第四章-不可压缩流体的一维层流流动课件

《工程流体力学》

电子教案西安石油大学机械工程学院《工程流体力学》

电子教案西安石油大学机械工程学院1第四章不可压缩流体的一维层流流动§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述

§4.2 圆管中流体的层流流动§4.3 狭缝流动分析§4.4 降膜流动

第四章不可压缩流体的一维层流流动§4.1 不可压缩流2§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述着眼于流场中的微元体，建立流体流动的微分方程。微分方程所给出的流场分布信息，不仅揭示了宏观流动现象的内在信息，且是确定最大速度、流动阻力、壁面切应力等工程实用参数必需的。一、建立流动微分方程的基本方法基本步骤分三步：1、建立微元体的动量守恒方程。对于稳态流动有

。（4-1）§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述着眼于流场中的微元3对于左图一维流动，牛顿剪切定律为2、牛顿剪切定律作为补充方程将速度和切应力联系起来。下标y表示切应力所在平面的法线方向，下标x表示切应力作用方向。§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述（4-2）0u(y)3、将上面两式处理后可消去切应力，获得关于流体速度的微分方程-流体微分方程。xy对于左图一维流动，牛顿剪切定律为2、牛顿剪切定律作为补4二、常见边界条件流动的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题，常见的流场边界条件有三类1固壁-流体边界由于流体有粘滞性，故与流体接触的固体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。特别的在静止的固体壁上，流体的速度为零。2液体-气体边界对于非高速流动，气液界面上的切应力相对于液相内的很小，故通常认为液相切应力在气液界面上为零。§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述二、常见边界条件§4.1 不可压缩流体的一维层流流动53液体-液体边界由于穿越液-液界面的速度分布或切应力分布具有连续性，故液-液界面两侧的速度或切应力相等。三、流体流动条件说明以下两小节研究不可压缩流体的一维层流流动几种工程常见情况。稳态意味着流动过程与时间无关；不可压缩意味着流体密度为常数；一维流动意味着流体指在一个坐标方向上流动，且速度的变化也只与一个空间坐标有关；层流指的是平行流动的流体层之间只有分子作用，只有在层流条件下牛顿剪切定律才成立。（层流概念详细见教材第九章）

§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述3液体-液体边界由于穿越液-液界面的速度分布或切应力§6又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流体沿流动方向上的速度变化必然为零（满足该条件的流动又称充分发展的流动）即有该条件为不可压缩流体一维稳态流动的连续性条件§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流体沿流动方向上7§4.2圆管中流体的层流流动

以倾斜角为的圆截面直管道的不可压缩粘性流体的定常层流流动为例。采用柱坐标，参数如图，一维流动，一.圆截面直管道§4.2圆管中流体的层流流动以倾斜角为的圆截面8§4.2圆管中流体的层流流动流体微元如左图，受力分析:(z方向）表面切应力：流动截面上的压力：p单位质量的重力g的分量：§4.2圆管中流体的层流流动流体微元如左图，受力分析:(z9§4.2圆管中流体的层流流动一维不可压缩稳态流动（充分发展的流动），即故在z方向有输入微元体动量流量：输出微元体动量流量：相等动量守恒方程力平衡方程§4.2圆管中流体的层流流动一维不可压缩稳态流故在z方向10§4.2圆管中流体的层流流动化简，得切应力方程其中：§4.2圆管中流体的层流流动化简，得切应力方程其中：11§4.2圆管中流体的层流流动积分上式，切应力分布方程(5-13b)再积分，得速度分布方程（适用牛顿流体）(5-14b)边界条件由边界条件得：§4.2圆管中流体的层流流动积分上式，切应力分布方程(5-12§4.2圆管中流体的层流流动切应力与速度分布（用于一维稳态不可压缩充分发展层流流动）(5-16)(5-17)§4.2圆管中流体的层流流动切应力与速度分布（用于一维稳态13§4.2圆管中流体的层流流动讨论：最大流速、平均流速、圆管流量、阻力系数与流动损失1.最大流速管轴处:

2.平均流速3.圆管体积流量水平管:

哈根-泊谡叶方程§4.2圆管中流体的层流流动讨论：最大流速、平均流速、圆管14§4.2圆管中流体的层流流动4.阻力系数与流动损失水平管:

结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。雷诺数阻力系数定义式§4.2圆管中流体的层流流动4.阻力系数与流动损失水平15§4.2圆管中流体的层流流动二.圆环截面套管RkR对圆环截面套管内流动的分析，与所取微元体都与前面圆管内的流动相同，故应力与速度的积分结果也相同。即：切应力分布方程速度分布方程（适用牛顿流体）§4.2圆管中流体的层流流动二.圆环截面套管RkR对16但边界条件不一样。§4.2圆管中流体的层流流动圆环截面套管的边界条件为：将边界条件代如上两方程，可得积分常数为：但边界条件不一样。§4.2圆管中流体的层流流动圆环截面套管17§4.2圆管中流体的层流流动故，圆环截面套管的应力分布和速度分布分布为：当ｋ＝０时，上面应力和速度变为圆管的应力和速度；当ｋ→１时，上面应力和速度趋近于狭缝的上面应力和速度。§4.2圆管中流体的层流流动故，圆环截面套管的应力分布和速18狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（或板间距大大小于板宽的平行平板)间的流动。应用：工业上如活塞与气缸之间的缝隙等§4.3狭缝流动分析假设:

平行平板很长，不可压缩粘性流体作定常层流流动。

采用直角坐标系

狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（或板间§4.3狭缝流动19一方面，可忽略端部效应及进出口的影响，视为充分发展的流动；另一方面，狭缝的水力直径很小，且化工介质的黏度较大，故雷诺数较小故处于层流流动。就流动因素而言，一种是由进出口两端的压力差产生的流动，称为压差流；另一种是由于两壁面的相对运动产生的流动称为剪切流。还有非水平的狭缝流动，将有重力的影响。由于狭缝很窄，故认为在垂直方向压力无变化。§4.3狭缝流动分析一方面，可忽略端部效应及进出口的影响，视为充分发展的流20§4.3狭缝流动分析§4.3.1狭缝流动的微分方程下图（a)所示，两平壁（间距为b)之间的流动。下壁固定，上壁面以速度U平行下壁面运动。在平壁间，密度ρ的不可压缩流体沿x轴方向做一维层流流动，速度为u，主流方向（x轴正向）与重力加速度g之间的夹角为β.§4.3狭缝流动分析§4.3.1狭缝流动的微分方程21外力（

x方向）上下表面的切应力；流体截面上的压力p；质量力g在x方向上分量§4.3狭缝流动分析流体微元如图（b)所示，垂直于x-y平面的厚度为1外力（x方向）§4.3狭缝流动分析流体微元如图（b)所示22流入微元体的动量流出微元体的动量又因流动是充分发展的，即§4.3狭缝流动分析动量流量（x方向）流入微元体流出微元体又因流动是§4.3狭缝流动分析动量流23§4.3狭缝流动分析故在x方向对微元体应用动量守恒方程，有：就简为力平衡方程，化简后即：§4.3狭缝流动分析故在x方向对微元体应用动量守恒方程，有24

切应力方程

其中由于只是y的函数；只是x的函数，故：§4.3狭缝流动分析切应力方程其中由于只是y的函数；25§4.3狭缝流动分析积分上述方程，可得切应力分布(4-3b)§4.3狭缝流动分析积分上述方程，可得切应力分布(4-26速度方程牛顿流体的一维层流流动条件的牛顿剪切定理可得狭缝流的速度微分方程(4-4a)§4.3狭缝流动分析速度方程牛顿流体的一维层流流动条件的牛顿剪切定理(4-427积分,得速度分布方程(4-4b)应用条件（讨论）1.切应力方程条件2.速度方程适用条件§4.3狭缝流动分析牛顿流体和非牛顿流体牛顿流体积分,得速度分布方程(4-4b)应用条件（讨论）§4.328§4.3狭缝流动分析边界条件最一般情况：沿流动方向存在压力差，同时上壁以速度U相对于下壁面运动。其边界条件为:§4.3.2狭缝流动的切应力与速度分布§4.3狭缝流动分析边界条件最一般情况：沿流动方向存29§4.3狭缝流动分析切应力与速度分布

边界条件带入方程(4-3)(4-4)确定积分常数(4-6)(4-7)可得§4.3狭缝流动分析切应力与速度分布(4-6)(30§4.3狭缝流动分析由上式可知，压差引起的流动和剪切产生的流动是线性叠加关系:前者呈抛物线分布，后者呈线性分布.如下图所示。

(4-7)§4.3狭缝流动分析由上式可知，压差引起的流动和31§4.3狭缝流动分析(4-8)平均速度和流量(4-9)§4.3狭缝流动分析(4-8)平均速度和流量(4-9)32§4.2.3水平狭缝压差流动的流动阻力分析水平狭缝，由于有β=π/2，（4-10）§4.3狭缝流动分析又因压差流，U=0，得水平压差流的平均速度§4.2.3水平狭缝压差流动的流动阻力分析（4-10）§33狭缝流阻力系数λ§4.3狭缝流动分析定义式雷诺数流动阻力狭缝流阻力系数λ§4.3狭缝流动分析定义式雷诺数流动阻力34解：本题条件属于水平狭缝的压差流，但须涉及液-液边界条件。由式(4-3b)(4-4b)，并令β=π/2，即：§4.3狭缝流动分析

例

P80-例5-1两层不相溶流体在固定平壁间的平行流动，如右图所示，重流体Ⅰ在下层，轻相流体Ⅱ在上层。按充分发展的层流流动考虑，试确定其切应力和速度分布。解：本题条件属于水平狭缝的压差流，但须涉及液-液§4.335边界条件：①对于流体Ⅰ有②对于流体Ⅱ有§4.3狭缝流动分析边界条件：①对于流体Ⅰ有§4.3狭缝流动分析36将上述边界条件带入方程得积分常数为§4.3狭缝流动分析③由液-液边界的连续性将上述边界条件带入方程得积分常数为§4.3狭缝流动分析③37于是得下层流体（重相）的切应力和速度分布为(-b≤y≤0)§4.3狭缝流动分析于是得下层流体（重相）的切应力和速度分布为(-b≤y≤0)§38(0≤y≤b)上层流体（轻相）的切应力和速度分布为§4.3狭缝流动分析(0≤y≤b)上层流体（轻相）的切应力和速度分布为§4.339§4.4降膜流动

指液膜覆盖在固体表明，依靠重力作用的流动。

流动特点：１、由于降膜很薄，降膜外压力为大气压力，故可认为降膜内压力均匀，为大气压力；２、由于降膜很大，可认为降膜内流动为充分发展段流动。§4.4.1倾斜平板上的降膜流动yxgdydxpa入图所示，在降膜内取一微元体，则：§4.4降膜流动指液膜覆盖在固体表明，依靠重力作用40

§4.4降膜流动由于降膜内压力均匀，故微元体在ｘ方向所受压力为：微元体在ｘ方向所受切应力为：§4.4降膜流动由于降膜内压力均匀微元体在ｘ方41微元体在ｘ方向所受切应力为：由于降膜内速度在ｘ方向均匀，故在ｘ方向净流出微元体的ｘ方向的动量为：对降膜内微元体应用ｘ方向的动量守恒方程，有：§4.4降膜流动微元体在ｘ方向所受切应力为：由于降膜内速度在ｘ方向均匀，故在42§4.4降膜流动即：积分上式：应用牛顿内摩擦定律：积分上式：§4.4降膜流动即：积分上式：应用牛顿内摩擦定律：积分上43§4.4降膜流动边界条件为：将边界条件代入上面的应力方程和速度方程，得：故：§4.4降膜流动边界条件为：将边界条件代入上面的应力方程44§4.4降膜流动最大速度为：平均速度为：体积流量为：§4.4降膜流动最大速度为：平均速度为：体积流量为：45§4.4.1倾斜平板上的降膜流动§4.4降膜流动zro取柱坐标系，显然，竖直圆管外降膜内的微元体与前面所述圆管内的微元体基本相同，它们的区别为：故：§4.4.1倾斜平板上的降膜流动§4.4降膜流动zr46§4.4降膜流动积分上式得：应用牛顿内摩擦定律：积分上式得：§4.4降膜流动积分上式得：应用牛顿内摩擦定律：积分上式47边界条件为：§4.4降膜流动将边界条件代入上面的应力方程和速度方程，得：故，最终的应力方程和速度方程为：边界条件为：§4.4降膜流动将边界条件代入上面的应力方程48§4.4降膜流动最大速度为：§4.4降膜流动最大速度为：49平均速度为：§4.4降膜流动体积流量为：平均速度为：§4.4降膜流动体积流量为：50《工程流体力学》

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电子教案西安石油大学机械工程学院51第四章不可压缩流体的一维层流流动§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述

§4.2 圆管中流体的层流流动§4.3 狭缝流动分析§4.4 降膜流动

第四章不可压缩流体的一维层流流动§4.1 不可压缩流52§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述着眼于流场中的微元体，建立流体流动的微分方程。微分方程所给出的流场分布信息，不仅揭示了宏观流动现象的内在信息，且是确定最大速度、流动阻力、壁面切应力等工程实用参数必需的。一、建立流动微分方程的基本方法基本步骤分三步：1、建立微元体的动量守恒方程。对于稳态流动有

。（4-1）§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述着眼于流场中的微元53对于左图一维流动，牛顿剪切定律为2、牛顿剪切定律作为补充方程将速度和切应力联系起来。下标y表示切应力所在平面的法线方向，下标x表示切应力作用方向。§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述（4-2）0u(y)3、将上面两式处理后可消去切应力，获得关于流体速度的微分方程-流体微分方程。xy对于左图一维流动，牛顿剪切定律为2、牛顿剪切定律作为补54二、常见边界条件流动的个性是由边界条件和初始条件确定的。对于工程问题，常见的流场边界条件有三类1固壁-流体边界由于流体有粘滞性，故与流体接触的固体壁面上，流体的速度将等于固体壁面的速度。特别的在静止的固体壁上，流体的速度为零。2液体-气体边界对于非高速流动，气液界面上的切应力相对于液相内的很小，故通常认为液相切应力在气液界面上为零。§4.1 不可压缩流体的一维层流流动概述二、常见边界条件§4.1 不可压缩流体的一维层流流动553液体-液体边界由于穿越液-液界面的速度分布或切应力分布具有连续性，故液-液界面两侧的速度或切应力相等。三、流体流动条件说明以下两小节研究不可压缩流体的一维层流流动几种工程常见情况。稳态意味着流动过程与时间无关；不可压缩意味着流体密度为常数；一维流动意味着流体指在一个坐标方向上流动，且速度的变化也只与一个空间坐标有关；层流指的是平行流动的流体层之间只有分子作用，只有在层流条件下牛顿剪切定律才成立。（层流概念详细见教材第九章）

§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述3液体-液体边界由于穿越液-液界面的速度分布或切应力§56又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流体沿流动方向上的速度变化必然为零（满足该条件的流动又称充分发展的流动）即有该条件为不可压缩流体一维稳态流动的连续性条件§4.1不可压缩流体的一维层流流动概述又由上述条件（参见第六章连续性方程部分）可知流体沿流动方向上57§4.2圆管中流体的层流流动

以倾斜角为的圆截面直管道的不可压缩粘性流体的定常层流流动为例。采用柱坐标，参数如图，一维流动，一.圆截面直管道§4.2圆管中流体的层流流动以倾斜角为的圆截面58§4.2圆管中流体的层流流动流体微元如左图，受力分析:(z方向）表面切应力：流动截面上的压力：p单位质量的重力g的分量：§4.2圆管中流体的层流流动流体微元如左图，受力分析:(z59§4.2圆管中流体的层流流动一维不可压缩稳态流动（充分发展的流动），即故在z方向有输入微元体动量流量：输出微元体动量流量：相等动量守恒方程力平衡方程§4.2圆管中流体的层流流动一维不可压缩稳态流故在z方向60§4.2圆管中流体的层流流动化简，得切应力方程其中：§4.2圆管中流体的层流流动化简，得切应力方程其中：61§4.2圆管中流体的层流流动积分上式，切应力分布方程(5-13b)再积分，得速度分布方程（适用牛顿流体）(5-14b)边界条件由边界条件得：§4.2圆管中流体的层流流动积分上式，切应力分布方程(5-62§4.2圆管中流体的层流流动切应力与速度分布（用于一维稳态不可压缩充分发展层流流动）(5-16)(5-17)§4.2圆管中流体的层流流动切应力与速度分布（用于一维稳态63§4.2圆管中流体的层流流动讨论：最大流速、平均流速、圆管流量、阻力系数与流动损失1.最大流速管轴处:

2.平均流速3.圆管体积流量水平管:

哈根-泊谡叶方程§4.2圆管中流体的层流流动讨论：最大流速、平均流速、圆管64§4.2圆管中流体的层流流动4.阻力系数与流动损失水平管:

结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。雷诺数阻力系数定义式§4.2圆管中流体的层流流动4.阻力系数与流动损失水平65§4.2圆管中流体的层流流动二.圆环截面套管RkR对圆环截面套管内流动的分析，与所取微元体都与前面圆管内的流动相同，故应力与速度的积分结果也相同。即：切应力分布方程速度分布方程（适用牛顿流体）§4.2圆管中流体的层流流动二.圆环截面套管RkR对66但边界条件不一样。§4.2圆管中流体的层流流动圆环截面套管的边界条件为：将边界条件代如上两方程，可得积分常数为：但边界条件不一样。§4.2圆管中流体的层流流动圆环截面套管67§4.2圆管中流体的层流流动故，圆环截面套管的应力分布和速度分布分布为：当ｋ＝０时，上面应力和速度变为圆管的应力和速度；当ｋ→１时，上面应力和速度趋近于狭缝的上面应力和速度。§4.2圆管中流体的层流流动故，圆环截面套管的应力分布和速68狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（或板间距大大小于板宽的平行平板)间的流动。应用：工业上如活塞与气缸之间的缝隙等§4.3狭缝流动分析假设:

平行平板很长，不可压缩粘性流体作定常层流流动。

采用直角坐标系

狭缝流动通常指两块足够大的平行平板（或板间§4.3狭缝流动69一方面，可忽略端部效应及进出口的影响，视为充分发展的流动；另一方面，狭缝的水力直径很小，且化工介质的黏度较大，故雷诺数较小故处于层流流动。就流动因素而言，一种是由进出口两端的压力差产生的流动，称为压差流；另一种是由于两壁面的相对运动产生的流动称为剪切流。还有非水平的狭缝流动，将有重力的影响。由于狭缝很窄，故认为在垂直方向压力无变化。§4.3狭缝流动分析一方面，可忽略端部效应及进出口的影响，视为充分发展的流70§4.3狭缝流动分析§4.3.1狭缝流动的微分方程下图（a)所示，两平壁（间距为b)之间的流动。下壁固定，上壁面以速度U平行下壁面运动。在平壁间，密度ρ的不可压缩流体沿x轴方向做一维层流流动，速度为u，主流方向（x轴正向）与重力加速度g之间的夹角为β.§4.3狭缝流动分析§4.3.1狭缝流动的微分方程71外力（

x方向）上下表面的切应力；流体截面上的压力p；质量力g在x方向上分量§4.3狭缝流动分析流体微元如图（b)所示，垂直于x-y平面的厚度为1外力（x方向）§4.3狭缝流动分析流体微元如图（b)所示72流入微元体的动量流出微元体的动量又因流动是充分发展的，即§4.3狭缝流动分析动量流量（x方向）流入微元体流出微元体又因流动是§4.3狭缝流动分析动量流73§4.3狭缝流动分析故在x方向对微元体应用动量守恒方程，有：就简为力平衡方程，化简后即：§4.3狭缝流动分析故在x方向对微元体应用动量守恒方程，有74

切应力方程

其中由于只是y的函数；只是x的函数，故：§4.3狭缝流动分析切应力方程其中由于只是y的函数；75§4.3狭缝流动分析积分上述方程，可得切应力分布(4-3b)§4.3狭缝流动分析积分上述方程，可得切应力分布(4-76速度方程牛顿流体的一维层流流动条件的牛顿剪切定理可得狭缝流的速度微分方程(4-4a)§4.3狭缝流动分析速度方程牛顿流体的一维层流流动条件的牛顿剪切定理(4-477积分,得速度分布方程(4-4b)应用条件（讨论）1.切应力方程条件2.速度方程适用条件§4.3狭缝流动分析牛顿流体和非牛顿流体牛顿流体积分,得速度分布方程(4-4b)应用条件（讨论）§4.378§4.3狭缝流动分析边界条件最一般情况：沿流动方向存在压力差，同时上壁以速度U相对于下壁面运动。其边界条件为:§4.3.2狭缝流动的切应力与速度分布§4.3狭缝流动分析边界条件最一般情况：沿流动方向存79§4.3狭缝流动分析切应力与速度分布

边界条件带入方程(4-3)(4-4)确定积分常数(4-6)(4-7)可得§4.3狭缝流动分析切应力与速度分布(4-6)(80§4.3狭缝流动分析由上式可知，压差引起的流动和剪切产生的流动是线性叠加关系:前者呈抛物线分布，后者呈线性分布.如下图所示。

(4-7)§4.3狭缝流动分析由上式可知，压差引起的流动和81§4.3狭缝流动分析(4-8)平均速度和流量(4-9)§4.3狭缝流动分析(4-8)平均速度和流量(4-9)82§4.2.3水平狭缝压差流动的流动阻力分析水平狭缝，由于有β=π/2，（4-10）§4.3狭缝流动分析又因压差流，U=0，得水平压差流的平均速度§4.2.3水平狭缝压差流动的流动阻力分析（4-10）§83狭缝流阻力系数λ§4.3狭缝流动分析定义式雷诺数流动阻力狭缝流阻力系数λ§4.3狭缝流动分析定义式雷诺数流动阻力84解：本题条件属于水平狭缝的压差流，但须涉及液-液边界条件。由式(4-3b)(4-4b)，并令β=π/2，即：§4.3狭缝流动分析

例

P80-例5-1两层不相溶流体在固定平壁间的平行流动，如右图所示，重流体Ⅰ在下层，轻相流体Ⅱ在上层。按充分发展的层流流动考虑，试确定其切应力和速度分布。解：本题条件属于水平狭缝的压差流，但须涉及液-液§4.385边界条件：①对于流体Ⅰ有②对于流体Ⅱ有§4.3狭缝流动分析边界条件：①对于流体Ⅰ有§4.3狭缝流动分析86将上述边界条件带入方程得积分常数为§4.3狭缝流动分析③由液-液边界的连续性将上述边界条件