物理i-1复习课件振动

振动与波动Oscillations

and

Waves振动——物理量随时间的周期性变化位移、电流强度、电场强度……波动——振动的第一章 振动Oscillations本章内容：

简谐振动运动学

简谐振动动力学

简谐振动的要点与难点：旋转矢量图：建立简谐振动方程——弹簧振子的振动x

A

F

Fmaxa

amaxx

0

F

0v

vmaxa

0v

0

观察F

kx

madt

2d2

x

2x

0m令

2

ka

2

x0dtv

dx

A

sin(t

)20d2

xa

A

cos(dt2t

)xFmo

x

x

Acosx

t

图v

t

图a

t图

AA

2

A

2A

vatttA

x

Aooox

AcosT

2π

A

cost

π

0

2

v

A

s

A2

cost

π020)a

A

cos(t

0

0oA-AtxT§1.1

简谐振动运动学Kinematics

of

Simple

HarmonicMotion——振动的描述⒈定义x

Acos(ωt

0

)——简谐振动表达式或振动方程x

——位移（或其它物理量）t

——时间e.g.⒉参量⑴

——角频率angular

frequency

2

f

2TSI单位：rad/s

or

s-1Notes:①

仅依赖于系统本身的性质，与初始条件无关e.g.m弹簧振子：

2

kl单 摆：

2

gnl0

长：k

nk0⑵

A——振幅

amplitudeSI单位：mNotes:

②关于弹簧的弹性劲度系数并联：k

k1

k2串联：1

1

1k

k1

k2请同学自行推导Notes:①A依赖于振动的初始条件x

Acos(t

0

)v

dx/dt

Asin(t

0

)2E

Ep②A与振动的能量有关e.g.

弹簧振子：

1

kA222

2

2002

A

x

x

v2

v2⑶0——初相(initialphase)单位：radNotes:①0依赖于振动的初始条件。x0

Av0

00

x

v

φ

arctg

②通常取

0

0⑷

=t

+0

——相(phase)单位：radNotes:①

对应于t时刻振动的状态x

Av

对于给定的简谐振动，由

x,vNotes:

②

可用来比较两个同频率简谐振动的步调x1

A1cos(t

01

)02

01

2k(k为整数)x2

A2co02

01

(2k

1)(k为整数)xto同相反相txo若0201=其它值，则当0

02

01

时,称振动2超前当

02

01

0

时,称振动2滞后Notes:tox

2

1to2x

101

02取x

Acos(ωt

0

)旋转矢量A的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动可否用一种更直观的图像的处理方法来处理振动问题？⒊旋转矢量图

phasor

diagram旋转矢量A0Xt

=tt+0Ot

=0x

=

A

cos(

t+0)AA长度＝振幅A角速度＝角频率初始角＝初相0x

x0旋转矢量图与振动曲线(x-t)如何对应呢？17xtooxT0x

Acos

t

:

0

:

0

18OxA-AtOx-AOO这两个振动哪个初相位超前？x

xAt应用旋转矢量图求解初相位[例1-1]

某简谐振动的振动曲线如图，则振动方程为

。x

(cm)t(s)1-2解：设振动方程为

x

Acos则由振动曲线：A=2

cmO-1t=0：cos0=

–1/20=

2/3t(s)1

O−1−2t=0

时旋矢图：t>0，负向位移应增大

0

2

/

3x(cm)X2/32/312另种画法又，t=1s时,

=2

2

2

/

3

4

/

3

(rad/s)t

1于是x

2cos(4

t

/[例1-2]质点的振动规律用余弦函数描述，其速度－时间曲线如图，则其初相应为

.v(m/s)t(s)vmvm/2O解：设

x

Acos则

v

dx

/

dt

Asin(t

0

)

vm

sin(t

0

)mmt=0时,

有

vm

/

2

旋矢图：t>0，正向速度应增大

0

5

/

6[思考]

完全用旋矢法?xF

mo

x

sin0

1/

2

0

或5

/6t

>0,v

v

,x

平?衡位置O

X24x

AcostxAtxA00.5A-A0.5A0-A-AtxA00.5A0-AtxA0.5A练习：方程曲线；曲线方程（研究例题及作业）§1.2

简谐振动动力学Dynamics

of

Simple

Harmonic

Motion——作用力、能量、动力学方程⒈作用力(沿振动方向的合力)由

x

Acos

a

2

Acos(t

)

2

x0

F

ma

m

2

x特点：①

F

方向：与位移方向相反大小：与位移大小成正比2对任意闭合路径L:

x1x2x1xLx1Fdx

m2xdx

有

012xx2m

xdx证：

Xx1

x2O特点：

②

F

是保守力。px2

2

20m

A

cos

(t

)2

212m

A

Ep

Ek

——守恒⒉能量设x

=0处,Ep=0,

则有21212kE

mv又2

212m

x2x0

0E

Fdx

m

xdx

2

22012m

A

sin

(t

)简谐运动的动能、势能、势能曲线、能量守恒之间的关系pxB

AC

AxO2E

1

kx2212EpE

kAEkNotes①若系统中有多个保守力作用，则Ep是这些力的势能之和e.g.

竖直弹簧振子：原长位置p平衡位置(E

=0)OxX-l0

2Ep=Ep(弹)+Ep(重)1=

2

kx②平均动能与平均势能：4k

pE

E

1

m

2

A20p

l

0

1

k

(x

l

)2

1

kl

2

mgx

1

kx2

kxl

mgx

1

kx22

0

2

0

2

0

2

mg

kl002p

1

kx2

E

A

xl0

kxdx

x

mgdx

F(x)

mg

k(x

l

)

kx

ENotes解：E

1

m

2

A22[例1-3]弹簧振子总能量为E1，若其振幅增为原来的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能量变为

。

1

kA22

E

4E1[思考]

T

?

vmax

?

amax

?[例1-4]系统作谐振动，周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零，则在

0

t

T/2范围内，系统在

t

=

时刻动能和势能相等。解：按题意x

Acost2p2A

x

E

1

m2

x2

1

m

2

A22242

cost

因此1[思考]其它解法？2t

3

/

4

3

T

4

2

8Xt

/

4

T

T

4

2

8

3T

t

/

4

or

3

/

4旋矢图：3/4

/42

d

x

2

x

0dt2——简谐振动的动力学方程⒊动力学方程简谐振动：x

Acosdt22

d

x

2

xNotes:其中A

C

2

C

21

22tan0

①零阶导数项系数决定②初始条件决定A、0方程的通解：x

C1

cost

C2

sin

t

Acos([例1-5]弹簧振子置于光滑斜面上（如图），求其动力学方程。解：平衡条件：mg

sin

kx0

0任意位置x处受力：F

mg

sin

k(x

x0)

k

xkm2

d

x

kdt2

m

x

02k(

)md2

xF

mdt2第二定律：特殊情形：

=

0——水平

=90

——竖直动力学方程不变角频率不变[例1-6]竖直悬挂的弹簧振子，平衡时弹簧的伸长量为x0，则此振子

振动的周期T

=

。m

x平衡条件：

mg

kx0

0

0k

gx0g

T

2[思考]若置于倾角为

的斜面上，平衡时伸长量为x0，则T=?km解：T

2

2§1.3

简谐振动的Addition

of

SimpleHarmonic

Motions⒈同一直线上同频率振动的⑴两个振动的x1

A1

cox2

A2

cos(t

20

)AOXA1

x

x1

x2

Acos(t

0

)旋矢图：t=0

时刻A202212

1

220

10

A

A

A

2A

A

cos(

)11022001

102

20A

sin

A

sin

tan

A

cos

A

cosNotes:

①若20−10=2k(k=0,1,2,

)则A=A1

+A2

——max.②若20−10=(2k+1)

(k=0,

1,2,

)则A=A1−A2

——min.A1

A2At[例1-9]两个简谐振动的振动曲线如图，则它们 的余弦振动的初相为。X42x1x2OA/2解：旋矢图：1AoA2X合振动初相：0

=–/

2[例1-10]两振动,合振动振幅为20cm,

它与振动1的相位差为

-1=

/6

,振动1振幅为10

3

cm,

则振动2振幅为

cm,振动1与2的相位差为1-2=

。解：旋矢图：2221

11A

A

A

2AA

cos(

)

10

(cm)AA2OX1

1A

A2

A2A2cos

1

2

02A1

A20

/2

1

2

(

)

/

2AA1A2OX1旋矢图：*⒉同一直线上不同频率简谐振动的后不是简谐振动！e.g.

两个等幅振动：x1

Acos(1t

0

)x2

Acos(2t

0

)A1A2OXA122122t

cos2

1

x1

x2

2Acost

0

若

2

1

2

1近似：振幅为2Acos

2

1

t

的简谐振动2现象：振动时强时弱——拍(beats)合振动振幅变化的频率——拍频fb=f2–f1两个同方向不同频率简谐运动的频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的

，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍*⒊相互垂直的简谐振动的⑴同频率情形——质点合振动轨迹是椭圆或直线e.g.

=0

=

=/4

=/2

=3/448用旋转矢量描绘振动合成图49两相互简垂谐直运同动频的率合不成同图相位差⑵不同频率情形若频率为整数比——(Lissajous)图形e.g.f2:f1=2:3y

A2A

x1o-A1-

A2应用：频率测量51x

A1

cos(1t

1

)2

2y

A

cos(

t

)2

n

m1,

,π

π

3π

,π8

4

8

22

0,2

01测量振动频率和相位的方法图两相互垂直不同频率的简谐运动的分解，可将任意振动分解成若干SHM谐振分析利用的叠加。对周期性振动：2ax(t

)

0

[Ak

cos(kt

k

)]k

1TT

：周期，

=2k

=1

基频（）k

=

2k

=

3二次谐频（2）

高次三次谐频（3）

谐频决定音调决定音色x2n

=

0

, n

=1

,

2

,

3

,

…Ak23

4560

1k(ω)分立谱：x1tttt例如对方波：a0Tt0x30x50x0

+x1+x3+x50Tt00x0a0

/

2小号发出的声波足以使酒杯破碎随后在大风中因产生而断塌1940年 的塔大桥在大风中产生振动发生 时由于振幅过大可能损坏机器、设备或建筑。EXERCISES1.

质点沿X轴以x

=0

为平衡位置作谐振动，频率为0.25Hz，t

=0

时，x

=–0.37cm，v

=0，则振幅为，振动的数值表达式为。解：旋矢图：0XAO

A

3.7

103

m

,又

2

f

0.5

(s1

)故x

3.7103

cos(0.5t

)

(SI)[思考]①若题中x=0.37cm，v

=0

，结果？②若题中x=0，v

=1.57cm/s，结果？，则x1的⒉两个谐振动的振动曲线相位比x2的相位超前。解：由图，