2）AM∥CN．一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）22．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为．一十六．菱形的判定（共3小题）23．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是（填写满足要求的所有条件的序号）．24．（2022•连云港一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．25．（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．一十七．菱形的判定与性质（共1小题）26．（2022•常州一模）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．一十八．矩形的性质（共1小题）27．（2022•东海县一模）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且使得，连接OE，CE．（1）求证：AD＝OE；（2）判断四边形ODEC的形状，并说明理由．一十九．矩形的判定（共1小题）28．（2022•秦淮区校级模拟）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，CF与DE的延长线相交于点F，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？为什么？二十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）29．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．二十一．直线与圆的位置关系（共1小题）30．（2022•邗江区一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN经过点C，过点B作BD⊥MN于点D，∠ABC＝∠CBD．（1）试判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝10，CD＝2，求⊙O的半径．二十二．切线的判定与性质（共2小题）31．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．（1）求证：l与⊙O相切；（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为cm．32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切线；③OB＝BD．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．二十三．作图—复杂作图（共3小题）33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．35．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．二十四．作图—应用与设计作图（共1小题）36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）二十五．旋转的性质（共1小题）37．（2022•高邮市模拟）如图，点P是正方形ABCD内部的一点，∠APB＝90°，将Rt△APB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，QD、BP的延长线相交于点E．（1）判断四边形APEQ的形状，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，求BE的长．二十六．作图-旋转变换（共1小题）38．（2022•无锡模拟）如图，已知线段OA在平面直角坐标系中，O是原点．（1）将OA绕点O顺时针旋转60°得到OA'，过点A作A'B⊥x轴，垂足为B．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出OA′、A′B．（2）若A（﹣2，6），则△OA'B的面积是．二十七．几何变换综合题（共1小题）39．（2022•邗江区一模）【操作发现】如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接BD，CE交于点F．①的值为；②∠BFC的度数为°；【类比探究】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，连接CE交BD的延长线于点F．计算的值及∠BFC的度数；【实际应用】在（2）的条件下，将△ADE绕点A在平面内旋转，CE，BD所在直线交于点F，若AE＝1，AC＝，请直接写出当点D与点F重合时BD的长．二十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）40．（2022•秦淮区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，过B、C、E三点的⊙O与CD相交于点F，连接AE、BF．（1）求证：△ADE∽△BDF；（2）当BE＝AB时，求证：直线AE是⊙O的切线．41．（2022•邗江区一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．（1）试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．【参考答案】一十四．平行四边形的性质（共1小题）21．（2022•无锡模拟）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且BM＝DN．求证：（1）△ABM≌△CDN；（2）AM∥CN．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠ABM＝∠CDN，在△ABM与△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）证明：∵△ABM≌△CDN，∴∠AMB＝∠CND，∴AM∥CN．一十五．平行四边形的判定与性质（共1小题）22．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为96．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝AB，DF＝DC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：连接EF，∵四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，∵M，N分别是BF，DE的中点，∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，∵EM＝EN＝5，∴EM＝BF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF＝＝8，∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，故答案为：96．一十六．菱形的判定（共3小题）23．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是①②（填写满足要求的所有条件的序号）．【解析】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°．∴∠C+∠B＝180°．∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵①∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵②AB＝CD，∴AD＝CD，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为：①②．24．（2022•连云港一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）解：当AC⊥BD时，四边形AFCE是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴AC⊥BD，∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥BD，∴▱AFCE是菱形．25．（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．同理：DE∥BF，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）解：当▱ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EE＝AB，CF＝CD，∴BE＝CF，在△EBC与△FCB中，，∴△EBC≌△FCB（SAS），∴CE＝BF，∠ECB＝∠FBC，∴BH＝CH，∴CE﹣CH＝BF＝BH，即EH＝FH，∴平行四边形EHFG是菱形．一十七．菱形的判定与性质（共1小题）26．（2022•常州一模）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．【解析】（1）证明：AB∥CD，AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，点E是AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴平行四边形AECD是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，∴AC＝＝＝20，∵点E是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ACE，由（1）得：AE＝AB＝，四边形AECD是菱形，∴AD＝AE＝，∴S菱形AECD＝2S△ACE，∴S菱形AECD＝S△ABC，∵EF⊥AD，∴AD•EF＝BC•AC，即EF＝×15×20，解得：EF＝12，即线段EF的长为12．一十八．矩形的性质（共1小题）27．（2022•东海县一模）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且使得，连接OE，CE．（1）求证：AD＝OE；（2）判断四边形ODEC的形状，并说明理由．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，，OA＝OB＝OC＝OD．∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE∥AO，DE＝AO．∴四边形ADEO是平行四边形．∴AD＝OE；（2）解：四边形ODEC是菱形．理由如下：∵DE∥AO，DE＝AO．∴DE∥OC，DE＝OC．∴四边形ODEC是平行四边形．∵OC＝OD，∴四边形ODEC是菱形．一十九．矩形的判定（共1小题）28．（2022•秦淮区校级模拟）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，CF与DE的延长线相交于点F，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？为什么？【解析】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，∵∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（ASA），∴AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）当AC＝BC时，平行四边形ADCF是矩形．理由：在△ABC中，D、E分别是AB，AC边上的中点，∴AE＝EC，∵EF＝DE，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC＝BC，AC＝DF，∴DC⊥AB，∴平行四边形ADCF是矩形．二十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）29．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．【解析】（1）证明：连接AD，∵AE是⊙O的直径，∴∠EDA＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：连接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD＝＝8，∵DF∥AC，∴＝，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DF＝AB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴＝，即＝，解得：AE＝，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，∴DE＝＝，∴EC＝CD﹣DE＝．二十一．直线与圆的位置关系（共1小题）30．（2022•邗江区一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN经过点C，过点B作BD⊥MN于点D，∠ABC＝∠CBD．（1）试判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝10，CD＝2，求⊙O的半径．【解析】解：（1）直线MN与⊙O相切，理由：连接OC，如图所示∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥MN，∴OC⊥MN，∵OC为半径，∴MN是⊙O的切线；（2）连接AC，在Rt△BCD中，BC＝10，CD＝2，∴BD＝＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，∴AB＝5，∴⊙O的半径是．二十二．切线的判定与性质（共2小题）31．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．（1）求证：l与⊙O相切；（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为cm．【解析】（1）证明：连接OC．BF，∵＝，OC是⊙O的半径，∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，∵AD⊥l，∴BF∥DE，∴OC⊥DE，∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线，即直线l是⊙O的切线；（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，∴OC∥AD∥BE，∵OA＝OB，∴DC＝EC，∴OC是梯形ABED的中位线，∴OC＝（AD+BE）＝（4+1.5）＝，故答案为：．32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切线；③OB＝BD．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是①②，结论是③（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．【解析】解：（1）选择的条件是①②，结论是③，理由：连接OC，∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵CD是⊙O的切线；∴∠OCD＝90°，∴∠D＝30°，∴OC＝OD，∵OB＝OC＝OD，∴OB＝BD，故答案为：①②，③；（2）在Rt△OCD中，∵CD＝3，∠COD＝60°，∴OC＝CD＝3，∴的长度为＝π．二十三．作图—复杂作图（共3小题）33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．【解析】解：（1）如图1中，△ABC（AB＝AC）为所求．（2）如图2中，△ABC（AB＝AC）为所求．34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．【解析】（1）解：如图．射线AE，线段DF即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠BEA＝∠EAD，∵AE平分∠ABD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵BC＝AD，CE＝DF，∴BE＝AF，∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵BA＝BE，∴四边形ABEF是菱形．35．（2022•无锡一模）如图，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．（1）请利用没有刻度的直尺和圆规作出一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）（2）在上题中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半径．【解析】解：（1）如图，⊙O即为所作；（2）过O点作OD⊥AB于D，如图，设⊙O的半径为r，∴BA为⊙O的切线，∴OC＝OD＝r，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13．∵∠ACB＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得．即⊙O的半径为．二十四．作图—应用与设计作图（共1小题）36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【解析】解：如图，作CP⊥AB，垂足为P，作EQ⊥AB，垂足为Q，并交CD延长线于点N．根据题意，得四边形CPQN是矩形．∴CP＝NQ．设CP的长为xm，则NQ＝xm，EN＝3x﹣x＝2x（m），在Rt△ACP中，∠A＝30°，∵sin30°＝，∴AC＝＝＝2x，在Rt△DEN中，∠EDN＝37°，∵sin37°＝，∴DE＝＝≈x，∵AC+DE＝80，∴2x+x＝80，解得x＝15，3x＝45．所以EF到AB的距离为45m．二十五．旋转的性质（共1小题）37．（2022•高邮市模拟）如图，点P是正方形ABCD内部的一点，∠APB＝90°，将Rt△APB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，QD、BP的延长线相交于点E．（1）判断四边形APEQ的形状，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为10，DE＝2，求BE的长．【解析】解：（1）四边形APEQ是正方形，理由如下：∵将Rt△APB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°，∠Q＝∠APB＝90°，PB＝QD，∴四边形APEQ是矩形，又∵AP＝QA，∴四边形APEQ是正方形；（2）∵四边形APEQ是正方形，∴QE＝AQ，∵AD2＝QD2+AQ2，∴100＝（AQ﹣2）2+AQ2，∴AQ＝8，（负值舍去），∴PE＝8，QD＝6＝BP，∴BE＝8+6＝14．二十六．作图-旋转变换（共1小题）38．（2022•无锡模拟）如图，已知线段OA在平面直角坐标系中，O是原点．（1）将OA绕点O顺时针旋转60°得到OA'，过点A作A'B⊥x轴，垂足为B．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出OA′、A′B．（2）若A（﹣2，6），则△OA'B的面积是4+3．【解析】解：（1）如图，线段OA′，直线A′B即为所求；（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点O作OG⊥OA交AA′的延长线于点G．过点G作GN⊥x轴于点N．∵A（﹣2，6），∴OM＝2，AM＝6，∵∠AMO＝∠AOG＝∠ONG＝90°，∴∠AOM+∠GON＝90°，∠GON+∠OGN＝90°，∴∠AOM＝∠OGN，∴△AMO∽△ONG，∴＝＝＝，∴ON＝6，GN＝2，∴G（6，2），∵∠A′OG＝∠A′GO＝30°，∴A′O＝A′G＝A′A，∴A（3﹣1，3+），∴S△A′OB＝×（3﹣1）×（3+）＝4+3．故答案为：4+3．二十七．几何变换综合题（共1小题）39．（2022•邗江区一模）【操作发现】如图1，△ABC和△ADE是等边三角形，连接BD，CE交于点F．①的值为1；②∠BFC的度数为60°；【类比探究】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，连接CE交BD的延长线于点F．计算的值及∠BFC的度数；【实际应用】在（2）的条件下，将△ADE绕点A在平面内旋转，CE，BD所在直线交于点F，若AE＝1，AC＝，请直接写出当点D与点F重合时BD的长．【解析】解：【操作发现】∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOE＝∠BOC，∴∠CFB＝∠BAC＝60°，∴，∠BFC＝60°，故答案为：①1；②60；【类比探究】∵△ABC和