高中新课程数学《几类不同增长的函数模型》课外演练

基础达标一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数解析：一次函数匀速增长，二次函数及指数型函数均为开始增长缓慢，后来增长越来越快，对数型函数开始增长迅速后来增长越来越慢．答案：D2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点答案：D3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，有()A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x)C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x的图象的上方，则f(x)>g(x)．答案：A4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123…y138…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝－＋2解析：代入数据验证可得答案．答案：D5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：设新价为b，依题意有25x－(3000＋20x－≥0，解得x≥150或x≤－200(舍)．故选C.答案：C6．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝eq\f(1,100)ex B．y＝100lnxC．y＝x100 D．y＝100·2x解析：指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴eq\f(1,100)ex比100·2x增大速度快．答案：A二、填空题7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一个新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________．解析：设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%化简，得b＝eq\f(5,4)a.∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N)．答案：y＝eq\f(a,4)x(x∈N)8．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)，那么广告效应为D＝aeq\r(A)－A，当A＝________时，取得最大广告效应．解析：D＝aeq\r(A)－A＝－(eq\r(A))2＋aeq\r(A)，∴eq\r(A)＝eq\f(1,2)a时，D取最大值，此时，A＝eq\f(1,4)a2.答案：eq\f(1,4)a29．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为__________．解析：设平均增长率为p，则k＝(1＋p)11，故p＝eq\r(11,k)－1.答案：eq\r(11,k)－1三、解答题10．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份元，卖出价是每份元，卖不掉的报纸可以以每份元价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？解：设摊主每天从报社买进x份，易知x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为y＝20×＋10××250＋10××(x－250)－30×＝＋625(x∈[250,400])．因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元，即摊主每天从报社买进400份，才能使每月所获得的利润最大，一月最多可赚得825元．11．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有eq\f(a,4)L?解：由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)①设再过tmin后桶1中的水有eq\f(a,4)L，则ae－n(t＋5)＝eq\f(a,4)，e－n(t＋5)＝eq\f(1,4)②将①式平方得e－10n＝eq\f(1,4)③比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.即再过5min后桶1中的水只有eq\f(a,4)L.创新题型12．某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为元/分钟，但每月30元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为元/小时．(1)将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数；(2)试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？解：(1)由题意可以得到y＝eq\b\lc\{\rc\(