课件-p4.2微积分基本公式

4.2

微积分基本公式启发积分上限函数及其导数——

公式1例由定积分的物理意义，路程为2TT1v(t

)dt设某物体作直线运动,已知速度v

=v(t)又，若物体在这段时间内的路程函数为s

=s(t)这段路程又可表示为s(T2

)

s(T1

)是时间间隔[T1,T2]上t

的续函数,且v(t

)

0,21TTv(t

)dt

s(T2

)

s(T1

).s

(t

)

v(t

)其中为了叙述上的方便,引入原函数的概念.21.启发(v(t)和s(t)的关系)3原函数的定义定义4.2

如果在区间I上,F

(x)

f

(x)或dF

(x)

f

(x)dx

,则称F(x)为f

(x)在I上的一个原函数.例(sin

x)

cos

x即dsin

x

cos

xdx原函数.

sin

x

是cos

x

在(,)sin

x

C

也是cos

x

的原函数,其中C为任意常数.一般,

若F(x)为f

(x)的一个原函数,

则F

(x)

C

亦为f

(x)的原函数(C为任意常数).一个函数如果有原函数,就有无穷多个.还有别的形式的原函数吗f

(x)

0

f

(x)

C

（第六章证明）4引理的全部原函数.如果F

(x)是f

(x)的一个原函数,则F

(x)

C 是f

(x)结论5定理如果F

(x)是f

(x)在区间I上的一个原函数,则f(x)在区间I上的任一原函数都可表为F(x)

C0

的形式,其中C0

为某一常数.证设G(x)为f

(x)的另一个原函数,则

G(

x)

f

(

x),

又

F

(

x)

f

(

x),因为

G(

x)

F

(

x)

G(

x)

F

(

x)

f

(

x)

f

(

x)

0故F

(x)

G(x)

C0

G(x)

F

(x)

C02

12TT1v(t

)dt

s(T

)

s(T

),其中s(t

)

v(t

).启发定积分的计算是否可化为6原函数在上限的值减去下限的值所以s(t)为v

(t)的一个原函数,定积分af

(t

)dt称为积分上限函数注7有一个对应值,如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则它在[a,b]上定义了一个函数,记为(x).设f

(x)在[a,b]上可积,

则对任一点

x

[a,

b],x

(

x)

一定要分清函数的自变量x与积分变量t.2.

积分上限函数及其导数xaf

(t)dt(

x)

下面这个函数的可导性.abOtx这个函数的几何意义

是如图红色部分的面积函数.yy

f

(t

)

(

x)8证

(

x

x)

则积分上限函数因为是[a,b]上的可导函数,其导数等于被积函数在上限处的值.即dxd(

(

x))

(

x)

af

(t

)dt

(

x)

xaf

(t

)dt

f

(

x),

(a

x

b)dxd从而(x)是f

(x)在[a,b]上的一个原函数.f

(t

)dtx

x积分上限函数的性质定理(原函数存在定理)设f

(x)C[a,b],xa

x9(

x

x)

(

x)

(

x)

limx0

(

x

x)

(

x)10xx0x0积分中值定理

f

(

)x,

在x与x

x之间.xxxf

(t

)dtxa

f

(t

)dtx

xaf

(t

)dtf

(t

)dt

(

x

x)

ax

xxaf

(t

)dt

(

x)

x

xaaxf

(t

)dtf

(t

)dt

x因f

(x)在[a,b]上连续,

(

x)

lim

lim

f

(

)

lim

f

(

)

f

(

x)定理

:af

(t

)dt

(

x)

就是f(x)的一个原函数.积分运算和微分运算的关系,它把微分和积分联结为一个有机的整体.所以它是微积分学基本定理.连续函数f(x)一定有原函数,xxaf

(t

)dt

(

x)

(

x)

f

(

x)11axf

(t

)dt

dxd(1)d(2)g(

x

)a

f

(

x)f

(t

)dt

f

[g(

x)]

g

(

x)

d

dxxaf

(t

)dt

f

(

x)(sin

x)

cos

x,12(sin

g(

x))

cos

g(

x)

g(

x)ag(

x

)dx

d

dxf

(t

)dt

f

[g(

x)]

g(

x)其他变限积分求导:xag(

x)

f

(t

)dt

d

dx(4)xa

g

(

x)

g(

x)

xaf

(t

)dtdx13df

(t

)dt

g(

x)

f

(

x)[ca(

x

)b(

x

)cf

(t

)dt

d

dx(3)b(

x

)a(

x

)f

(t

)dt

d

dx

f

b(

x)b(

x)

f

a(

x)

a(

x)f

(t

)dt]c

[a,

b]x14b(

x)

t

sin

tdtaxF

(

x)

t

sin

tdtxb(

x)

[

t

sin

tdt]

x

sin

xaxF

(

x)

[

t

sin

tdt]

x

sin

xb2

xG(

x)

t

sin

tdt2

xG(

x)

[

t

sin

tdt]

2x

sin

2x

(2x

)b

2x

sin

2x

2x

ln

2例(

x

3

)26

3x2

e

x（

x3）

b

e

x3t

2dt

e1522

x

x

3

te

dt4

2

x

e

x6

3

x2

e

x(

x

)3

2(

x

)

e

e

2

2（

x2）3

（

x

）ex

(ex

)

ln

x2x

sin

t

dtdx

d

e

x

sin( ln

x

)

(ln

x)]e

x

e

xx

ln

x2sin

t

dt

dx

d

ln

x2

sin

t

dt

dx

d

e

xt

dt

xt

dt

x2

[sine

x

2

x

sinln

xe

x

2

x

sinln

xt

dt

x2ex

sin

x

sin ln

xe

x

2

x

sinln

x16x0(

x

t

)

f

(t

)dt

dxd(

x

x)

f

(

x)

0对吗?错!17x0(

x

t

)

f

(t

)dt

xx00tf

(t

)dtxf

(t

)dt

xx

x00tf

(t

)dtf

(t

)dtx0(

x

t

)

f

(t

)dt

d

dxxx00tf

(t

)dt

d

dxf

(t

)dt

)

(

x

d

dxx0f

(t

)dt

0xf

(t

)dt.正确解答xf

(

x)

xf

(

x)xa3.

—定理（

-公式公式）的一个原函数,则如果F

(x)是连续函数

f

(x)在区间[a,b]上baf

(

x)dx

F

(b)

F

(a)xaf

(t

)dt

(

x)

都是f(x)在[a,b]af

(t

)dt

F

(a证因为F

(x)及上的原函数,故有

(x)

F

(x)

C,x

[a,b]C是待定常数,即有x)

C

,

x

[a,

b]

0C

F

(a)18xaf

(t

)dt

C

F

(a),baf

(

x)dx

F

(b)

F(a)(Newton)—

(Leibniz)公式称为微积分基本公式特别,令x

b,baf

(

x)dx

ba

F

(

x)F

(b)

F

(a)xaf

(t

)dt

F

(

x)

CF

(

xb)

F

(a)19bbaf

(

x)dx

F

(b)

F

(a)

ba

F

(

x)微积分基本公式表明续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题.20例101

1

x2

dx421

arctan

x

10

arctan1

arctan

04

0

22例

sin

2

dx0x02

1

(

x

sin

x)

202

12

(1

cos

x)dx

1

[(

1)

(0

0)]2

2

14 2220

cos

x例计算曲线y

sin

x在[0,

]上与x轴所围成的平面图形的面积.y

sin

x解面积A

0

sin

x

dx

(1)

1

2Oxy23例0

x

1,5, 1

x

2,2

x,设f

(x)20求解20120

15dx2

xdx

101210f

(

x)dxf

(

x)dx

21f

(

x)dxxf

(

x)dx.yO5241

2

x2

5

x

1

5(2

1)

6222max{

x,

x

}dx解由图形可知f

(

x)

max{x,

x2

}原式112022x

dx

10xdx

212x

dx

x2

,

x,

x2

,

2

x

00

x

11

x

2xOyy

x2y

x

221

0

(2)3

1

23

13

2

325例解01

sin

2

x

dx2求01

sin

2

x

dx20(cos

x

sin

x)2

dx20

(sin

x

cos

x)

4

02cos

x

2

2

224(

cos

x

sin

x)04(cos

xsin

x

dxsin

x)dx

4226(sin

x

cos

x)dx10x(2

x

1)

dx解22原式14

1当0

x

1

时,

x(2x

1)

0;当1

x

1时,

x(2x

1)

0.2令x(2x

1)

0

x

0,x

1

.0dx1212x(2x

1)

x(2x

1)dx27解102x f

(t

)dt,求f

(x).例

f

(

x)

C[0,1],

f

(

x)

2

x

102x f

(t

)dtf

(

x)

2

x

102f

(t

)dt,

2

x

x10f

(t)dt,设a

f

(

x)

2x

ax2

,10

a

f

(t

)dt

102(2t

at

)dt1033

3

(t

2

a

t

)

1

a428

a

3定积分为常数！解设求10f

(

x)d

x

a

,设20f

(

x)d

x

b则29求x0f

(t

)dt(

x)

例f

(x)

sin

x,解x0(

x)

x0

(

cos

t)

cos

x

1x0(

x)

x0

(

cos

u)

cos

x

1x0(

x)

x030

(

cos

x)

cos

x

1f

(t

)dt

x0sin

tdtf

(u)du

x0sin

uduf

(

x)dx

x0sin

xdx

x

1,1,

当

1

x

0时,当0

x

1时,当1

x

2时.例

已知函数

f

(

x)

x,求积分上限的函数1xf

(t

)dt.

(

x)

解分段函数x11dt

当

1

x

0时,当0

x

1时,x1

(

x)

tdt

x1`,

12

2x2222

x

3

,当1

x

2时.(t

1)dt

xx

1,错!31

x

1,

1,

当

1

x

0时,x,

当0

x

1时,当1

x

2时.已知函数f

(x)

求积分上限的函数1xf

(t

)dt.

(

x)

正确做法x11dt

x

1.当x

[1,0)时,x1f

(t

)dt

(

x)

当x

[0,1]时,x1

(

x)

f

(t

)dt

1dtx01x20

t

dt

1

2

.当x

(1,2]时,x1f

(t

)dt

(

x)

101dt

01tdt

x1(t

1)22

xdt

x

10

x

1320

x

1x

10

1

2332当1

x

2时.x2

x

,x2

x

1,

当

1

x

0时,当0

x

1时,(

x)

1

2

,0

x

1

x

1

x

2

x

2f

(

x)

求x0f

(t

)dt(

x)

在[0，2]上的表达式解

当

x

[0,1]x0f

(t

)dt(

x)

x0t

3333

x当

x

[1,2]x0(

x)

x1102tdtt

dt

3

2

12

62

2

1

x

1

xf

(t

)dt

x10

1f

(t

)dt

x02t

dt

340

1xx0f

(t

)dt

1

2解n

n

1n

21n

n

11

例求极限limnn

i

1

n

i1lim

inn1

1n

lim

i

1

1

nxiidx0

ln(1

x)

1

ln

2n

i

ibaf

(

x)dx

limf

(

)x

(1)

0

i

1用定积分求极限时,需将(1)式中的两个任意量用特殊的值处理.3510

1

x136填空题n

nnn

n

1

cos

n

lim

1

1

cos

1

cos

2

2

2n

i

11

cos

i

1n

n102