矩阵分析-p参考书

矩阵分析参考书矩阵分析史荣昌编矩阵分析引论罗家洪编矩阵论编第一节

线性空间一：线性空间的定义与例子和

中定义两种代数运算,一种是加法运算,来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：定义

设

V

是一个非空的集合，

F

是一个数域，在集用

来表示;另一种是数乘运算,用V第一章

线性空间和线性（1）加法交换律

(

)

(

)（2）加法结合律（3）零元素在V

中存在一个元素

0，使得对于任意的

V

都有

0

对于

V

中的任意元素

都存使得

0（4）负元素在一个元素1

（5）（7）（8）（6）

k(l

)

(k

l)

k

lk(

)

k

k称这样的

V

为数域

F

上的线性空间。例

1

全体实函数集合

RR

构成实数域

R上的线性空间。型矩阵构成的集合例

2

复数域

C上的全体

m为C

上的线性空间。mn

mC例

3

实数域

R

上全体次数小于或等于

n

的多项式集合R[x]n

构成实数域

R上的线性空间例

4

全体正的实数

R

在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：a

b

:

ab,

a,

b

Rk

a

:

ak

,

a,

k

R例

5

R

表示实数域R的集合。即上的全体无限序列组成的1

2

3ai

F

,i

1,

2,

3,

R

a[,

a

,

a

,

]

0,N

0,使得对于m,

n

N

都有在R

中定义加法与数乘：[a1,

a2

,

a3,]

[b1,

b2

,

b3,]

[a1

b1,

a2

b2

,

a3

b3,]k[a1,

a2

,

a3,]

[ka1,

ka2

,

ka3,]则R

为实数域R上的一个线性空间。例

6

在R中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成

R上的线性空间。Cauchy条件是：am

an

例7

在R中满足Hilbert条件的无限序列组成的2收敛n1级数

an子集合不构成

R

上的线性空间。Hilbert条件是：例8

在

R

中有界的无限序列组成的子集也构成]R

上的线性空间。一个无限序列[a1,a2

,a3,称为有界的，如果存在一个实数

r

，使得ai

r,i

1,

2,二：线性空间的基本概念及其性质定义:

线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩定义１给定向量组A

:1

,

2

,,

m，对于任何一组实数k1，k2，,km，向量k11

k2

2

km

m称为向量组的一个线性组合，k1，k2，,km

称为这个线性组合的系数.给定向量组A

:1

,

2

,,

m

和向量b,如果存在一组数1，2，,m，使b

11

2

2

m

m则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量

b

能由向量组

A

线性表示．给定向量组A

:1

,

2

,,

m

,如果存在不定义2中至少有一个向全为零的数k1

,k2

,,km

使k11

k2

2

km

m

0则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．定理3

向量组1

,2

,,（m

当m

2时）线性相关1

2

m的充分必要条件是

,

,,量可由其余

m

1个向量线性表示．定理

4：设向量组A

:1

,2

,,m线性无关,而向量组B

:1

,,m

,b

线性相关,则向量b必能由向量组

A线性表示,且表示式是唯一的.A0

:1

,2

,,r，满足（1）向量组A0

:1

,2

,,r线性无关（2）向量组A中任意r

1个向量（如果A中有r

1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组

（简称最大最大（线性）无关向量组设有向量组A，如果在A中能选出r个向量定义3最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩.

只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.注：线性无关向量组的最大无关组即其自身无关组）;基本性质：含有零向量的向量组一定线性相关；整体无关

部分无关；部分相关

整体相关；如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩

向量组（II）的秩；等价的向量组秩相同。例

1

实数域

R

上的线性空间

RR

中，函数组是一组线性无关的函数，其中1,2

,

,n

为一组互不相同的实数。例

2

实数域

R

上的线性空间

RR

中，函数组x1

,

x2

,,

xn是一组线性无关的函数，其中1,2

,

,n

为一组互不相同的实数。例

3

实数域

R

上的线性空间

RR

中，函数组1,cos

x,cos2x,,cos

nx也是线性无关的。e1x

,

e2

x

,,

en

x例

4

实数域

R

上的线性空间空间

RR

中，函数组1,cos2

x,cos2x与函数组sin

x,

cos

x,sin2

x,

cos2

x,

,sinn

x,

cosn

x

,

n

4.都是线性相关的函数组。使得V

中存在n

个线性无关的向量V中的任意一个向量

都可以由线性表出

k11

k22

knn第二节

线性空间的基底，维数与坐标变换定义

设

V

为数域

F

上的一个线性空间。如果在则称

为的一个基底；的坐标。此时例1实数域

R

上的线性空间R3

中向量组(1,

0,

0),(1,1,

0),(1,1,1)与向量组V1

2T(k

,

k

,,

k

)为向量

在基称V

为一个n

维线性空间，记为dimV

n.与向量组0,

11,

11,

10

0

0

0

1

0

11

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1例

2

实数域

R

上的线性空间R22

中的向量组0

1

,

1

0,

1

1

,

1

1都是R3

的基。R3

是3维线性空间。都是R22

的基。R22

是4维线性空间。例

3

实数域

R

上的线性空间

R[x]n

中的向量组(0,1,1),(1,

0,1),(1,1,

0)与向量组1,

x

2,(

x

2)2

,

,

(

x

2)n都是

R[x]n

的基底。R[x]n

的维数为

n

1.注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，

主要

有限维的线性空间。例4

在4维线性空间

R22

中，向量组1,

x,

x2

,,

xn01

,

1

0,

1

1

,

1

11

1

1

1

0

1

1

0

与向量组1在这两组基下的坐标。解：设向量A

在第一组基下的坐标为(x

,

x

,

x

,

x

)T1

2

3

40,

11,

11,

1

10

0

0

0

10

1

1

2是其两组基，求向量A

13

4

于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为y1

1,y2

1,y3

1,y4

412341112

x

0

1

x

1

03

4

1

10

1

x

11

x

1

1

1

0

1

23

43

3

3

3x

7

,

x

4

,

x

1

,

x

2的坐标是不相由此可以看出：一个向量在不同基同的。基变换与坐标变换设1,2

,

,n

（旧的）与1,2

,

,n

（新的）是

n

维线性空间V

的两组基底，它们之间的关系为1

2

ni

a1i1

a2i2

anina1i

a

2i

,

,

,

,

i

1,

2, ,

n

a

ni

1,

2

,,

n

1,2

2aa

n1将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称n

阶方阵21aP

a

n1

an

2

ann是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成1,

2

, ,

n

1,2

,n

P定理：过渡矩阵

P

是可逆的。有：任取

V

，设

在两组基下的坐标分别为1

2

n

T

T与

1

2

n

，那么x

,

x

, ,

x

y

,

y

,,

y21

2nnn

x1

x

,

)

2

(1,2

,

x

n

y1

y1

y

y

,

)

,

)P

2

(1,

2

,

(

,

,

y

y

n

n

x1

y1

x

y

2

2

P

x

y

n

n

称上式为坐标变换公式。例

1

在4维线性空间

R22

中，向量组12340,

01

,

11

11

11,

11

,

101

10

12341,

10,

100

001

,

11,

110

1

1

与向量组41

2A

3

为其两组基，求从基1,2

,3

,4

到基1,2

,3

,4的过渡矩阵，并求向量在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式1,

2

,

3,

4

1,2

,3,4

1

03

31331

32

2

11

031

31

1

0

3

1

3

3

1

2

3

31

23

43

3

3

3x

7

,

x

4

,

x

1

,

x

2向量A第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得

A

在第二组基下的坐标为1

1

y1

x1

2

1313

111

3

01

1

2

3

313

2!

(n

1)(n

2)

(a)n3(x

a)n1

(a)n1

1

(n

1)(a)n2

xx2

xn1例：在1,

x

a,(x

a)2

, ,

(x求前一组基到后一组基的过渡矩解：x

a＝

a

11

x(x

a)2

a2

1

2a x

1

x2a

a21

2a0

1(a)n1(n

1)(a)n2n3

1

0(n

1)(n

2)(a)2!1P

0

0例：在R4中，求由基

,

,

,

到基1

2

3

41

,2

,3

,4的过渡矩阵11

(1,

2,

1,

0)T2

(1,

1,1,1)T2

(2,1,

0,1)T

(0,1,

2,

2)T3

(1,

2,1,1)T4

(1,

1,

0,1)T34

(2,1,1,

2)T

(1,

3,1,

2)T并求＝（x1,x2

,x3

,x4）在基1

,2

,3

,4的坐标。1

2

3

4

1

2

3

41

2

3

4

1

2

3

4

1

1

1

10

1

2

1

2

11

1

1

0

1

12

0

2

11

1

12

12

231012(

,

,

,

)

(

,

,

,

)

(

,

,

,

)

(

,

,

,

)

1

2

3

4

1

2

3

41

2

3

42

0

2

11

1

12

12

23101213

0

01

1

1

1

11

2

0

2

1

2

1

2

1

1

11

1

1

2

11

1

2

2

01

12(

,

,

,

)

(

,

,

,

)

(

,

,

,

)

(1,2

,3

,并求＝（x1,x2

,x3

,x4）在基1

,2

,3

,4的坐标。1

2

3

41

2

3

4

x1

x

2

x

3

x4

y1

y

y

3

y4

＝（

,

,

,

）

(

,

,

,

)2

。1

2

3

4

x

x

x4

x1

＝（

,

,

,

）

2

3

2021

(

,

,

,

)

111

2

3

4

0211221

y1

3

y

1

y

3

2

y4

2

。1

y1

1

12

12

2

x1

2

0

23

y

x

12

x3

0

x

1

4

1

y3

2

y

4

2

。11x1

y

2

0

2

11

12

12

2

y

x

132

y3

x3

1

y

x

012

4

4

2

。的一个非空子集合，如果对于任意的第三节

线性空间的子空间定义

设

V

为数域

F

上的一个

n

维线性空间，W

为V,

W

以及任意的

k,l

F

都有k

l

W那么

称W

为

V

的一个子空间。例

1

对于任意一个有限维线性空间

V，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间0

以及线性空间V

本身。称例

2

设

A

Rm，n

那么线性方程组

AX

0

的全部解为n

维线性空间Rn

的一个子空间，其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组AX

0有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。解空间称为矩阵A的核或A的零空间,记为N(A).例3一组向量，那么非空子集合设1,2

,,s

为n

维线性空间

V

中的span1,2

,k11

k22

,s

kss

ki

F的基底即为向量组的维数即为向量组例

4

实数域上的线性空间

中全体上三角矩全体构成线性空间V

的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称

1,2

,

,s

为该子空间的生成元。2span1,的极1大,线2

性无关组，span1,的2秩。1,2称矩阵集合分别都构成

的子空间，Rnn阵集合，全体下R三角矩阵集合，R全n体n对称矩阵集合，问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？1

2a

=(2,3,-4,-3)T求span{a

,a

,a

}的基与维数.3

1

2

3例：设a

=(1,2,-1,0)T，a

=(0,1,2,3)T

,易知a1,a2线性无3子空间的交与和定义：设V1,V2是线性空间V的两个子空间，令V1

V2

={a

|

a

V

且a

V｝可以验证V1

V2构成V的子空间，称V1

V2为V1与V2的交空间。令V1＋V2＝a

a1

a2

|

a1

V且a2

V

和子空间

A

x

0

B

例：设是方程的解空间定理：设则：例：设a

=(2,1,3,1)T，a

=(-1,1,-3,1)T

,1

21

2T

T

=(4,5,3,1)

,=(1,5,-3,1)

,V1

span{a1,a2},V2

span{1,a2}求1、V1＋V2的基与维数.2、V1

V2的基与维数.V1

span{a1,a2

,V2

span{1,2

,,

as

},k

},

as

,

1,

2

, ,

k

}V1＋V2

span{a1,a2

,解：V1＋V2

span{a1,a2

,

1,

2}a1,a2

,1是极大无关组，是V1＋V2的基，维数为3。a

k1a1

k2a23

1设

V1

V2

有

V1且

V21

24

343

3k

0,

k

5

k

,

k

2

k2

2

4

2453

3

3

3a

k

a

5

k

a

k

(

5

,

5,

5,

)定理：（维数公式）dimV1

dimV2

dim(V1

V2

)

dim(V1

V2

)证明：设dimV1＝n1,

dimV2

n2dim(V1取(V1V2

)＝mV2

)的基a1,a2

,

,

am扩充为V1的基：a12m2m也扩充为V2的基：a1,a2

,,

am，1，

，n2V1＋V2

s1，

，

n1n2m

2m

}

kmam

p11

p2

2

令：k1a1

k2

a2

p11

1n2m

2n

m n

mm

)

kmam

p11

p2

2

p

(

1

q

n令：

=k1a1

k2a21

1知：

=k1a1

k2a2n

m n

m

kmam

p11

p2

2

1

p

V

n

m

)

V22

2

n2m

2所以：

V1

V2可令：

l1a1n2m

lmam

n

m

)

0

0

l1a1

l2a2

(n2m

2

l1

lm

01

11n

m n

mn

m

kmam

p11

p2

2

p

0

0

=k1a1

k2a2

k1

k2

km

p1

p

a1,a21，，

n

m线性无关12n

m2

V1＋V2

span{a1,a2

,，am，1

,

2

, ,

,1，，

n

m

}维数为m

(n1

m)(n2

m)

n1

n2

m子空间的直和、补子空间定义：设V1，V2是线性空间V的两个子空间，若V1

V2＝｛0｝，则称V1＋V2是直和，并用记号V1

＋V2表示V1＋V2。定理：设V1，V2是线性空间V的两个子空间，下列命题等价：1、V1＋V2是直和；2、dim(V1＋V2

)

dimV1＋dimV2

;12121

21

2nnn3、设a1,a2

,

，a，

,

,

,

n,分别是V1，a

，

,

,

,

是V2的基，则a1,a2

,V1＋V2的基。4、0向量的分解是唯一的。5、任一向量的分解唯一。证明：1、

2、显然2、

3、dim(V1＋V2

)

dimV1＋dimV2＝n1

n2

;1V1

V2

span{a1,a2n12,

n

}n1

n2

dim(V1

V2

)

rank{a1,a2

,，an

，1,

2

,1

是V1

V2的基。

a1,a2

,123、

2、

a1,a2

,

，an

，1,

2

,,n

是V1

V2的基。21

dim(V1

V2

)

dim

sp1,

2

, ,

n

}1

rank

dim(V1

V2

)＝0

V1

V2是直和。定义：若V

V1＋V2;称V1与V2是V的一对互补空间定理：设V1是V的子空间，一定存在V1的补空间V2使得V

V1

＋V2例：设V1是V的子空间，V1的补空间不唯一。如：a

(1,

0,

0)T

,

a

(0,1,

0)T

,V

span{a

,

a

}1

2

1

1

2a

(0,0,1)T

,a

(0,1,1)T

,在R3中，span{a

},3

4

3span{a4}都是V1的补空间。4、线性1.定义和例子：设F是一个数域，V和W是F上向量空间。定义1

设

是V到W的一个

，如果下列条件被满足，就称是V到W的一个线性

：（1）对于任意

V

,

=

（2）

对于任意a

F,

V

,

a

a

(1)(2)

(a

+b)=a

(

)

b

()1.对于R2的每一向量

x1

,

x2

定义

x

,

x

x

,

x

x

R1

1

2

1

2是R23到R3的一个，可以证明，

是一个线性

。2：

D

:

R[x]n1

R[x]nDf

(x)

d

f

(x)dx易证D是 线性

:Rn

Rm由下式确定3：设B

(bij

mn

(

)

B

Rm易证是线性

(

)

V易证

是线性

V,称为恒等

Rn4：设

:V

V由下式确定，记为E。

(

)

0

V2易证

是线性5：设

:V1

V2由下式确定

V1,称为零映射，记为0。线性 的简单性质(1)(0)=0n

n(2)

(

kll

)

kl

(l

)l

1

l

1(3)若：1，2，，n线性相关，则

(1

)，

(2

)，，

(n

)线性相关。反之，不成立。注！的矩阵表示，an，1,

2

,,m

,分别是V1，V2的基，线性设a1,a2

,

是V1

mi1j则

(a

)

ij

ia

,

(1，2，

，n)m

a1

j

a

,

)

(1,

2

,2

j

a

mj

,

(a1))m

mmi1

i i

2

iin

ia

)i1i1

(

i1记：

(a1，a2，，an

)(

(a1

),

(a1

),a

,

a

,

，21

22m1

m

2maaaa

a11

a12a1n

aaaa

aa1n

a11

a12

a21

22,

)

2n

a

m1

m

2mn

a

mn

记：

(a1，a2，，an

)(1

,2

,记：A

2n

,则

(a1，a2，

，an

)

(1

,

2

, ,

m

)A称A为线性 在相应基下的矩阵表示。任给

V1,的坐标与＝

(

)的坐标之间的关系1

2nm

x

,

a

)

2

(a

,

a

,

x

n

y1

y

,

)

2

y

m

任给

V1

,

x1

＝

(

)

(1,

2

,

(1,

2

,21

2n1

n

x1

x1

x

x

,

a

)

2

(

(a

), ,

(a

))

x

x

n

n

＝

(

)

(a

,

a

,1

y

m

y

x

x1

x

,

m

)A

2

x

n

1

x

n

y2

=A

x2

性映射，使定理：设a1,a2

,

，an，1,

2

, ,

m

,

分别是V1，V2的基，A是mn矩阵，则存在唯一的V1

在这两基下的矩阵是A。证明：

V11

2nx

x1

,

a

)

x2

(a

,

a

,

n

m令：

(1,2

,

x1

x

,

)A2

x

n

则：V1

V2的变换令变换：

（）＝下证它是线性变换即可（＋

）

(1,

2

,

x1

x1

x

x

,

m

)A

2 2

x

x

n n

m2

x1

x

(1,

2

, ,

)A

x

n

＝（）＋（

）1

2m＋(

,

,

x1

x

,

)A2

x

n

m（）

(1,

2

,2

x1

x

,

)A

x

n

m

(1,

2

,

x1

x

,

)A

2

x

n

（1

1

2

nn

1

0

0

0

,

a

)

a

(a

,

a

, ,

a

)

a

(a

,

a

,n

1

2

0

1

1

(a1,

a2

,,

an

)

m01

010

(1,

2

, ,

)A

0001

(1,

2

, ,

m

)A(1,

2

, ,

m

)A下证唯一性：若还有1

(a1,

a2

1

(a1

,

a2

,,

an

),

an

)＝

(a1

,

a2

,

1

(ai

)

(ai

)

V12211

2

n1

1

2

n

x1

x1

x

x

(

)

(a

,

a

, ,

a

)

(a

,

a

, ,

a

)

(

)

x

x

n

n

1在基给定以后，线性变换与矩阵是一一对应的还可以定义两个线性变换的和与积等等，它们分别对应于矩阵的D

:

R[x]n1

R[x]n例：求线性Df

(x)

d

f

(x)dx在基1,

x,

x2

, ,

xn与基1,

x,

x2

, ,

xn1一的矩阵。解：D(1)

0,

D(x)

1,

D(x2

)

2x, ,

D(xn

)

nxn100

0

n

0D

0n(n

1 2

1

0 1

例：设B

1:R2

R3定义为（）＝BTT1

21T

(1,

0,

0)

,求

在基

＝（1,0），

＝（1,1)

与基1

2

1

2

32

(0,1,0)

,

(0,0,1)

下的矩阵。T

T3解：

(1

)

1

2

,

(2

)

31

22

3

1 3

2

(

,

)

(

,

,

)

1

0 1

1定理：线性映a1

,

a2

,1

,

2

,,

an

;

a1,

a2

,,

n

;

1,

2,,an是V1的两组基，过渡阵为P。,n是V2的两组基，过渡阵为Q。

在a1

,a2

,

在a1,a2

,,an与1,2

,,an与1,2,,n下的矩阵为A,n下的矩阵为B则

B

Q1

AP证明：

(a1,

a2

, ,

an

)＝（1,

2

, ,

n）A（a1,

a2

, ,

an）＝（1,

2,,

n）B（a1,

a2

,（1,

2,

(a1,

a2

,,

an）＝(a1,

a2

,,

n）＝（1,

2

,,

an

)P＝（a1,

a2

,,

an

)P,

n）Q,

an）=（1,

2, ,

n）B

=（1,

2

, ,

n）QB

(a1,

a2

,（1,

2

,,

an

)＝（1,

2

, ,

n）A,

n）AP

=（1,

2

,,

n）QB

AP

QB

B

Q1

AP5、线性 的值域、核定义：设：V1

性映射，令（V1）＝｛＝（）V2

|

V1｝称（V1）为的值域，记为R(

),dimR(

)称为的秩（V1）是V2的子空间。定理：设：V1

，a1,

a2

, ,

an与1,

2

, ,

m分别为V1,V2的基

在这对基下的矩阵为A。则：1、R(

)＝（V1）

span(

(a1

),

(a2

),

,

(an

))2、dimR(

)＝rank(A)。

xnan

)证明：1、

V1

（）=(x1a1

x2a2

=x1(a1

)

x2

(a2

)

xn

(an

)

（V1）

span(

(a1

),

(a2

), ,

(an

))2、dim（V1）为

(a1

),

(a2

), ,

(an)的最大无关组所含向量的个数。,

an

)(

(a1

),

(a2

),

,

(an

))＝

(a1,

a2

,

(a1,

a2

, ,

an

)＝（1,

2

, ,

m）A

dimR(

)＝rank(A)。（1,2

,

,m）Ax

0与Ax

0同解定义：设：V1

性映射，令11N(

)

(0)=｛

V

|

（）

0｝称N(

)为的核，dim

N(

)称为的零度。易证，N

(

)是V1的子空间。定理：设：V1

V2dimN

(

)

dimR(

)

n性映射，dimV1

n,则证明：设dimN(

)

ra1,

a2

,,ar为它的基扩充成V1的基a1,

a2

, ,

ar

,

,

an，R(

)＝（V1）

span(

(a1

),

(a2

), ,

(an

))

span(0, ,

0,

(ar

1

), ,

(an

))

span(

(ar

1

), ,

(an

)),

(an

)只要证

(ar

1

),线性无关即可，设kr

1

(ar

1

)

(kr

1ar

1

kr

1ar

1

kr

1ar

1

kn

(an

)

0

knan

)

0

knan

N

(

)

knan

c1a1

crar

kr

1

kn

0

dim

R(

)＝n

r例：设：V1

V2性映射，dimV1

n,dimV2

ma1,

a2

, ,

an与1,

2

, ,

m分别为V1,V2的基在这对基下的矩阵为A=(1,,2

)。则mn

(a1,

a2

, ,

an

)＝（1,

2

, ,

m）A

(ai

)＝（1,

2

, ,

m）iR(

)＝（V1）

span(

(a1

),

(a2

), ,

(an

)),

m）n},n

}

span（{

1,

2

, ,

m）1,

（,

1,

2

,又

R(A)

{y

|

Ax

y,

x

Rn}取

xi

ei

,

Axi

i

,

R(

A)

span{1,2

,N

(

)

{x

|

(x)

0},

N

(A)

{x

|

Ax

0,

x

R

n}21

2

n1

2

n1

2

n

x1

x1

x

x

x

(

,

, ,

)

,

x

N

(

)

(x)

(

,

, ,

)

2

0

x

x

n

n

x1

x1

x

x

(

,

, ,

)

A

2

0

A

2

0

x

N

(

A)

x

x

n

n

例：设线性：1

2

3T1)

,

T(0,1,1)

与T1,1，1

(1,

0,

＝（－

）,1＝（1,1）T

,

(0,2)T

下的矩阵为1

1A

1

0 2

求的核子空间与值域。1解：N

(

)｛

x11

x22

x33

x1

(1

)

x2

(2

)

x3

(3

)

0

x1

1

2

3

x

3

(

,

,

)

x

0

(

,

)

A

x

0

x1

2

1

2 2

x

3

x1

2

x

3

A

x

0,

111

02

x

1

x

0

x

c

2

x1

2

2

x1

3

x

1

3

3

x11

x22

x33

c(31

22

3

)

N

(

)

span(31

22

3

)R(

)

span(

(1

),

(2

),

(3

))R(

)

span((1,

2

)

A)1

111

2

02

)

span((

,

)

1

span{1,

1

2

,

1

22}

span(1,

2

)

3

N

(

A)

span{

2

}

1

1

1

1R(

A)

span{

0

,

1,

2

}

6、线性变换的不变子空间定义：设：V

。设a1,

a2

, ,

an为V的基21

22naaaa,

an

)

A

a11

a12a1n

a,

a

)

2n

a

n1

n

2nn

记：

(a1，a2，，an

)(a1,a2

,

(a1,

a2

,A称为线性变换的矩阵试证：A为满秩的？1

2n设在基a

,a

,,an下的坐标为（x1,x2

,,

x

)T1

2设()在基a

,a

,,

a

下的坐标为（y

,

y

, ,

y

)Tn

1

2

n

y1

x1

y

x

2

2

A

y

x

n

n

例：设线性变换A:R3

R3把基

1

0

1

111

＝

1

，

＝

2

，

＝

0

－1－1－1111

1

0

0

0

＝－1，

＝

1

，

＝

3

－1