2017全国初中数学联赛初二卷及详解

2021全国初中数学联赛初二卷及详解2021全国初中数学联赛初二卷及详解2021全国初中数学联赛初二卷及详解适用标准文案2021年全国初中数学结合比赛试题初二卷第一试一、选择题：〔本题总分值42分，每题7分〕1.实数a,b,c知足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，那么3bc的值为〔〕.a2b2.实数a,b,c知足a+b+c=1，11122+(c+5)2〕.a1b30，那么(a+1)+(b+3)的值为〔c53.假定正整数a,b,c知足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，那么称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为〔〕.4.正整数a,b,c知足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，那么a2+b2+c2的值为〔〕.5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，那么梯形的面积为〔〕.102103C.32D.33A.B.33如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，假定AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，那么DE的值为〔〕.二、填空题：〔本题总分值28分，每题7分〕7.使得等式11a3a建立的实数a的值为________.△ABC的三个内角知足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，那么θ的最大值为________.9.设a,b是两个互质的正整数，且p8ab3为质数.那么p的值为________.ab文档大全适用标准文案个都不等于7的正整数排成一行，假定此中随意连续假定干个数之和都不等于7，那么这20个数之和的最小值为________.第二试一、〔本题总分值20分〕设A,B是两个不同样的两位数，且B是由A互换个位数字和十位数字所得，假如A2-B2是完满平方数，求A的值.二、〔本题总分值25分〕如图，△ABC中，D为BC的中点，DE均分∠ADB，DF均分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、〔本题总分值25分〕a,b,c是不全相等的正整数，且5ab为有理数，求a2b2c2的最小值.5bcabc文档大全适用标准文案2021年全国初中数学结合比赛试题初二卷参照答案第一试一、选择题：〔本题总分值42分，每题7分〕1.实数a,b,c知足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，那么3bc的值为〔〕.a2b答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：由于所求分式的特色可以想到把a+2b，3b+c看作一个整体变量求解方程.分析：等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以3bc1.a2b2.实数a,b,c知足a+b+c=1，1110222〕.a1b3c，那么(a+1)+(b+3)+(c+5)的值为〔5答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.分析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，那么x+y+z=10，1110，xyzxy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.那么(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=100.3.假定正整数a,b,c知足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，那么称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为〔〕.答案：B对应讲次：文档大全适用标准文案所属知识点：数论思路：先经过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限制关系确立可能的种类，再经过列举法一一考证.分析：假定(a,b,c)为好数组，那么abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，明显a=1或2.假定a=1，那么bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.假定a=2，那么b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=5，不是整数舍去，共1个好数组.2共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4).4.正整数a,b,c知足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，那么a2+b2+c2的值为〔〕.答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由等式消去c整理后，经过a,b是正整数的限制，列举出全部可能，并一一代入原方程考证，最后确立结果.分析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，那么3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入考证知足原方程.所以，a=9，b=6，c=18，那么a2+b2+c2=441.5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，那么梯形的面积为〔〕.A.102B.103C.32D.3333答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：经过作平行四边形把边长关系转变到一个三角形中来.分析：作AE∥DC，AH⊥BC，那么ADCE是平行四边形，那么BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，文档大全适用标准文案那么△ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得42AH.3所以梯形ABCD的面积为11442102.2336.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，假定AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，那么DE的值为〔〕.答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转变到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.分析：作CF⊥AD，交AD的延伸线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转90°至△CGB，那么ABCF为正方形，可得△ECG≌△ECD，∴EG=ED.设DE=x，那么DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt△EAD中，有422+(98-x)2=x2，解得x=58.二、填空题：〔本题总分值28分，每题7分〕7.使得等式11a3a建立的实数a的值为________.答案：8对应讲次：所属知识点：方程文档大全适用标准文案思路：经过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要考证结果能否知足最先的等式.3分析：易得211aa.令x1a，那么x≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x1=0,x2=3,x3=-1，舍负，即a=-1或8，考证可得a=8.△ABC的三个内角知足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，那么θ的最大值为________.答案：20°对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几此中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的状况.分析：∵θ≤100°-C，θ≤C-B，θ≤B-A∴θ≤1［3〔100°-C〕+2(C-B)+(B-A)］=20°又当6A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到.那么θ的最大值为20°.9.设a,b是两个互质的正整数，且8ab3p为质数.那么p的值为________.ab答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：由于p是质数，只好拆成1和p，另一方面经过a+b、a、b两两互质来拆分8ab3的可能种类，最后分类ab讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.3ab31分析：由于a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，由于8ab质数，所以8可得a=b=1，p=4，不是质abapbab3p数舍；8可得a=7，b=1，p=7，符合题意.1ab那么p=7.文档大全适用标准文案个都不等于7的正整数排成一行，假定此中随意连续假定干个数之和都不等于7，那么这20个数之和的最小值为________.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1知足题设要求，其和为34，接下来只要要考虑该数列能否为和最小的数列.k1k6分析：设该正整数列为ann20,nN*，考虑ak,ai,,aik14,kN*，依抽屉原理必定有两项模ikik7的余数同样，那么该两项的差是7的倍数，于是随意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不可以为7，那么最小为14.于是20个数中最罕有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的状况.文档大全适用标准文案第二试一、〔安分20分〕A,B是两个不同样的两位数，且B是由A交个位数字和十位数字所得，假如A2-B2是完满平方数，求A的.答案：65次：所属知点：数思路：于需要考不同样位数上数字的状况，可以把一个两位数ab10a+b，代数，再利用完全平方数的因数分解式也是以完满平方数的形式出，合分析全部限制下可能性，最确立果.分析：A=10a+b(1≤a,b≤9,a,b∈N)，B=10b+a，由A,B不同样得a≠b，A2-B2=〔10a+b〕2-(10b+a)2=9×11×〔a+b〕(a-b).⋯⋯⋯5分由A2-B2是完满平方数，a＞b，11|abab，可得a+b=11，⋯⋯⋯10分a-b也是完满平方数，所以a-b=1或4.⋯⋯⋯15分假定a-b=1，a=6，b=5；假定a-b=4，没有正整数解.所以a=6，b=5，A=65.⋯⋯⋯20分二、〔安分25分〕如，△ABC中，DBC的中点，DE均分∠ADB，DF均分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，PAD与EF的交点.明：EF=2PD.次：所属知点：平面几何思路：因EF、PD都在△DEF中，所以想法推出其性，比简单得出∠EDF=90°，此假定能得出EF=PD，自然可以获得.分析：由DE均分∠ADB，DF均分∠ADC，可得∠EDF=90°.⋯⋯⋯5分文档大全适用标准文案由BE⊥DE得BE∥DF，∠EBD=∠FDC.⋯⋯⋯10分又BD=DC，∠BED=∠DFC=90°，△BED≌△DFC，BE=DF.⋯⋯⋯15分得四形BDFE是平行四形，∠PED=∠EDB=∠EDP，EP=PD.⋯⋯⋯20分又△EDF是直角三角形，∴EF=2PD.⋯⋯⋯25分三、〔安分25分〕a,b,c是不全相等的正整数，且5ab有理数，求a2b2c2的最小.5bcabc答案：3次：所属知点：数思路：通a,b,c是正整数，可以把有理局部和无理局部分别考.注意到5bc0，可以通分母有理化来分别，再利用a,b,c互不相等，从最小正