中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想

中学数学中重要的数学思想――分类讨论的思想依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点做分类的思想究和求解的方法叫做分类讨论的方法。分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；反比例函数k/x的反比例系数k，正比例函数的比例系数k，一次函数kx+b的斜率k与图象位置及函数单调性关系；幂函数xn的幂指数n的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；y=axy=logax中底数aa＞10＜1对函数单调性的影响；等比数列前nq=lq≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)时正数与负数对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在象限与三角函数符号;„„当你对以上各种情况“心中有数”时，分类讨论便不再令人望而生畏。例1设首项为1，公比为q(q0的等比数列的前n项之和为Sn又设Tn=Sn/(Sn+1)(n=1，2，„)，例2不等式的解集( (A){x∣-2≤x≤2}(B){x∣-√3≤x＜0或0＜x≤2}(C){x∣-2≤x＜0或0＜x≤2}(D){x∣-√3≤x＜0或0＜x≤√3}分析：使不等式有意义的x的范围是-2≤x＜0∪0＜x≤2．题设不掉绝对值符号，化为无理不等式处理。解：(1)当x>0时，∣x∣/x=1，原不等式等价于√(4-x2)≥-1．由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2；(2)当x＜0时，∣x∣/x=-1，原不等式等价于√(4-x2≥1由4-x2≥0;4-x2≥1;x＜0得-√3≤x<0．{x｜-√3≤x＜00＜x≤2}(B)．3当α0180x2+y2cosα=1?α=0=1x2+y2=1，显然这是单位圆；当°＜sα＜α＞，）＞1=ax轴上；α=180=-1x轴上的等轴双曲线。α0180°变化时，曲线从单位圆、椭圆、平行直线到双曲线、等轴双痛快。例4解不等式loga(1-1/x)＞1． [96理(20)]分析：由于对数函数的增减性与底数a0＜a＜la＞l两也要注意同解性。解：为了使不等式有解，必须a＞0且a≠1．0°＜α<90x2/1+y2/(1/cosα)=1,它表示焦点在y1；长半轴√(1/cosα)αα＝90＝0x2=1，x=±l，它表示两条平行直线；评注：当a＞l与0＜a＜l同．这类题目对分类讨论思想的考查是隐蔽的，对数函数性质清楚的同学可以一眼洞穿。例5 从0,1,2,3,„8这九个数字中，任取三个数字排成三位数，且6可当9用，可以组成多少个不同的三位?6的作用特别，就按所排成的三位数中有或没有6680不能作百位数，故这三个数字又有两种取法：0p7302P72个；66900的问题，共有两种取法：60260的三位数有2P21C71P22个．∴满足条件的三位数共有：P73+2P72+2C11C72P33+2P21C71P22=602(个)．答：这样的三位数一共可以组成602个．6a≠-1/2x(x+4a)(x-6a)/(2a+1)＞0．2a+16a的大小也需要再分类讨论．解：(1)当2a+1＞0，即a＞-1/2时，原不等式化为(x+4a)(x-6a)＞0．①当a＞0时，-4a＜0＜6ax＜-4a或x＞6a；②当a=0时，-4a=6a=0，原式化为x2＞0,∴x≠0；-1/2＜a＜0时，6a＜0＜-4a,∴x＜6a或x＞-4a．(2)当2a+1＜0即a＜-1/2时，原式化为(x+4a)(x-6a)＜0∵6a＜0＜-4a，∴6a＜x＜-4a．综上讨论，不等式的解集为：a＞0︱x＜-4a或x＞6a}；当a=0时，{x︱x≠0，x∈R}；a∈(-1/2,0)时，{x∣x＜6a或x＞-4a}；a∈(-∞-1/2)时，{x∣6a＜x＜-4a}．例7已知集合A={(x，y)∣(y-3)/(x-2)=a+1}，B={(x，y)∣(a2-1)x+(a-1)y=15}，若A∩B=Φ，求实数a的取值范围。a=1,∴A∩B=Ф；a≠1时，A∩B=Ф等价于方程组显然方程组无解等价于方程③无解或方程③有一解x=2(为什么?)．而方程③有无解又要对a2-1是否为零即a是否等于±1分别讨论：①当a=1时，③化为0²x=15，无解，与(1)同；a=-10²x=2lAB=Ф成立；③当a≠-1时，方程(3)可化为x=(2a2-3a+16)/2(a2-1)x=22a2+3a-20=0a=-4a=5/2A∩B=Ф．(1)，(2)a=±1，-4，5/2时A∩B=Ф．评述：本命题实质是判定以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与其准线的位置关系(即是相交、相切、相离)。大家再一次看到量（e）变引起质（位置）变的数学例子。例9设圆锥PO的母线长为2，轴截面面积为1，则过顶点O的圆锥PO的截面面积的最大值．θ，则S=1/2³2³2sinθ=2sinθ=1，∴sinθ=1/2，θ=30°或150°．θ=30OPO()此时截面等腰三角形的顶角都小于轴截面的顶角30范围内，正弦函数是S=1/2³2×=2sinαα=θ=30最大＝1；当θ＝150°时，过顶点O的截面的两条母线互相垂直时，截面面积最大，此时S最大=1/2³2³2³sin90°=2．综合可知，过顶点O的圆锥PO的截面面积的最大值为1或2．例10在直角坐标系中，设矩形．OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1-2t，2+t)，R(-2t，2)t∈(0，+∞)OPQRS(t)．OPQR在第一象限内的部分是什么图形．由于O为定点，当tP(1，t)恒在第一R(-2t，2)(-2t＜0，2＞0)Q(1-2t，2+t)1-2t可Qy一象限内的部分可能是三角形也可能是直角梯形，故需分类求解．Q1-2t＞00＜t＜1/2QRy轴相交K．直线QR的方程是(y-2)/(2+t-2)=(x+2t)/(1-2t+2t)，即y-2=t(x+2t)，令x=0，得y=2+2t2，∴S(t)=SOPQR-SOKR=∣OP∣²∣PQ∣-1/2|OR|²|RK|.∵∣OP∣=√(1+t2),∣OR∣+2√(1+t2),∴√(1+t2)•2√(1+t2)-1/2³2(1+t2)²2t=2(1-t+t2-t3);(2)当1-2t=0即t=1/2时，Q点坐标为(0，5/2)∴S(t)=SOPQ=1/2³5/2³1=5/4；1-2t＞1/2点在第二象限，设PQ与y轴相交于点LPQ的方程是(y-t)/(2+t-t)=(x-1)/(1-2t-1)x=0y=t+1/t,∴L(0,t+1/t)目，应尽量选择更简便的方法。小结：分类讨论的思想在求解函数、方程、不等式、排列组合，几何等数学问题中有广泛的应用．用分类讨论解答数学问题的主要步骤是：①分析题目条件，明确讨论的对象，确二级分类；③逐类进行讨论、求解；④归纳小结，得出综合后的结论。强化训练(A)1或-1(B)0或-1(C)0或1(D)0或1或-1(3)Z∈CZ2-3∣Z∣+2=0()(A)2(B)3(C)4(D)62．填空题．已知函数f(x)=lg(a+2)+sinx的最大值为2，则a= ；不等(k2-1)x2+2(k+1)x+1＞0对x∈R恒成立，则实数k的取值范围不等式的解集；过点P(2，3)且与圆x2+y2-2x=0相切的直线方程已知cosα=1/7，cos(α+β)=-11/14，则cosβ= ;3．解答题．(1)求不等式√(4-x2）-∣x∣/x≥0的解集；xlg(ax2+3x-1)＞lgx；设函数f(x)=1-1/2cos2x+a3，求x的值；a＞0，a≠1，t＞01/2logatloga(t+1)/2的大小；8682人加入校篮球代表队，且1?y2-ax2=1(a是