zw-高一数学人教版必修四课件第三章三角恒等变换3高效整合

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老师高中数学·必修4智维私教

985/211重点高校大学生实时一对一第三章三角恒等变换知能整合提升1．(1)公式C(α－β)是由向量数量积的坐标表示推导出来的，体现了向量的工具性．(2)

公式C(α

＋β)是推导其他公式的出发点，公式S(α

＋β)就是转化为π2C

－（α＋β）

＝C

π

2－α

－β

，利用C＋(α

β)得到的．和差角推导过程中，注意“以－β

代替β”的思想．C(α－β)，C(α＋β)的公式特点：同名相乘，符号反．S(α＋β)，S(α－β)的公式特点：异名相乘，符号同．

T(α±β)的符号规律为“分子同，分母反”．要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用．2．推导倍角公式，把握“二倍”原则(1)分别令公式C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)中的α＝β，即得公式C2α，S2α，T2α.

(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2

即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．(3)公式变形．升幂公式：cos

2α＝2cos2α－1，cos

2α＝1－2sin2α.降幂公式：cos2α＝1＋cos

2α22，sin

α＝1－cos

2α

2.3．掌握角的变换，顺利解决化简、证明、求值问题应用公式时，注意分析已知角与已知角，目标角与已知角间的关系．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝(α＋β)－α＝(β－α)＋α，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(β＋α)－(β－α)，2β＝(α＋β)＋(β－α)＝(β＋α)－(α－β)，2α＋β＝(α＋β)＋α，α＋2β＝(α＋β)＋β，α＋β＝＋α＋β

α＋β2

2，α－β＝α－β

α－β22＋

，22α＋ββ

αα－ββ

α

＝α－2－2－β，

＝α＋2－2＋β.其中，分析角之间的互余、互补关系，可以利用诱导公式简化运算．4．和(差)角公式推导辅助角，研究三角函数性质运用和(差)角的正、余弦公式，可以将形如y＝asin

x＋bcos

x

的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)]的函数，进而研究函数的周期、最值、单调性及相关图象变换等．热点考点例析三角函数式的求值三角函数的求值有三种类型：给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题．给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的

．(函数值，然后确定所间上单调的函数名称，以便于角的确求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是(0，

ππ值；若所求角的范围为－2，2，选择求所求角的正弦值．π

1已知－2＜x＜0，sin

x＋cos

x＝5.(1)求sin

2x

和cos

x－sin

x

的值；(2)求sin

2x＋2sin2x1－tan

x的值．解析：

(1)由

sinx＋cos

x251

1＝5，平方得

1＋sin

2x＝

，π所以

sin

2x＝－24

＜x＜0，所以

cos

x＞sin

x，25，因为－2所以

cosx－sinx＝

1－2sin

xcos

x＝75.(2)1－tan

xsin

2x＋2sin2x

2sin

xcosx＋2sin2xsin

x1－cos

x＝

＝cos

x－sinxcosx2sinx（cosx＋sin

x）＝sin

2x·cos

x＋sinxcosx24

1

24－sin

x＝－25×7＝－175.

π

π

1π

1．已知sin4＋αsin4－α＝6，α∈2，π，求

sin

4α

21＋cos

α的值．

π

π

1解析：

∵sin4＋αsin4－α＝6，

π

π

1∴sin4＋α·cos4＋α＝6，π1

1sin2＋2α＝3，即cos

2α＝3.

π

又α∈2，π，2α∈(π，2π)，2∴sin

2α＝－

1－cos

2α＝－3121－

＝－2

23，1＋cos2α∴

sin

4α

＝2sin

2α·cos

2α1＋1＋cos

2α

22×－

32

2

1×3＝

＝－1＋11＋

324

215.三角函数式的化简与证明1．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②弦切互化，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等．化简的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数的种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．2．三角恒等式的证明三角恒等式的证明思路是根据等式两边的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两边化“异”为“同”．三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．解题过程中应注意：角的变化；函数名的变化；次数的变化；角的范围的变化(开方时应特别注意正、负问题)．1＋sinθ－cosθ

1＋sinθ＋cosθ求证：1＋sin

θ＋cosθ＋1＋sin

θ－cosθ2＝sin

θ.证明：1＋sin

θ－cos

θ

1＋sin

θ＋cos

θ＝θ

θ2

sin

2＋cos

2

－cos2θ2θ2－sin2θθ2

cos

2＋sin

2

＋cos2θ2＋sin2θ2＝θ

θ

θ

θ

θθsin

2＋cos

2sin

2＋cos

2－cos

2－sin

2θ

θ

θ

θ

θθsin

2＋cos

2sin

2＋cos

2＋cos

2－sin

2＝sin

θ

2cos1＋sin

θ＋cosθθ，所以1＋sin

θ－cos

θ2cos

θ

2sin＝

θ，2所以左边＝cos

θ

sin

θ2

2sin

θ

cos

θ2＋

2＝cos

2sin

2sin2

θ

cos2θ2＋

2＝2θ

θ

sin

θ＝右边，所以原式得证．

1＋3tan

θ

3＋5tan

θ

2．化简：2cos

2θ＋sin

2θ－1 cos

2θ－4sin

2θ－4—

.解析：

1＋3tan

θ

原式＝cos2θ－3sin2θ＋2sin

θcos

θ＋＝

3＋5tan

θ

3cos2θ＋5sin2θ＋8sin

θcos

θcos

θ＋3sin

θcos

θ（cos

θ＋3sin

θ）（cos

θ－sin

θ）＋3cos

θ＋5sin

θ

cos

θ（3cos

θ＋5sin

θ）（cos

θ＋sinθ）＝＋1

12

2cos

θ－sin

θcosθ

cos

θ＋sin

θcosθ

cos

θ＋sin

θ

cos

θ－sinθ

＝cos

θ（cos2θ－sin2θ）＋cos

θ（cos2θ－sin2θ）＝

2cos

θ

＝

2cos

θcos2θ

cos2θ.分类分类 思想的思想就是在研究和解决数学问题时，根据数学对象的特点，将对象分为不同的种类，然后逐步进行研究，从而达到解决三角函数教学中数学思想的运用问题的目的．分类一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当分类又可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养，其实，日常生活中对成千上万的事物进行分门别类的研究，就是分类的思想在认识事物时的具体运用．本章在求有关三角函数的值，尤其是利用同角三角函数的基本关系、半角公式时，通常对三角函数的值的正负进行判断，分区间、分象限进行，从而求得三角函数的值．已知－6≤4的最小值．2[边听边记]

∵－π

β＜π

∴－1

sin

β＜

，6≤

4，

2≤

210≤sin2β＜2，∴0≤2sin2β＜1.由已知得2sin2β＝3sin2α－2sin

α，∴0≤3sin2α－2sin

α＜1，即3sin2α－2sin

α≥0，23sin

α－2sin

α＜1，1解得2

sin

α＜1，或－ ＜sin

α≤0.3≤

32

2

2

2121

1

1

1∴y＝sin

β－2sin

α＝2(3sin

α－2sin

α)－2sin

α＝sinα－2

－4.2

3∵当

sin

α∈

，1时，y

是增函数，2∴当sin

α＝3时，ymin＝－29.

1∵当sin

α∈－3，0时，y

是减函数，∴当sin

α＝0时，ymin＝0.2综上，函数y＝sin2β－1sin2α

的最小值为－29.3．若0＜α＜π，化简1＋sin

α.1－sin

α＋原

式

＝解

析

：α

αsin2α＋cos2α－2sin

cos2

2

2

2＋α

αsin2α＋cos2α＋2sin

cos2

2

2

2αα2＝

sin

2－cos

2

＋αsin

2＋cos

2α2

α

α

αα＝sin

2－cos

2＋sin

2＋cos

2α

π∵0＜α＜π，故0＜2＜2，α当

0＜α≤π

cos

≥sin

α＞0；2

4时，

2

2当π

α＜π

α

α4＜2

2时，sin

2＞cos

2＞0.∴

1－sin

α＋

1＋sin

α＝2cos

α，0＜α≤2

2π，α

π2

22sin

，

＜α＜π.一、选择题(每小题5

分，共20

分)1．sin

75°cos

30°－cos

75°sin

30°的值为()A．1

B.12C.

2

D.

32

2解析：

sin

75°cos30°－cos

75°sin30°＝sin(75°－30°)2

.答案：

C32．已知

sin

α＝2

cos(π－2α)＝(

)，则A．－

53B．－19C.1D.

59

3解析：

cos(π－2α)＝－cos

2α＝－(1－2sin2α)2219＝2×

－1＝－

.3答案：

B4

π3．若

cos

α＝－5，α

是第三象限的角，则

sin(α＋4)＝(

)A．－7

210B.7

210C．－

210D.

210解析：

因为

cos

α＝－4

α

是第三象限的角，所以

sin

α＝－35，

5，由两角和

π

3

4π

π

2

2的正弦公式可得

sinα＋4＝sin

αcos

4＋cos

αsin

4＝－5×

2

＋－5×

2

＝－7

210

.答案：

Aππ4．函数y＝sin2x＋4＋sin2x－4的最小值为()A.

2C．－

2B．－2D.

3π

ππ

π解析：

因为

y＝sin2x＋4＋sin2x－4＝sin

2xcos

4＋cos

2xsin

4＋sin2xcos

ππ4－cos

2xsin

4＝

2sin

2x，所以所求函数的最小值为－

2.答案：

C二、填空题(每小题5

分，共10

分)π

35．已知

sin4－x＝5，则

sin

2x

的值为

．π

π

解析：

sin

2x＝cos2－2x＝cos

24－x2π

7＝1－2sin

4－x＝25.答案：7256．若1＋tan

α1－tan

α

1

＝2

016，则cos2α＋tan2α＝．解析：1＋tan

α

1

1＋tan2α

2tan

α∵

1－tan

α＝

2 016

，

∴cos2α

＋

tan 2α

＝1－tan2α

＋1－tan2α

＝（1＋tan

α）2

1＋tan

α1－tan2α

＝1－tan

α＝2

016.答案：

2

016三、解答题(每小题10

分，共20

分)7．已知A、B

均为钝角，且sinA＝5105

10，sinB＝

，求A＋B的值．5解析：

∵A、B

均为钝角且

sin

A＝

5

sin

B＝，1010

，55∴cos

A＝－

1－sin2A＝－

2

＝－2

.5103

10cos

B＝－

1－sin2B＝－

3

＝－

，10∴cos(A＋B)＝cos

Acos

B－sin

Asin

B＝－

5

×－

102

5

3

10

5

10－

5

×