散热设计-传热学-第三章

第三章

非稳态导热3-1非稳态导热的基本概念1

非稳态导热的定义.t

f

(r,

)2

非稳态导热的分类周期性非稳态导热(定义及特点)瞬态非稳态导热(定义及特点)t1t0

1

0

3

243温度分布4两个不同的阶段非正规状况阶段(不规则情况阶段)正规状况阶段(正常情况阶段)温度分布主要取决于边界条件及物性温度分布主要受初始温度分布控制导热过程的三个阶段非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态5热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量6研究非稳态导热的目的：温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律t

f

(x,

y,

z,

)

;

Φ

f(

)非稳态导热的导热微分方程式：(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法

x

x

y

y

z

zc

t

(

t

)

(

t

)

(

t

)

分析解法：

分离变量法、积分变换、拉

斯变换近似分析法：

集

数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟7毕渥数本章以第三类边界条件为重点。(1)问题的分析，存在两个换热环节：a流体与物体表面的对流换热环节tfhtfhxt0tfhxt0rh

1

hb

物体

的导热r

(2)毕渥数的定义：Bi

r

hrh

1

h

Bi

r

hrh

1

h

无量纲数当Bi

时，

r

rh

，因此，可以忽略对流换热热阻当Bi

0时，

r

rh

，因此，可以忽略导热热阻0

Bi

？？(3)Bi数对温度分布的影响Bi

准则对温度分布的影响

t

Bi

Bi

0

0

Bi

1

2

23

2

1

1

0

0

0

0t

t0

1

0

2

t

t0t

t0Bi

准则对无限大平壁温度分布的影响(4)无量纲数的简要介绍基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且没有量纲。因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号l表示。对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。3-2

集

数法的简化分析定义：忽略物体

导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，Bi

，温度分布只与时间有关，即t

f

(

)，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。温度分布，任意形状的物体，参数均为已知。

0，t

t0将其突然置于温度恒为t

的流体中。当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知dhA(t

t

)

-Vc

dtd

hA

d

Vc方程式改写为：

t

t，则有dhA

-Vc

d

(

0)

t0

t

0初始条件控制方程

0dhAVc0

dhAVcln

0hAVcd

积分d

Vc

hA

e

t

t

t0

t0过余温度比其中的指数：vv

Bi

Fo

(V

A)2

h(V A)

ahV

A2

hAcV

A

V

2

c(V

A)2

a

FoBivv

h(V

A)Fov是傅立叶数

eBiv

Fov

hA

Vc

e0物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：m2

m3

K

Ww

1J

shAVc

m2K

kg

Jkg

[m3

]

36.8%

e10hA1

Vc即与

的量纲相同，当

时，则Vc

hA

1此时，上式表明：当传热时间等于

时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。hAVchA称

Vc为时间常数，用

表示。ce

1

36.8%00c

应用集Biv

Fov数法时，物体过余温度的变化曲线如果导热体的热容量（

Vc

）小、换热条件好（h大），那么单位

时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc

/hA)小。对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。(如微细热电偶、薄膜热电阻）

1.83%0hA

当

4

Vc

时，工程上认为=4

Vc

/hA时导热体已达到热平衡状态当物体被加热时(t<t)，计算式相同W

hA0e3瞬态热流量：Φ(

)

hA(t(

)

t

)

hAhA

Vc)

J00Vc导热体在时间

0~

内传给流体的总热量：

hA

(1

e

)d

VcQ

Φ(4

Biv

Fov

物理意义

1

hBi

hl

l

物体

导热热阻物体表面对流换热热阻＝无量纲热阻无量纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地

到物体

，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。l

2Fo

a

边界热扰动扩散到l

2面积上所需的时间换热时间5集

数法的应用条件采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%ivB

h(V

A)

0.1M对厚为2δ的无限大平板M

1V

A

A

ABiv

Bi对半径为R的M

12V

R2

RA

2R

2B

Bi

iv

2无限长圆柱对半径为R的球M

134

R3V

3

RA

4R

2

3B

Biiv

3是与物体几何形状有关的无量纲常数3-3一维非稳态导热的分析解1.无限大的平板的分析解λ=const

a=const因两边对称，只研究半块平壁h=const此半块平板的数学描述：导热微分方程初始条件边界条件(

0

x

,

0

)

x2t

a

t2t

t0

0x

0t

0x)

x

x

t

h(

t

t(对称性)引入变量－－过余温度令(x,

)

t(x,

)

t上式化为：

h

x

00

x

,

0

0x

0

0xxx2a

2用分离变量法可得其分析解为：此处Bn为离散面(特征值)n

n若令•n

nn0

nsin(

)

cos(

)

e

2a

n1

(x,

)

2sin(

n

)

cos(n

x)en

nn0)n

2xn

2

sin

(

x,

)

2

an1

sin

cos

n

cos(μn为下面h•为毕渥准则数，用符号Bi

表示n方程n

的h根

ctg

en2sin(

n

)

cos(n

x)n

2a

sin(

)

cos(

)n1

n

n

(x,

)

0en

n

n2sin(

n

)

cos(

n

x)n

(x,

)20

2a(

)

sin(

)

cos(

)n1因此

(

x,

)0是F0,Bi

和x

函数，即0

i0

(

x,

)

f

(

F

,B

,

x

)区别n注意：特征值

特征数（准则数）2.非稳态导热的正规状况对无限大平板当

F0

0.2

取级数的首项，板中心温度，误差小于1%20F

a

ex

(x,

)

2sin

121

0

F)0

1

sin

1

cos

11

cos(e

(0,

)

m

(

)

0

021

0

F2sin

11

sin

1

cos

1Fo数对温度分布的影响对于Fo>0.2，仅取无穷级数第一项即可.取对数上式右侧末项为常数，与非稳态导热的时间进程无关.于是x

1cos

4

sin

121

sin21

2a

ln

021ln

x,

m

=

12a

/2称冷却率或加热率•m

值对平壁的任何地点都相同平壁过余温度的对数是时间的线性函数.ln

m

f

(

0

,

Bi

,

x

/

)ex

(x,

)

21

0

F)1

sin

1

cos

12sin

11

cos(0e

(0,

)

m

(

)

0

021

0

F2sin

11

sin

1

cos

1

(

)1

(

x,

)

cos(

x

)m与时间无关Q0

cV

(t0

t

)Q0cV

(t0

t

)

0

--时刻z的平均过余温度Q0

--非稳态导热所能传递的最大热量若令Q为

[

0,

]

内所传递热量Q

cV

[t0

t(x,

)]dV

1

e121

0sin1(

F

)2

sin

11

sin

1

cos

10vdv

1v

热量的传递对无限大平板

，长圆柱体及球：可用一通式表达0

1

0

i21

0

10

Aexp(

2

F

)B

Aexp(

F

)

f

(

y

)0

及此处无限大平板y

x

Bi

h

F0

az

2长圆柱体及球y

x

RBi

hR

F0

az

R21此处的A，B及函数

f(

y

)3

正规热状况的实用计算方法－拟合公式法拟合i21BB

a

cBi1

bBiJ0

(

x

)

a`b`

x

c`

x

d`x2

3A

a

b(

1

ecB

i

)对上(述a

公

式b

中)的1

A，B，μ1，J0

可用下式021

01

2sin

1f

(Fo,

Bi,

)x

xecos(

)

1

sin

1

cos

1

(x,

)

F3

正规热状况的实用计算方法－线算图法诺谟图以无限大平板为例，F0>0.2时，取其级数首项即可三个变量，因此，需要分开来画(1)先画

f

(Fo,

Bi)m0(2)再根据公式绘制其线算图1

xm

(x,

)

cos(

x

)

f

(Bi,

)

(

)

(3)于是，平板中任一点的温度为

m0

m

0同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以绘制出。解的应用范围诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.222123-4二维及三维问题的求解一无限长方柱体(其2截1

面2为2的长方形)t

f0t0

t

f

t(x,

y,

)

t

f

y2

)

2

2

a(

x2

0

1x(x,

y,

)h(1,

y,

)

x

1(x,

y,

)yh(x,2

,

)

y

2x0

0(,x,)y

xx

0y0

0(,x,)y

yy

0

02x0

2x2

0

x

(x,0)

1x

0

(x,

)xx

(x,

)

h(

,

)x

a

x利用以下两组方程便可证明即证明了

是无限长方柱体导热微分方程的解，这样便可用一维无限大平壁公式、诺谟图或拟合函数求解二维导热问题(x,

)

(

y,

)其中

x

其中及t0

t

ft(x,

)

t

f(x,

y,

)

(x,

)

(

y,

)

2

y

a

y222yy

(

y,

)

h(

,

)y(

y,

)y0

0

0

y

(

y,0)

1y

0t0

t

ffyt(

y,

)

t

(

x,

)0

(

v,

)

0R2l2

22

12

3(x,

y,

)

(x,

)P1(

y,

)P

2(x,

y,

z,

)

(x,

)P1(

y,

)P

2

(z,

)P3(x,

y,

)

(x,

)P

(

y,

)c限制条件：一侧绝热，另一侧三类两侧均为一类初始温度分布必须为常数3-5

周期性变化边界条件下非稳态导热建筑物的外墙（围护结构），土壤都处于环境空气和 辐射的周期 变热作用下；内燃机气缸中燃气对缸壁的加热；回热式（蓄热式）换热器中冷、热流体交替流过同一个换热表面.•周期性温度波动常常可以用简谐波描述半无限大物体内的温度响应若均质半无限大物体表面温度呈周期性变化物体内温度场的基本方程不变.求解结果：

T

t

t

A

cos

2

ff,mf

(x

0,

)

t

(x

0,

)

tf,m

Aw

cos

周期性导热问题的两个重要特征1.物体内温度波的波幅沿x

方向呈递减规律变化；（上式余弦函数前的部分）反映了材料在热量传导过程中对温度波的衰减作用.以及材料的热衰减的速率与波动频率扩散率a

有直接关系.x

(

x,

)

Aw

exp

2a2ax

cos

达到一定深度以后温度波动的振幅将几乎衰减到零.「有限厚」与「半无限大」•物体内x

处的温度波比表面温度波在时间上滞后•

x

2.

温度波相位滞后T4a2a

(x,

)

Ax

cos

x

Ax

cos

T

(4a

)

x解释：夏季晴热天气时室内达到最高温度的时间要比室外最高温度 晚几个小时；.假如恰好滞后一个周期，如何？相应的

x

恰好就是一个波2

长aT

=当表面温度波推进一个波长时，振幅就已经衰减到表面温度波振幅的exp(2)，即不到0.2％。给定第三类边界条件，即物体表面外介质的温度呈周期性规律变化，物体内的温度响应是：•是物体表面温度波振幅与流体温度波振幅之比，

则是物体表面温度波相对于流体介质温度波滞后的相位角.

x

x

cos

2a2a

(

x,

)

Af

exp

周期性导热的热量传递根据傅里叶定律从温度响应求相应热流：热流密度：

x

exp

q(

x,

)

Aw42x

cos

aTaTaT

w

wcos

2

半无限大aT物体

的表4

面q

(

)

A3-5半无限大的物体半无限大物体的概念解为t

twt

t0x2

ax

0

0t

2tx4a

)4

axdy

erf

(

202e

y引入过余温度问题的误差函数

无量纲变