九年级数学中考复习 四边形综合 考前强化提升专题训练

九年级数学中考复习《四边形综合》考前强化提升专题训练（附答案）一．选择题1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，连接EF．下列结论：①BE⊥BF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③当BE＝CD时，线段DE的长度最短．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边DC上运动（不含端点），以AE为边作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，连接DF．下面四个说法中有几个正确（）①当DE＝1时，；②当DE＝2时，点B，D，F共线；③当三角形ADF与三角形EDF面积相等时，则DE＝；④当AD平分∠EAF时，则DE＝．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF，与对角线BD分别交于点G，H，连接EH．若∠EAF＝45°，则下列判断错误的是（）A．BE+DF＝EF B．BG2+HD2＝GH2 C．E，F分别为边BC，CD的中点 D．AH⊥EH二．填空题4．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E，F分别是AD，BC的中点，△EFG是等边三角形，FH⊥EG于点H，交GC于点P，交BG延长线于K．下列结论：①∠GPK＝45°；②CP＝GP；③GC＝KF；④S△GKF＝（+）S△GCF．其中正确结论的序号是．5．如图，正方形ABCD中，点O为AC中点，线段EF经过点O，∠FOC＝60°，点G在线段OC上，OF＝OG．连接EG，FG．下列结论：①OF＝OE；②∠AEF＝75°；③；④若OF＝1，则△CFG的面积为3．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）6．如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上一点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，连接MN交AD于E点，连接DN．则下列结论中：①ND⊥BD；②∠MAE＝∠DNE；③MN2＝2ED•AD；④当AD＝MD时，则．其中正确结论的序号是．7．如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE、DE，DE与BC交于点N，取CE的中点F，连接BF，AF，AF交BC于点M，交DE于点O，则下列结论：①DN＝EN；②OA＝OE；③CN：MN：BM＝3：1：2；④tan∠CED＝；⑤S四边形BEFM＝2S△CMF．其中正确的是.（只填序号）8．如图，正方形ABCD的边长为2，AC，BD交于点O，点E为△OAB内的一点，连接AE，BE，CE，OE，若∠BEC＝90°，给出下列四个结论：①∠OEC＝45°；②线段AE的最小值是﹣1；③△OBE∽△ECO；④OE+BE＝CE．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）9．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（AE＜EC），连接DE并延长交AB于点F，过点E作EG⊥DE交BC于点G，连接DG，FG，DG交AC于H，现有以下结论：①DE＝EG；②AE2+HC2＝EH2；③S△DEH为定值；④CG+CD＝CE；⑤GF＝EH．以上结论正确的有（填入正确的序号即可）．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．下列结论正确的是．A．PD＝2ECB．四边形PECF的周长为8C．AP＝EF且AP⊥EFD．BD≤EF≤AB11．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②G为BC的中点；③CF∥AG；④，其中正确结论的序号是．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝，AB＝2，∠DAB的角平分线交边DC于点E，BG⊥AE于点G，连接DG并延长分别交BE，BC于点H，F．给出下列结论：①AD＝DE；②△BEG≌△BEC；③2GH＝BE；④CF＝2﹣1．其中正确的有．13．如图，已知正方形ABCD的边长为5，E为CD边上一点（点E不与端点C，D重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．以下各结论：①DE+BG＝EG；②若CF＝FG；则△GEC是等腰直角三角形；③若AG∥CF，则DE＝；④BG•DE+AF•GE＝25．正确的有（填序号）．14．如图正方形ABCD，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝OF；⑤FH2+HG2＝2OH2，正确的有．（填序号）15．四边形ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝3AD＝3，CE⊥BD于E，连AE，若tan∠DEA＝，则AB＝．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与D点重合），F是CB延长线上一点，且DE＝BF，连结AE，AF．（1）如图1，求证：△ADE≌△ABF．（2）把△ADE沿AE所在直线折叠后得到△AGE，连结FG，BE．①如图2，若CD＝3，DE＝1，求线段FG的长．②如图3，若E是DC延长线上一点，延长GB交AE于点Q，连结DQ．若DE＝2DC，请用等式表示线段BQ，DQ，FG之间的数量关系，并证明．17．如图，将正方形纸片ABCD折叠使点D落在射线BA上的点E，将纸片展平，折痕交AD边于点F，交BC边于点G，DC的对应边EC'所在的直线交直线BC于点H，连接DE．（1）若点E在AB边上，①求证：∠AED＝∠DEH．②当时，求sin∠BHE的值．（2）若，求的值（用含k的代数式表示）．18．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AD上一动点，把△ABE沿BE折叠得到△FBE，连接AF并延长，交CD于点G，过C作CH⊥AF于点H．（1）证明：∠BFH＝∠BCH；（2）如图2，若点E是AD中点，连接DF，CF，DH，证明：四边形DFCH是平行四边形；（3）点E在运动过程中，是否存在最大值？如果存在，请把它求出来；如果不存在，请说明理由．19．如图，矩形ABCD中，点E为对角线AC上一点，过点E作EF⊥EB交边AD于点F．（1）如图1，当AB＝BC时，求证：BE＝EF；（2）如图2，当AB：BC＝4：3时，连接EF，探究线段AB、AE、AF的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF，若△CEF面积的最大值为6，求BC的长．20．已知正方形ABCD中，点E是线段BC上的动点（不包含端点），以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°．（1）如图1，若BE＝DQ，请直接写出图中与∠AEQ相等的两个角；（2）如图2，点E在BC上运动的过程中，图中有几个角始终与∠AEQ相等？请选择其中的一个予以证明；（3）若正方形ABCD的边长为3，BE＝x，设点P到直线EQ的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．21．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，BC边上，AF⊥DE，垂足为G，CP⊥AF于点P，连接BP，DP，DP与BC交于点M．（1）求证：AE＝BF；（2）当点E在AB上运动时，∠EDP的大小是否变化？若不变，请你求出∠EDP的度数；若变化，请你说明理由；（3）若AE＝2，求MF的值．22．如图，点H是正方形ABCD的边AD上一点，连接CH，在CD的延长线上取一点E，连接AE，使得AE＝CH，延长CH交AE于点F，连接DF，AC．（1）求证：△ADE≌△CDH；（2）求∠DFC的度数；（3）请用一个等式表示线段CF，AF，DF三者之间的数量关系，并证明其正确性．23．如图（1），已知：在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝DF，AE，AF分别交BD于点G，H．（1）求证：△ABG≌△ADH；（2）连接FE，如图（2），当EF＝BG时，①求证：EF∥BG；②求的值．24．如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且满足AE＝FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求线段DH的最小值；（3）如图2，若E、F重合时，延长AG交CD于M，EC与BM交于点N，求的值．25．已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如图1，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设∠BAE＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求△AFG的面积；（3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当△ADF是等腰三角形时，求tan∠BCE的值．参考答案一．选择题1．解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，∴∠ABF＝∠ACB＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，∴BE⊥BF，故①正确；∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，∴△ADC≌△ABF，∴S△ADC＝S△AFB，∴S△ADB+S△ADC＝S△ADB+S△ABF，∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积，故②正确；∵△AFB≌△ADC，∴BF＝DC，∠CAD＝∠BAF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠DAC+∠BAE＝45°，即∠FAE＝∠DAE＝45°，在△FAE和△DAE中，∴△FAE≌△DAE（SAS），∴DE＝EF，在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2，∵BF＝DC，EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，∵（BE﹣DC）2≥0，∴BE2+DC2≥2BE•DC，∴BE＝DC时，BE2+DC2有最小值，∴当BE＝CD时，线段DE的长度最短，故③正确，故选：D．2．解：当DE＝1时，则AE＝＝＝，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE＝，故①说法正确；当DE＝2时，如图1，过点F作DH⊥CD，交CD的延长线于H，∵△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，∴AE＝EF，∴∠AED+∠FEH＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠FEH，在△AED和△EFH中，，∴△AED≌△EFH（AAS），∴AD＝HE＝4，DE＝HF＝2，∴DH＝4﹣2＝2＝HF，∴∠HDF＝45°，∵∠HDF+∠ADH+∠ADB＝180°，∴点B，点D，点F三点共线，故②说法正确；如图1，∵△AED≌△EFH，∴DE＝HF，AD＝HE＝4，∴HD＝4﹣DE，∵三角形ADF与三角形EDF面积相等，∴×AD×HD＝×DE×HF，∴4×（4﹣DE）＝DE2，∴DE＝2﹣2或DE＝2+2（舍去），故③说法正确；如图2，在AD上截取DN＝DE，连接NE，∵∠ADC＝90°，DN＝DE，∴∠DNE＝∠DEN＝45°，NE＝DN，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝22.5°，∴∠AEN＝∠DNE﹣∠DAE＝22.5°，∴∠AEN＝∠DAE，∴AN＝NE＝DN，∵AN+DN＝AD＝4，∴DN＝4﹣4，∴DE＝DN＝4﹣4，故④说法错误；故选：C．3．解：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BM＝DF，∠DAF＝∠BAM，∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AF，∴∠ABM+∠ABE＝90°+90°＝180°，∴点M，B，E在同一条直线上．∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAE＝90°﹣45°＝45°．∵∠BAE＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAE＝45°．即∠MAE＝∠FAE．在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝EF，∴EF＝BE+DF，故A选项不合题意，如图2，将△ADH绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，此时AB与AD重合，∴△ADH≌△ABN，∴AN＝AH，∠BAN＝∠DAH，∠ADH＝∠ABN＝45°，DH＝BN，∴∠NBG＝90°，∴BN2+BG2＝NG2，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAN+∠BAE＝45°＝∠NAE，∴∠NAE＝∠EAF，又∵AN＝AH，AG＝AG，∴△ANG≌△AHG（SAS），∴GH＝NG，∴BN2+BG2＝NG2＝GH2，∴DH2+BG2＝GH2，故B选项不合题意；∵∠EAF＝∠DBC＝45°，∴点A，点B，点E，点H四点共圆，∴∠AHE＝∠ABE＝90°，∴AH⊥HE，故D选项不合题意，故选：C．二．填空题4．解：∵AB＝2AB，点E，F分别是AD，BC的中点，∴四边形CDEF是正方形，∴CF＝EF，∵△EFG是等边三角形，∴FG＝EF，∴FG＝CF，∠CFG＝150°，∴∠FCG＝15°，∵FH⊥EG，∴∠HFE＝30°，∴∠PFC＝120°，∴∠GPK＝∠CPF＝45°，故①正确；作CM⊥PF，交PF的延长线于M，∴CP＝CM，GP＝GH＝CF，∵CF＝CM，∴CP＝CF，∴CP＝GP，故②错误；连接CE，作EN⊥CG于N，则∠EGC＝45°，∠ECP＝30°，设EF＝x，则GN＝x，CN＝x，∵∠KFE＝30°，∴FH＝，HK＝x，∴KF＝，∴CG＝，∴GC＝KF，故③正确；作CS⊥GF，交GF的延长线于S，则∠KGF＝90°，∠CFS＝30°，设EF＝x，则CS＝CF＝x，∴＝＝＝，故④错误，故答案为：①③．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝45°，又∵AO＝CO，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，故①正确；∵∠FOC＝∠AOE＝60°，∠EAO＝45°，∴∠AEF＝75°，故②正确；如图，过点E作EH⊥AC于H，∵∠BAC＝45°，EH⊥AC，∴AH＝EH，∵∠AOE＝60°，EH⊥AO，∴∠OEH＝30°，∴EO＝2OH，EH＝HO＝AH，∴AO＝HO+HO，∴＝，故③正确；如图，过点F作FN⊥AC于N，∵∠FOC＝60°，OF＝OG＝1，∴△OFG是等边三角形，又∵FN⊥AC，∴ON＝NG＝，∠OFN＝∠GFN＝30°，∴FN＝，∵∠ACD＝45°，FN⊥AC，∴∠ACD＝∠CFN，∴FN＝CN＝，∴CG＝﹣，∴△CFG的面积＝×CG×FN＝×（﹣）×＝﹣，故④错误，故答案为：①②③．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵将AM绕点A逆时针旋转90°得AN，∴AM＝AN，∠MAN＝90°＝∠BAD，∴∠BAM＝∠DAN，∴△ABM≌△DAN（SAS），∴∠ABM＝∠ADN＝45°，∴∠BDN＝∠ADB+∠ADN＝90°，∴DN⊥BD，故①正确；∵∠MAN＝∠MDN＝90°，∴点A，点M，点D，点N四点共圆，∴∠MAE＝∠DNE，故②正确；∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴MN2＝AM2+AN2＝2AN2，∠ANM＝45°，∵∠DAN＝∠NAE，∠ANM＝∠ADN＝45°，∴△AEN∽△AND，∴，∴AN2＝AD•AE，∴MN2＝2AD•AE，故③错误；设AB＝AD＝a，则BD＝a，∵AD＝MD＝a，∴BM＝（﹣1）a＝DN，∴MN2＝DN2+MD2＝2AN2，∴AN2＝（2﹣）a2，∵点A，点M，点D，点N四点共圆，∴∠DAN＝∠DMN，∠ANM＝∠ADM，∴△ANE∽△MDE，∴＝（）2＝2﹣，故④正确，故答案为：①②④．7．解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE，∴AB＝CD＝BE，AB∥CD，∴△NCD∽△NBE，∴＝＝1，∴CN＝BN，DN＝EN，故①正确；如图，连接AN，∵DN＝NE，∠DAE＝90°，∴AN＝NE，∵AO＞AN，NE＞OE，∴AO＞OE，故②错误；∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点，∴∠BCE＝45°，BF＝CE＝BE，FB＝FE，BF⊥EC，∴∠BCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°，∴∠ABF＝135°，∴∠ABF＝∠ECD，∵，∴△ABF∽△ECD，∴∠CED＝∠FBG，如图，作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE，∴，∴tan∠FAG＝，∴tan∠CED＝，故④正确；∵tan∠FAG＝，∴＝，∴，∴S△FBM＝S△FCM，∵F是CE的中点，∴S△FBC＝S△FBE，∴S四边形BEFM＝2S△CMF，故⑤正确；∵，∴设BM＝2x，MC＝4x，∴BC＝6x，∴CN＝BN＝3x，∴MN＝x，∴CN：MN：BM＝3：1：2，故③正确；故答案为：①③④⑤．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠ACB＝∠DBC＝45°，∵∠BEC＝90°，∴∠CEB＝∠BOC，∴点E，点B，点C，点O四点共圆，∴∠OEC＝∠OBC＝45°，故①正确；∵∠BEC＝90°，∴点E在直径为BC的圆上，如图，取BC的中点F，连接AF，EF，∴EF＝BF＝FC＝1，在△AFE中，AE＞AF﹣EF，∴当点E在AF上时，AE有最小值，此时：AF＝＝＝，∴AE的最小值为﹣1，故②正确；∵点E，点B，点C，点O四点共圆，∴∠BOE＝∠BCE＜∠BCO＝45°，∠OEC＝∠CBO＝45°，∴∠BOE≠∠OEC，∴∠COE≠∠BEO，∴△OBE与△ECO不相似，故③错误；如图，过点O作OH⊥OE，交CE于H，∵OH⊥OE，∠OEC＝45°，∴∠OEC＝∠OHE＝45°，∴OE＝OH，∴EH＝OE，∵∠EOH＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COH，又∵OB＝OC，∴△COH≌△BOE（SAS），∴BE＝CH，∴EC＝BE+EH＝BE+OE，故④正确，故答案为：①②④．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∵EG⊥DE，∴∠DEG＝∠DCG＝90°，∴点D，点E，点G，点C四点共圆，∴∠DCE＝∠DGE＝45°，∠GDE＝∠GCE＝45°，∴∠EGD＝∠EDG，∴DE＝EG，故①正确；如图，将△CDH绕点D顺时针旋转90°，得到△ADN，连接NE，∴AN＝CH，DN＝DH，∠DCH＝∠DAN＝45°，∠CDH＝∠ADE，∴∠NAE＝90°，∴AN2+AE2＝NE2，∵∠FDG＝45°，∴∠ADE+∠CDH＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°，∴∠NDE＝45°＝∠FDG，又∵DE＝DE，DN＝DH，∴△DEN≌△DEH（SAS），∴EN＝EH，∴AN2+AE2＝HE2，∴CH2+AE2＝HE2，故②正确；当点E与点A重合时，EH＝，当AE＝HC时，∵CH2+AE2＝HE2，∴AE＝CH＝EH，∴EH＝（﹣1）AC，∴EH的长是变化的，又∵点D到EH的距离不变，∴S△DEH不是定值，故③错误；如图，延长CD到N，使DN＝CG，连接NE，∵点D，点E，点G，点C四点共圆，∴∠CDE+∠CGE＝180°，又∵∠CDE+∠NDE＝180°，∴∠NDE＝∠CGE，又∵DN＝CG，DE＝GE，∴△DNE≌△GCE（SAS），∴NE＝CE，∠DEN＝∠CEG，∴∠NED+∠DEC＝∠CEG+∠DEC＝90°，∴∠NEC＝90°，∴NC＝CE，∴CD+CG＝CE，故④正确；如图，连接HF，∵∠FDG＝∠CAB＝45°，∴点A，点D，点H，点F四点共圆，∴∠DAC＝∠DFH＝45°，∴∠DGE＝∠DFH＝45°，∴点E，点F，点G，点H四点共圆，∴∠EFG+∠EHG＝180°，又∵∠EHG+∠DHE＝180°，∴∠DHE＝∠DFG，又∵∠EDH＝∠FDG，∴△DEH∽△DGF，∴＝＝，∴FG＝EH，故⑤正确；故答案为：①②④⑤．10．解：A、如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故A选项错误；B、∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故B选项正确；C、∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，∴PG＝PE，∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠BAP＝∠PFE，∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故选项C正确；D、∵EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD时，EF的最小值等于BD，当点P与点B或点D重合时，AP有最大值为AB，即EF的最大值为AB，∴BD≤EF≤AB，故选项D正确；故答案为：B、C、D．11．解：∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；故①正确；∵CE＝2DE，∴EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝CG，∴点G是BC的中点；故②正确；∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；故③正确；∵S△ECG＝GC•CE＝×3×4＝6，EF＝2，GF＝3，∴S△EFC＝＝，故④正确，故答案为①②③④．12．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝，∠DAB＝90°，AB∥CD，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∴∠DAE＝∠BAE＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，故①正确；∵AD＝DE＝，∠ADE＝90°，∴AE＝AD＝2，∵BG⊥AE，∠EAB＝45°，∴∠GAB＝∠GBA＝45°，∴AG＝BG，∴AB＝AG＝2，∴AG＝＝BG，∴BG＝BC，又∵BE＝BE，∴Rt△BEG≌Rt△BEC（HL），故②正确；∴∠CBE＝∠GBE，∵∠GAB＝∠GBA＝45°，∴∠DAG＝45°＝∠GBC，∴∠GBE＝∠CBE＝22.5°，∵AD＝AG，∠DAG＝45°，∴∠ADG＝∠AGD＝67.5°，∴∠EGH＝67.5°，∵BG⊥AE，∴∠BGH＝22.5°，∴∠BGH＝∠GBH＝22.5°，∴GH＝BH，∠BEG＝∠HGE＝67.5°，∴EH＝GH，∴BE＝2GH，故③正确；∵AE＝2，AG＝GB＝，∴GE＝2﹣，∵∠ADG＝67.5°，∴∠CDF＝22.5°，∴∠CDF＝∠GBE，又∵∠DCF＝∠BGE＝90°，∴△BEG∽△DFC，∴，∴＝，∴CF＝2﹣2，故④错误，故答案为①②③．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝5，∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFG＝∠B＝90°，AF＝AB，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝GF，∴EG＝EF+FG＝DE+BG，故①正确；若CF＝FG，∴∠FGC＝FCG，∵∠GCE＝90°，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴EF＝FC＝GF，∴BG＝DE，又∵BC＝CD，∴GC＝EC，∴△GEC是等腰直角三角形，故②正确；∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AGB＝∠AGF，BG＝GF，若AG∥CF，∴∠AGB＝∠GCF，∠AGF＝∠GFC，∴∠GFC＝∠GCF，∴GC＝GF＝BG＝，∵EG2＝GC2+EC2，∴（DE+）2＝+（5﹣ED）2，∴DE＝，故③错误；∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴S△ADE＝S△AFE，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴S△ABG＝S△AFG，∵S正方形ABCD＝S△EGC+2（S△ADE+S△AGF），∴25＝（5﹣BG）（5﹣DE）+2××（GF+EF）×AF，∴50＝25﹣5（BG+DE）+BG•DE+2GE•AF，∴BG•DE+AF•GE＝25，故④正确，故答案为①②④．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°＝∠ABE+∠BAG，∴∠CBF＝∠BAG，又∵∠AGB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABG≌△BCF（AAS），∴AG＝BF，BG＝CF，故①正确；∴CF﹣BF＝BG﹣BF＝FG，故③错误；如图，连接GO，延长GO交CF于N，作OM⊥EB于M，∵点O是AC中点，∴AO＝CO，∵AG⊥BE，CF⊥BE，∴AG∥CF，∴∠GAO＝∠NCO，又∵∠AOG＝∠CON，∴△AOG≌△CON（ASA），∴GO＝NO，AG＝CN，∴BF＝CN，∴GF＝FN，又∵∠GFN＝90°，GO＝ON，∴∠GFO＝∠NFO＝45°，OF⊥GO，OF＝GO＝ON，∴OF平分∠GFC，FG＝OF，故②，④正确；∵OF⊥GO，OF＝GO，OM⊥FG，∴FM＝MG＝OM，∵FH2+HG2＝（FM+HM）2+（MG﹣HM）2＝2OM2+2MH2，OM2+MH2＝OH2，∴FH2+HG2＝2OH2，故⑤正确，故答案为：①②④⑤．15．解：延长CE交AB于F，连接DF，取DF的中点O，连接OA、OE．∵CE⊥BD，∴∠DAF＝∠DEF＝90°，∵OD＝OF，∴OA＝OD＝OF＝OE，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AFD＝∠AED，∴tan∠AFD＝tan∠AED＝＝，∵BC＝3AD＝3，∴AD＝1，BC＝3，∴AF＝2，设BF＝x．∵∠CBF＝∠BAD＝∠BEF＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABD+∠BFC＝90°，∴∠ADB＝∠CFB，∴△CBF∽△BAD，∴＝，∴＝，∴x2+2x﹣3＝0，∴x＝1或﹣3（舍弃），∴AB＝BF+AF＝1+2＝3．故答案为3．三．解答题16．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∵∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：①如图2，连接BF，由（1）知：△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，由折叠得：∠GAE＝∠DAE，AG＝AD，∴∠GAE＝∠BAF，∴∠GAE+∠GAB＝∠GAB+∠BAF，即∠BAE＝∠GAF，∵四边形ABCD是正方形，CD＝3，DE＝1，∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，CE＝CD﹣DE＝3﹣1＝2，∠C＝90°，∴AB＝AG，在△ABE和△AGF中，，∴△ABE≌△AGF（SAS），∴BE＝FG，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，∴FG＝．②BQ2+DQ2＝FG2．证明：如图3，连接BD，由（1）得：△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，∴∠DAE+∠BAE＝∠BAF+∠BAE，即∠BAD＝∠EAF，由折叠得：∠GAE＝∠DAE，AG＝AD，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠GAE，即∠BAE＝∠GAF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BCD＝90°，∴AB＝AG，在△ABE和△AGF中，，∴△ABE≌△AGF（SAS），∴BE＝FG，∵∠BCE＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠BCD，∵DE＝2DC，∴CE＝CD，在△BCD和△BCE中，，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴BD＝BE，∴BD＝FG，设∠DAE＝α，则∠GAE＝α，∠BAE＝90°﹣α，∴∠BAG＝∠GAE﹣∠BAE＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°，∵AB＝AG，∴∠AGB＝∠ABG＝（180°﹣∠BAG）＝（180°﹣2α+90°）＝135°﹣α，∴∠AQG＝180°﹣∠GAE﹣∠AGB＝180°﹣α﹣（135°﹣α）＝45°，由折叠得：∠AQD＝∠AQG＝45°，∴∠BQD＝∠AQD+∠AQG＝45°+45°＝90°，∴BQ2+DQ2＝BD2，∴BQ2+DQ2＝FG2．17．（1）①证明：由折叠知：∠FEH＝∠FDC＝90°，FE＝FD，∴∠FDE＝∠FED，∵∠A＝90°，∴∠AED+∠FDE＝90°，∠DEH+∠FED＝90°，∴∠AED＝∠DEH．②解：设正方形的边长为5a，则AE＝2a，EB＝3a，设AF＝x，则DF＝EF＝5a﹣x，由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，∴4a2+x2＝（5a﹣x）2，解得x＝a，∵∠BHE+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝∠AEF，∴sin∠BHE＝sin∠AEF＝＝；（2）解：∵∠A＝∠B＝90°，∠BEH＝∠AEF，∴△BEH∽△AEF，∴，设BE为单位1，则AE＝k，AD＝AB＝BC＝k+1，设AF＝x，则DF＝EF＝k+1﹣x，由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2，∴k2+x2＝（k+1﹣x）2，解得x＝，∴AF＝，∴，解得BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝k+1﹣＝，∴＝＝2k．18．（1）证明：由折叠知，BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA，∵∠ABC＝∠CHA＝90°，∴∠BAH+∠BCH＝180°，∵∠BFA+∠BFH＝180°，∴∠BFH＝∠BCH，（2）证明：如图，由折叠知，AE＝EF，AB＝BF，∴BE为AF的垂直平分线，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵AB＝AD，∠BAE＝∠ADG＝90°，∴△BAE≌△ADG（ASA），∴AE＝DG，∵AE＝，∴DG＝，∴DG＝CG＝，∵AE＝EF，AE＝DE，∴AE＝EF＝DE，∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，∵∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∴∠4+∠5＝90°，∴∠DFG＝90°＝∠CHG，∵∠DGF＝∠CGH，DG＝CG，∴△DGF≌△CGH（AAS），∴CG＝DG，GF＝GH，∴四边形DFCH为平行四边形；（3）解：作HN⊥CD于N，∴∠HNG＝∠ADG，∵∠DGA＝∠NGH，∴△ADG∽△HNG，∴，又∵，∴当取最大值时，最大，又∵正方形AD边长一定，∴当NH取最大值时，最大，设正方形边长为2a，连接AC，BD交于点O，连接OH，∵∠ADC＝∠AHC＝90°，OA＝OC＝OD＝OB，∴OH＝，∴A，B，C，D，H都在以O为圆心，OA长为半径的圆上，则当H为的中点时，HN最长，当H为CD中点时，则N为CD中点，∴ON＝CN＝DN＝，又∵OC＝OA，AD2＝OC2+OA2＝4a2，∴OC＝OA＝OH＝a，∴NH＝（）a，∴，∴1+，∴的最大值为．19．（1）证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠BAD＝90°，在△BAE和△DAE中，，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ADE＝∠ABE，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，在四边形ABEF中，∠ABE+∠AFE＝360°﹣∠BAD﹣∠BEF＝180°，∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴∠ABE＝∠DFE，∴∠DFE＝∠EDF，∴ED＝EF，∴BE＝EF；（2）如图2，作EG⊥AB于G，作EH⊥AD于H，∴∠EGA＝∠AHE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴四边形AGEH是矩形，∴∠GEH＝90°，∴∠GEH＝∠BEF，∴∠GEH﹣∠GEF＝∠BEF﹣∠GEF，即：∠BEG＝∠FEH，∴△EGB∽△EHF，∴＝，∵EG＝AH，∴＝，∵∠AHE＝∠ADC＝90°，∴EH∥CD，∴△AEH∽△ACD，∴＝，∴＝，在Rt△ACD中，设AD＝3a，CD＝4a，∴AC＝5a，∴AD：CD：AC＝3：4：5，∵△AEH∽△ACD，∴AH：EH：AE＝3：4：5，∴AF+FH＝，AB﹣BG＝，∴，∴3AF+4AB＝5AE；（3）如图3，作FG⊥AC于G，设AF＝5x，BC＝3a，AB＝4a，AC＝5a，∴FG＝＝4x，3×5x+16a＝5AE，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝5a﹣＝，∴S△EFC＝＝＝﹣6x2+，∵a＝﹣6＜0，∴＝6，∴a＝，∴BC＝3a＝10．20．解：（1）如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则△ADQ≌△ABG，∴AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF＝45°，∵∠ABG＝∠ABE＝90°，∴B，G，E三点共线，又∵AE＝AE，∴△GAE≌△EAQ（SAS），∴∠AEB＝∠AEQ，∵BE＝DQ，AB＝AD，∠ABE＝∠ADQ＝90°，∴△GAE≌△EAQ（SAS），∴AE＝AQ，∠AEB＝∠AQD，∴∠AEB＝∠AQD＝∠AEQ，∠AEQ＝∠AQE，∴∠AQE＝∠AEB＝∠AQD＝∠AEQ；（2）点E在BC上运动的过程中，图中有1个角∠AEB始终与∠AEQ相等，证明：如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则△ADQ≌△ABG，∴AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF＝45°，∵∠ABG＝∠ABE＝90°，∴B，G，E三点共线，又∵AE＝AE，∴△GAE≌△EAQ（SAS），∴∠AEB＝∠AEQ；（3）∵∠AEQ+∠QEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB＝∠AEQ，∴∠QEF＝∠FEC，∴EF是∠QEC的角平分线，过点P作PH⊥EQ交于点H，∵CP⊥EC，∴HP＝CP，∵点P到直线EQ的距离为y，∴PC＝PH＝y，∵∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∵∠ABE＝∠ECP，∴△ABE∽△ECP，∴，即，∴y＝﹣x2+x，∵y＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y的最大值．21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠EAD＝∠FBA＝90°，∴∠BAF+∠DAG＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∴∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠BAF＝∠ADG，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：∠EDP的大小不会变化，∠EDP＝45°，理由如下：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵CP⊥AF，∴∠APC＝90°，∴点P、D在以AC为直径的同一圆上，∴∠DAC＝∠DPC＝45°，∴∠DPA＝∠APC﹣∠DPC＝90°﹣45°＝45°，∵AF⊥DE，∴∠DGP＝90°，∴∠EDP＝90°﹣∠DPA＝45°，即∠EDP的大小不会变化，∠EDP＝45°；（3）解：过点F作FN∥CP交DP于点N，∵AE＝2，∴BF＝AE＝2，∴CF＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，∵∠AFB＝∠CFP，∠ABF＝∠CPF＝90°，∴△ABF∽△CPF，∴＝＝＝，∵FN∥CP，∴∠PCM＝∠NFM，∠FNP＝∠CPN，∵∠CPN＝∠NPF＝45°，∴∠FNP＝∠NPF，∴NF＝PF，∵∠PCM＝∠NFM，∠PMC＝∠NMF，∴△PMC∽△NMF，∴＝，∴＝＝，∴MF＝MC，∴MF＝CF＝×2＝．22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDH＝90°＝∠ADE，AD＝CD，在Rt△ADE和Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）；（2）解：∵△ADE≌△CDH，∴∠FAH＝∠DCH，又∵∠AHF＝∠CHD，∴△FAH∽△DCH，∴，∴．∵∠AHC＝∠FHD，∴△AHC∽△FHD，∴∠DFH＝∠HAC．∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴∠HAC＝45°，∴∠DFH＝45°，即∠DFC＝45°；（3）解：CF＝AF+DF．理由：如图，在FC上截取FM＝AF，连接AM．∵△FAH∽△DCH，∴∠AFH＝∠CDH＝90°，∴∠FAM＝45°，AM＝AF．∵∠DAC＝45°，∴∠FAM＝∠DAC，∴∠FAD＝∠MAC．∵△AHC∽△FHD，∴∠ACM＝∠ADF，∴△AMC∽△AFD，∴，∴CM＝DF，∴CF＝FM+CM＝AF+DF．23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，