计算机与信息技术学院-大二数电10ch第一章数制编码

第一章数制与编码第一节

数制第二节

编码本章的重点：数制的转换有符号数的编码常用编码第一节数制进位计数制数制转换二进制数的运算方法进位计数制数制-----计数的方法(由基数和位权两个要素构成)进位计数制-----按一定的进位方式计数的数制。数的表示-----位置表示法和多项式表示法。进位计数制=6

102

+

5

101+

4

100+

3

10-1

+2

10-2权

权

权数10，逢十进一，即9+1=10。位置按权展开式i

min

1K

10i有0-9十个数字符号和小数点，数码K

i从0-9。不同数位上的数，具有不同的权值10i。4)任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(N)10=(Kn-1

K1

K0.

K-1

K-m)10=Kn-1

10n-1++K1101+K0100+K-1

10-1++K-m

10-m基数表示相对小数点的位置十进制(654.32)10i

mii

min

1K

2i1）基数2，逢二进一，即1+1=10。2)有0-1两个数字符号和小数点，数码K

i从0-1。不同数位上的数具有不同的权值2i。任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(N)2=(Kn-1

K1

K0.

K-1

K-m)2=Kn-1

2n-1++K121+K020+K-1

2-1+K-m

2-m二进制任意进制4

05

000常用数制对照表第1节数值数制——二进制数的基本运算方法加法二进制0

+0

=0

0

+1

=11

+0

=1 1

+1

=10数码

0

1

逢二进一和

——

异或进位

——

与举例：(1010)2+(1100)2+(1011)21010 10110+

1

1

0

0

+ 1

0

1

110110 100001加法是数字逻辑中实现数值运算最基本的运算，其他运算可以由它完成第1章数值减法二进制0

-

0

=0 1

-0

=11-1=0 0-1=1(有借位)数码0

1借一当二举例：(1100)2-(1001)21

1

0

0-

1

0

0

10

0

1

1数字逻辑系统中，减法运算可通过数的补码表示变成加法运算。数制——二进制数的基本运算方法第1章数值与码制乘法数制——二进制数的基本运算方法二进制举例：(1100)2

(1101)20

0

=00

1

=01

0

=01

1

=11

1

0

0

1

1

0

1数字逻辑系统中，乘法运算可以看作是多个被加数移位相加。1

1

0

00

0

0

01

1

0

01

1

0

0相加的个数为乘数中1

0

0

1

1

1

0

01的个数。第1章数值与码制除法数制——二进制数的基本运算方法二进制举例：(110111)2

(1011)2=1

0

11

0

1

1

1

1

0

1

1

11

0

1

11

0

1

1

1

0

1

1

00

÷

0

=

00

÷

1

=

01

÷

1

=

1数字逻辑系统中，除法运算可以看作是多次被除数与除数移位相减。数制转换十进制非十进制非十进制十进制十进制与非十进制间的转换非十进制间的转换二进制

八、十六进制八、十六进制

二进制第1节数值与编码数制——不同数制之间的转换方法数整数小数基数除法基数乘法系列置换法(权位展开法)分组法在数制转换中，整数部分和小数部分要分别转换。十进制转换成二进制整数部分的转换（基数除法）除基取余法：用目标数制的基数（R=2）去除十进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位K0，将所得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最Kn-1。例：（81）10=（？）2得：（81）10=（1010001）201010001K6K5K4K3K2K1K02

1

2

2

2

5

2

10

2

20

2

40

2

81十进制转换成二进制取有

近似值）。例：

（0.65）10

=(

?0.652K-110.3K-202

21200.6

0.2

0.42K-3

K-4

K-500.8如2-5，只要求到小)2

要求精度为小数数点后第五位十进制由此得：(0.65)10=(0.10100)2综合得：(81.65)10=(1010001.10100)2二进制

八进制、十六进制非十进制转成十进制方法：用系列置换法（或叫多项式置换法，又叫权位展开法）。将相应进制的数按权展成多项式，按十进制求和。例：求(F8C.B)16=（？）10解：(F8C.B)16

=

F×162+8×161+C×160+B×16-1=

3840+128+12+0.6875=（3980.6875）10非十进制间的转换二进制与八进制间的转换（分组法）从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最

前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数。例8：11010111.0100111

B

=

327.234

Q011010111.01001110023小数点为界7

2

3

4非十进制间的转换二进制与十六进制间的转换（分组法）从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最

前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。例9：111011.10101

B

=

3B.A8

H00111011.10101

000小数点为界3

B

A

8数制转换中的精度问题数制转换后所得数应该保持原有的精度。原则(1×A-1

)I

(1×B-1

)JJ

≥

I

lg

A

/

lg

BI为原数制A中小数的位数J为新数制B中小数的位数例：把(0.6876)10转换为二进制数。解：由于0.6876与2相乘，结果中小数部分不可能为0，因此要考虑转换后应保留的小数位数。根据，J

I

lg

A

/

lg

B

其中，A=10，B=2，I=4，则J

I

lg

A

/

lg

B

4

lg

10

/

lg

2

≈13.284取满足该不等式的最小整数，得J=14第二节编码在日常生活中，数包括正数、负数和小数，而在数字逻辑系统中，任何数都必须用二进制来表示。因此，如何用二进制的0、1来表示正数、负数、整数和小数，是采用编码技术来解决数的表示问题。见P31有符号数的编码（

）真值与机器原

原为+127～-127。符号位后的尾数即为真值的数值原码的性质：数符（+/-）符号（+/-）数码化（数值的绝最：“0”表示“+”“1”表示“-”“0”有两种表示形式[+00…0] =

000…0

而

[-00…0] =100…0数值范围：+（2n

–1-1）≥[X]原≥-（2n-1-1）如n=8，原码范围01111111～11111111，数值范围反码的性质3.补码[X]补：符号位

+

尾数部分正数：尾数部分与真值同即[X]补=[X]正负数：尾数为真值数值部分按位取反加1即[X]补=[X]反+1“0”有两种表示形式[+00…0]反=000…0而[-00…0]反=111…1数值范围：+（2n

–1-1）≥

[X]反≥-（2n-1-1）如n=8，反码范围01111111～10000000，数值范围为+127～-127。符号位后的尾数是否为真值取决于符号位有符号数的编码•用补码进行运算时，两数补码之和等于两数和之补码，即[X1]补+[X2]补

=

{X1+X2}补（mod

2n）补码的补码等于原码补码的性质：“0”有一种表示形式[+00…0]补=000…0而[-00…0]补=1

000…0例：

已知X1

=

-1110

B

，

X2

= B

，求

X1+

X2

=？[X1]补=1

0010+） [X2]补=0

0110-1110BB[X1+X2]补=1

1000故得[X1+X2]补=11000即X1+X2=-1000B-1000

B4.

变形补码[X]变补：

符号位

+

尾数应用：

判断是否有溢出双符号位：正数-“00”方法：

都作为数值一起参与运算，运算结果两个符号位（S1S0）

负数-“11”的符号如两个符号位相同，结果正确；不同则溢出.(00表示正数,11表示负数)。例：已知X1

=

48，X2

=

31

求X1

+

X2

=

？X1

=

+48 [X1]变补=00

110000+）X2

=

+31 +）[X2]变补=

00

011111X1

+

X2

=

+79 [X1+

X2]变补

=

01

001111不同而溢出有符号数的编码有小数点的数的编码10011.

011定点表示法符号位7

6

5

4

3

2

1

0小数点在约定——解决数字系统中小数的表示的固定位置。运算简单能表示的数的范围不大。N2

=

2E

M浮点表示法尾数小数点位置根据数的大小调整运算复杂能表示的数的范围较大。SE

E

SM

M高低阶符阶码尾符 尾数字符和其它编码自然二进制码码二—十进制码奇偶检验码ASCII码等。常用的编码：制码，表示十用一组二进制码按一定规则排列起来表示数字、符号等特定信息。（一）自然二进制码及

码自然二进制码

按自然数顺序常用四位自然二进排列的二进制码进制数0--15，各位的权值依次为23、22、21、20。码及特点任意两组相邻码之间只有一位不同。注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码。编码还具有反射性，因此又可称其为反射码。码与二进制数之间有一转换关系。111111码——一种易于校正的编码每相邻的两个数只有一位发生变化。码与二进制数之间有一转换关系。二进制数

B=BnBn-1…B1B0码

G=GnGn-1…G1G0Gn=BnGi=Bi+1⊕BiBn=GnBi=Bi+1⊕GiB

=

0

1

0

1G

=

0

1

1

1G

=

0

1

1

1B

=0

1

0

1自然二进制码码二—十进制码奇偶检验码ASCII码等。常用的编码：码用四位二进制代码对十进制数的各个数码进行编码。例：（276.8）10=（？）NBCD276

.

8↓↓↓

↓001001110110

1000（276.8）10=（001001110110.1000）NBCD（二）二—十进四位二进制数中的每一位都对应有固定的权常用编码1

8421BCD（NBCD）码用四位自然二进制码的16种组合中的

前10种，来表示十进制数0~9，由

到低位的权值为23、22、21、20，即为8、4、

2、1，由此得名。自然二进制码码二—十进制码奇偶检验码ASCII码等。常用的编码：2421、5421、52112.其它常用编码无权码余3码余3码中有效的十组代码为0011

～

1100代表十进制数

0～9。其它无权码常用编码奇偶用数据最——具有1位校验位的纠错编码作为

位。奇校验位信息位偶：当信息位编码中有奇数个1时校验位为0，有偶数个1时校验位

为1。也就是使所形成的编码。总是有奇数个1：当信息位编码中有奇数个1时校验位为1，有偶数个1时校验位为0。也就是使所形成的编码总是有偶数个1。A——1000001奇

1

1000001偶

0

1000001海明码——具有多位奇偶校验位的纠错编码自然二进制码码二—十进制码奇偶检验码ASCII码等。常用的编码：字符编码ASCII码ASCII码:七位代码表示128个字符96个为图形字符32个控制字符常用编码A3A2A1A0A6A5A40000010100111001011101110000NULDLESP0@P`p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2"2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB'7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS,<L\l|1101CRGS-=M]m}1110s0RS.>N^n~1111s1US/?O_oDEL第1章数值与码制信号逻辑电平——数字逻辑电路与系统中信号的表示方法串行信号——同时只能处理一位信号并行信号——同时处理多位信号VHVL0101

10

0110011001第1章数值与编码小结——

其他编码(

码、奇偶、海明码）数制——二进制、八进制、十六进制、十进制——不同数制之间的转换(分组、置换、基数乘法、基数除法）——不同数制的运算(数字系统如何实现加、减、乘、除）编码——有符号数编码(原码、反码、补码、变形补码)——有小数点的数编码(定点、浮点)——

二——十进制BCD码——字符编码(ASCII码）第一章作业（新书P51,旧书P48练习题）1-1（1）1-2（1）(0.134)10

，

(0.4)10

，(0.111)101-5（1），1-6

(3516)101-9 (2)

-127，

(3)-65，1-101-12 (3)

A=B+C1-13 (2)010110010110第二章逻辑代数基础逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑代数的运算公式和规则逻辑函数的标准形式逻辑代数的物理与数学概念逻辑代数的基本性质和概念是英国数学家

·布尔在

1849年首先

，因此也称其为“布尔代数”。由于逻辑

代数是一种专门研究客观事物之间逻辑关系的数学方法，因此，逻辑代数是数字逻辑和数字电路系统分析和设计的重要数学工具——建立逻辑电路的数学模型的工具。逻辑代数所描述的物理事件，必须具有逻辑状态的特点。例如事件的真和假、发生和不发生、有和无等等。这与连续数学描述事物的方法有着本质的不同。在电子电路中，反映逻辑关系的是数字电路系统，反映逻辑状态是电路的通和断、输出或输入电压的高和低。因此，逻辑代数所要研究和处理的问题不是数量之间的关系，而是变量之间的逻辑关系。第一节逻辑变量及基本运算第一节逻辑变量及基本运算一、逻辑变量与逻辑值逻辑变量是逻辑代数中用来表示逻辑状态的变量。逻辑值指逻辑变量的取值，只有两种取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互、相互对立的两种逻辑状态。二、基本逻辑运算与运算或运算非运算逻辑表达式F=

A

B

=AB与逻辑开关A开关B灯F断断灭断合灭合合断合灭亮ABF000010110101ABF逻辑符号与逻辑运算符，也有用“”、“&”表示。当决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生与逻辑关系表

与逻辑真值表逻辑表达式F=

A

+

B或逻辑ABF

1或逻辑真值表逻辑符号只要决定某一事件的有一个或一个以上条件具备，这一事件才能发生。ABF000011110111N个输入：F=

A

+

B+...+

N或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示。。非逻辑件不当决定某一事件的条件满足发生；反之事件发生。非逻辑真值表逻辑符号AF1AF0110逻辑表达式F=

A“-”非逻辑运算符三、复合逻辑运算与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算F3=AB+CD异或运算ABF000011110110逻辑表F=AB=AB+ABABF=1ABF001010110101同或运算F=A B=

ABABF=1“”异或逻辑运算符符号逻辑表“⊙”同或逻辑运算符符号二极管与门电路ABF0V0V0V0V3V0V3V0V0V3V3V3V四、正逻辑与负逻辑工作原理A、B中有一个或一个以上为低电平0V，则输出F就为低电平0V。只有A、B全为高电平3V，则输出F才为

高电平3V。3V3V3VA

BFVL

VLVL

VHVH

VLVH

VHVLVLVLVH电平关系逻正与=负或正或=负与正与非=负或非正或非=负与非正、负逻辑间关系逻辑符号等效在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈。原来的符号互换（与←→或、同或←→异或）四、正逻辑与负逻辑辑（或门）高电平VH用逻辑0表示，低电平VL用逻辑1表示。BF000111010101100011111000高电平VH用逻辑1表示，低电平VL用逻辑0表示。第二节逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数真值表逻辑表达式逻辑图波形图输入变量输出变量用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、...连接起来，所得的表达式F

=f（A、B、C、...）称为逻辑函数。取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互

、相互对立的两种逻辑状态。二、逻辑函数的表示方法真值表数字逻辑系统真值表的建立方法如下：确定逻辑系统输出变量和输入变量。绘制表格。表格中每一个逻辑变量占表格的一列，在表格的第一行中自左向右依次填入代表输入逻辑变量和输出逻辑变量的字母。在表中填写所有可能的输入变量的组合逻辑值。根据给定（或设计要求）的输入逻辑变量与输出逻辑变量之间的逻辑关系，填写输出逻辑变量的逻辑值。输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格逻辑表达式数字逻辑系统中输入输出之间的逻辑关系式逻辑函数也叫开关函数，是一个表示输入逻辑变量（开关变量）与输出之间逻辑关系的逻辑代数表达式。用逻辑符号来表示函数式的运算关系逻辑图在逻辑表达式中，是用逻辑运算符+、、、、⊙（与、或、非、异或和同或）等来连接各逻辑变量。如果将这些逻辑运算用图形符号表示，再用线段将这些符号与对应的逻辑变量连接起来，这就是逻辑图表示法。波形图反映输入和输出波形变化的图形（又叫时序图）。逻辑电路的时序波形可以通过示波器、逻辑分析仪观察到。另外，在逻辑系统设计过程中，通过仿真程序可以观察到仿真的时序波形。波形图反映的是逻辑信号之间的时间关系，通过观察时序波形，可以在数字系统设计过程中对所设计的数字电路进行检查，也可以对数字电路的功能、故障以及信号的时间延迟等实际逻辑系统的工作情况进行检查。C开，F灭断

0C合，A、BC合，A、B均断，F灭逻辑函数式找出函数值为1的项。ABCF”””00001111001100110101010100010101每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。这些乘积项作逻辑加F=

ABC+ABC+ABC合“1”亮“1灭“0输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABC。举例说明逻辑函数的表示方法逻辑图F=

ABC+ABC+ABC乘积项用与门实现，和项用或门实现。波形图01110

00

01111作业：新书P104,旧书P95，练习题2-1（1），（8）；第三节

逻辑代数的运算公式和规则公理、定律与常用公式公理交换律结合律分配律0-1律律互补律还原律反演律自等律A

0=0A

1=AA

A=0A

A=AA+

1=1A+

0=AA+A=1A+

A=AA+

B=AB吸收律消因律包含律合并律A

B=

A+BA=

AA

B+

A

B

=AA+A

B=AA+ A

B

=A+B(A+

B)

(A+

B)

=AA

(A+B)=AA

(A+

B)

=A

BAB+ A

C

+BC=

AB+ A

C(A+B)(

A+

C

)(B+C)=

(A+B)(A

+C)见P75证明方法利用真值表例：用真值表证明反演律ABABA+

BA

BA+B001111011100101100110000A

B=

A+BA+

B=ABAB

AC

BCDE

AB

AC公式可推广：利用基本定律例：证明包含律AB

AC

BC

AB

AC成立AB

AC

BC

AB

AC

(A

A)BC

AB

ACABC

ABC

AB(1

C)

AC(1

B)

AB

AC

等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的。

∴根据分配律根据

律、互补律根据分配律根据互补律根据1律根据

律

AA

AB

AB

BB

A

AB

AB

A

A(B

B

)

A

A

1

A

A

A(

A

B)(

A

B

)

A利用基本定律例2-3-2

证明(A

B)(A

B

)

A证：(A

B)(A

B

)逻辑代数的运算公式和规则三个基本运算规则代入规则：任何含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，

成立。例：A

B=

A+BBC替代B得ABC

A

BC

A

BC由此反演律能推广到n个变量：A1

A2

A

n

A1

A2

A

nA1

A2

A

n

A1

A2

A

n利用反演律基本运算规则注：①保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号。②不属于单个变量上的非号有两种处理方法：非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。例：F(A，B，C)

AB

(A

C)

B

A

B

C其反函数为

F

(A

B)

A

C

B

(A

B

C)或F

(A

B)

(A

C)

B

(A

B

C)基本运算规则对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成2）常量“0”换成“1“”.，”“；1”换成“0”。得到的新函数为原函数F的对偶式F′，也称对偶函数。对偶规则注：求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。函数式中有“”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“⊙”，“⊙”换成“”。例：其对偶式F

AB

AC

1

BF'

(A

B)

(

A

C

)

(0

B)逻辑代数的运算公式和规则说明：这些引理实际是基本公式A·

A=A、A·1=A、A·

A=0、A·

0=0、A+A=A、A+0=A、A+

A

=1、A+1=1的扩充。在简化逻辑函数表达式时十分有用。扩例：

A

(

BC

BC

)

A

BC

BCA

[

ABC

C

(

AB

AB)]

A

[1

BC

C

(1

B

0

B)]仙农扩展定理F

(

X

1

,

X

1

,

X

2

,,

X

n

)

X

1

F

(1,0,

X

2

,,

X

n

)

X

1

F

(0,1,

X

2

,,

X

n

)F(

X1

,

X1

,

X

2

,,

Xn

)

[

X1

F(0,1,

X

2

,,

Xn

)][

X1

F(1,0,

X

2

,,

Xn

)]举例：AB

BD

AD

CD

AB

D逻辑代数的运算公式和规则

A(1

B

BD

0

D

CD)

A(

0

B

BD

1

D

CD)

A

(

B

BD)ACD

D+

AB

(

A

A)BD

AB

BD

AD

CD

AD

CD

AB

D第四节

逻辑函数的标准形式见P58函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式又叫基本形式函数表达式的常用形式五种常用表达式F(A，B，C)

AB

AC“与―或”式

(A

C)(A

B)“或―与”式

AB

AC“与非―与非”式

A

C

A

B“或非―或非”式非”式基本形式

A表达式形式转换F

AB

AC

AB

AC

AB

AC利用还原律利用反演律的标准形式ABCABCABCABCABCABCABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7最小项：n个变量的逻辑函数中，乘积项（每个变量必须而一、最小项和最大项乘积项辑和项最小项 i：各输入变量取值看成二进制数，反变量的形式出现一次）

对应十进制数。n个变量有2n个最小项，记作mi。3个变量有23（8）个最小项。最小项二进制数十进制数ABCm0m1m2m3m4m5m6m72n-1F

mii0ABCABCABCABCABCABCABC000100000001001010000001010001000001011000100001100000010001101000001001110000000101111000000011三变量的最小项全部最小项之和为1，即i0

1mi2n

1最小项的性质：

任意一组变量取值：只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。同一组变量取值：任意两个不同最小项的乘积为0，即mimj=0

(i≠j)。一个最小项不是在原函数中就是在反函数中。最小项表达式：如果一个积之和表达时中的所有乘积项都是最小项，则该积之和表达时称最小项积之和表达式，简称最小项表达式，也叫基本表达式。例如：F(

A,

B,C)

ABC

ABC

ABC

m5

m4

m3F

m3

(3,4,5)F

(

A,

B,C)

m(3,4,5)C例：

求函数F(A，B，C)和表达式解：F(A，B，C)

A

B

A

BC

A

B

A

BC

AB(C

C)

A

BC

ABC

ABC

A

BC

m3

m2

m1

m(1,

2,

3)利用反演律

利用互补律，补上

A

B

A

B

所缺变量C。F(x1,

x1,

x2

,,

xn

)

x1F(1,0,

x2

,,

xn

)

x1F(0,1,

x2

,,

xn

)例：将F(A,B,C)

AB

AC

AC转变成最小项表达式解：根据扩展定理F(A,

B,C)

B(A

1

AC

AC)

B(A

0

AC

AC)再次使用扩展定理

BA

ABC

ABC

ABC

ABC

C(BA

AB

0

AB1

AB

0

AB1)

C(BA

AB1

AB

0

AB1

AB

0)

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

m7

m3

m1

m6

m4

m(1,3,4,6,7)最大项和为1，即Mi+Mj=1

(i≠j)。全部最大项之积为0，即最大项：n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。n个变量有2n个最大项，记作

I。最大项的性质：任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1。同一组变量取值任意两个不同最大项的2n

1某个最大项不是在原函数中就是在反函数中。76M

A

B

CM4

A

B

CM5

A

B

CM1

A

B

CM2

A

B

CM0

A

B

CABCM0M1M2M3M4M5M6M2n

1F

Mii0000011111110001101111110010110111110011111011110100111101110101111110110110111111010111111111100任意一组变量取值

只有一

Cj2n

1某个最大项不是在原函数中就是在反函数中。最大项表达式：如果一个和之积表达式中的所有和项都是最大项，则该和之积表达时称最大项和之积表达式，简称最大项表达式，也叫基本表达式。例2-2-12

试写出函数的简化表达形式。F(A,

B,

C)

(A

B

C)(A

B

C

)(A

B

C)

M2M3M4F

M

3

(2,3,4)注意：输入变量的排序不同，则最大项、最小项的序号也不同。

M

(2,3,4)最小项与最大项的关系例：m0

ABC

A

B

C

M

0M0

M0

A

B

C

ABC

m0相同 的最小项和最大项存在互补关系即: mi

=

Mi

Mi

=

mi若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。例：F

m1

m3

m5

m7F

m1

m3

m5

m7m5m1

M1

M3

M5

M7=

m3

m7=最小项与最大项的关系逻辑函数的基本形式A

B

CmiFMi例1：已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。从真值表找出F为1的对应最小项。解:0

01

02

03

14

0些1

0

0

4然后将这F(A，B，C)

ABC

ABC

ABC

ABC

m3

m5

m6

m7

m(3,

5,

6,

7)提问：F的反函数表达式怎样表示逻辑函数的基本形式例2：已知函数的真值表，求该函数的反函数。从真值表找出F为0的解:ABCmiMiF00

00

000000000

0

1110010220011331100440101551110661111771对应最小项。然后将这些项逻辑加。F

ABC

ABC

ABC

ABC

m0

m1

m2

m4m(0,1,

2,

4)F

F

m0

m1

m2

m4逻辑函数的基本形式F

F

m0

m1

m2

m4

m0

m1

m2

m4

M0

M1

M2

M4

M

(0,1,2,4)F

m(3,

5,

6,

7)

M

(0,1,2,4)结论：最小项表达式中最小项的

与最大项表达式中最大项的

是互不重复的，而且是互补的。应用：利用结论可直接进行两种基本表达式之间的转换。第二章作业新书P105，旧书p96

练习题2-4(2)；

2-5（1）；

2-7（1）2-8

（1）；2-10

（2）2-11新书P107，旧书97

习题2-1（3）；2-2；2-4；2-5；2-7。第三章数字逻辑系统建模数字逻辑系统建模的概念代数法化简函数图解法化简函数列表法化简函数逻辑函数简化中的几个实际问题时序逻辑状态化简数字逻辑系统组合逻辑是指与时间顺序无关的变量间的基本逻辑运算组合时序逻辑同步时序逻辑电路异步时序逻辑电路脉冲异步时序逻辑电路电平异步时序逻辑电路是时间相关系统，系统的行为特性和参数特性都可用时间坐标进行描述电路状态的转换是在同一时钟的控制下进行电路状态的转换不是在同一时钟的控制下进行由组合电路与延时电路组成，电路在电平控制下转换数字逻辑系统建模的概念一、组合逻辑系统的建模逻辑表达式建模真值逻辑波形硬件描表建图建图建述语言模模模描述是由逻辑用表格逻辑算规律组逻辑系统的式，也就组合。辑图运算符

但真值数字输入逻辑

组合

辑系辑变波形图高速硬件描述语言也是间的时组合逻辑模型的一种。。输出应该提供门级描述，数与各输据流描述，行为级描述辑值有和测试模块。二、时序逻辑的状态建模（一）、现态与次态现态——某控制信号（逻辑变量）到来之前数字逻辑系统所处的状态，一般用Qn表示。次态——某控制信号（逻辑变量）到来之后数字逻辑系统所处的状态，一般用Qn+1表示。说明：

现态和次态在时间上不是

，而是相对的。现态次态现态现态次态t0t1次态t2一、状态的基本概念时序逻辑系统是时间相关系统，简单地用逻辑变量的值无法确切表明系统的行为特性，因此，为了对时序逻辑系统进行分析和设计引入了“状态”的概念又叫原态又叫新态二、时序逻辑的状态建模逻辑值变化特点的逻（二）、状态变量在数字逻辑系统中，把具有辑变量叫做状态变量。状态变量与一般逻辑变量不同：状态变量的当前值只代表上一次输入变化对系统的影响，这反映出状态变量具有

功能，反映的是系统输入和输出的历史。而一般逻辑变量的当前值代表的是当前输入对系统的影响。状态变量的变化结果由当前输入和系统当前状态共同决定，这反映了状态变量

功能对系统的影响。而一般逻辑变量的变化值,只与当前输入有关。二、时序逻辑的状态建模（三）、状态的描述模型状态方程状态图状态表激励表触发器数字逻辑系统中用图形述状态与各输入述时序辑变量之间、状统状态与状态之间逻辑系的逻辑表达式做状态方程。表输入变，列出输入变之间关当把状态触发器的特点是有

功能，是描述时序逻辑系统的一种基本元件，也叫做元件。通过触发器的元件功能，可以反映，叫做激系统状态与输入信号和控制信号之间的关系。状态方程设Q表示一个时序逻辑系统的状态变量，X表示该时序逻辑系统的输入变量，C表示该时序逻辑系统的控制变量，则有关Q的状态方程为Qn1

f

(

X

,C,Qn

)例如， 表示在控制信号有效时(C

=1)，如果输入逻辑变量的逻辑值为0，则系统的次态为0，而如果输入逻辑变量的逻辑值为1，则系统的次态为Qn，即保持原态。n1

XC状态图状态图的绘制方法如下：101

/00

/00

/01

/1用圆圈加数字或文字代表数字系统的状态。例如，上图表示有2个状态，即状态1和状态0。用带箭头的有向线段表示现态和次态之间的转换，线段起始于现态、终止于次态，箭头指向次态。在有向线段旁边加数字和文字表示输入逻辑变量以及与次态相对应的系统输出。状态表X1

0Q

nQ

n0101/010/011/000/110/001/000/111/000011110（Qn+1/Z）状态激励表QnQn+1CPD000d110d0010011110101111第三章数字逻辑系统建模数字逻辑系统建模的概念代数法化简函数图解法化简函数列表法化简函数逻辑函数简化中的几个实际问题时序逻辑状态化简函数的简化目的逻辑电路所用门的数量少每个门的输入端个数少逻辑电路构成级数少逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性逻辑函数的简化少乘积项中含的变量少与或表达式的简化代数法化简函数方法：并项：利用AB

AB

A

将两项并为一项，A

AB

A

B消去多余变量A。且消去一个变量B。消项：利用A+AB=A消去多余的项AB。消元：利用配项：利用AB

AC

BC

AB

AC和互补律A+A=1、

律A+A=A先增添项，再消去多余项BC。实现电路的与门少下级或门输入端个数少与门的输入端个数少见P138代数法化简函数利用反演律解：

F

AC

AD

BCB)

AC

BC

D配项加ABB

DAB消因律

AC

BC

AB

D

AC

消项ABF（或与式）求对偶式F（与或式）简化F（最简

AC与或式）求对偶式F（最简或与式）或与表达式的简化例：试简化函数

F利用A分C配律AD

BC或与表达式的简化例：试简化函数

F(A,

B,C,

D)

(A

B)(A

B)(B

C)(A

C)解：现求F的对偶式F′，然后化简F'

(A,

B,C,

D)

AB

AB

BC

AC

AB

AB

C(B

A)

AB

AB

C(AB)

AB

AB

C对F′求对偶式(F'

)'

F

(A

B)(A

B)C第三章数字逻辑系统建模数字逻辑系统建模的概念代数法化简函数图解法化简函数列表法化简函数逻辑函数简化中的几个实际问题时序逻辑状态化简图形法化简函数卡诺图（K图）图中一小格对应真值表中的一行，即一个最小项，又称真值图。AAB

BABABABABBA

0

101m0m1m2m3A

Bmi0

00

11

01

1m0m1m2m3ABC0100

01

11

1000011110m0m1m3m2m4m5m7m6m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10二变量K图三变量K图CD四AB

00

01

11

10变量K图见P139图形法化简函数00

01

11

10m4

m5

m7

m6m12

m13

m15

m148910m

m

m

m11CDAB00

m0

m1

m3

m2011110四变量K图AA1ABD动画上下左右几何相邻的方卡诺图化简函数规则：格内，只有一个因子不同。几何相邻的2i（i=1、2、3…n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n-i）个变量的积项标注该圈。十六个相邻格圈在一起，结果mi=1。四个相邻格圈在八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量。图形法化简函数与或表达式的简化步骤先将函数填入卡诺图中，最小项对应的方格填1，其它填0。合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。按取同去异原则,每个圈写出一个乘积项。最后将全部积项求和，即得最简与或表达式。根据函数填写卡诺图已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。例子3.

函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。例子作圈的步骤孤立的单格单独画圈。圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。图形法化简函数例1：直接给出函数真值表求函数的最简与或式。

见例例2：直接给出函数复杂的运算式。见例图形法化简函数例3:

用卡诺图化简F(A,

B,C,

D)

(A

B

C

D)(A

B

C

D)(A

B

C

D)(A

B

C

D)第三章数字逻辑系统建模数字逻辑系统建模的概念代数法化简函数图解法化简函数列表法化简函数逻辑函数简化中的几个实际问题时序逻辑状态化简表格法化简一种系统化简法，表格化简法是由Quine

和

Mccluskey因此，又叫Q-M法。这种化简方法和卡诺图化简法的基本思想大致相同。它是通过找出函数的全部质蕴含项、必要蕴含项、来求得最简表达式。见P147蕴含项---与或表达式中的每一个与项（包括最小项）（卡诺图含1的每个小方格都是蕴含项）。质蕴含项---在原表达式中无法形成互补合并关系的蕴含项。（若函数的一个蕴含项不是该函数中其他蕴含项的子集，则该蕴含项称为质蕴含项）必要质蕴含项---保持逻辑函数原有功能必不可少得质蕴含项。（若函数的一个质蕴含项包含有不被其他任何质蕴含项所包含的最小项，则该质蕴含项被称为必要质蕴含项）。列表法化简步骤第一步：分组---将函数表示成“最小项之和”形式，用二进制码表示每一个最小项，并按最小项中“1”的个数顺序列表。第二步：寻找互补合并关系----找出函数的全部质蕴含项方法是：将n个变量函数中相邻的最小项合并，消去相异的一个变量，得到（n－1）变量的“与”项；再将相邻的（n-1)个变量的“与”项合并；消去相异的变量，得到（n-2)个变量的“与”项……以此类推，直到不能合并为止。所得全部不能再合并的与项（包括不能合并的最小项），即为所要求的全部质蕴含项。第三步：找出函数的必要质蕴含项可用行列消去法从全部质蕴含项中找出必要质蕴含项，第四步：找出函数最小覆盖例题：用列表法化简函数F（D,C,B,A)=∑m(0,4,6,8,10,11,13,14,15)解：组号∑miDCBA00000026100110101031113101111011411104151111第一步：将函数的最小项按“1”的个数顺序排列并分组见表一表一i第二步：找出函数的全部质蕴含项首先消去一个变量，将表一变表二表一表二组号∑mDCBA00000026100110101031113101111011411104151111组号∑miDCBA00,40,80-00-00014,68,1001-010-026,1410,1110,14-110101-1-10311,1513,1514,151-1111-1111-第二步：找出函数的全部质蕴含项再消去一个变量由表二变到表三表二表三P1=∑m(0,4)P2=∑m(0,8)P3=∑m(4,6)P4=∑m(8,10)P5=∑m(6,14)P6=∑m(13,15)P7=∑m(10,11,14,15)其中Pi为质蕴含项组号∑miDCBA00,40,80-00-000P1P214,601-0P38,1010-0P426,1410,11-110101-P510,141-10311,1513,151-1111-1P614,15111-组号∑miDCBA210,11,14,1510,14,11,151-1-1-1-P7P7第三步：找出函数的必要质蕴含项（建立质蕴含项产生表）P1=∑m(0,4)P2=∑m(0,8)P3=∑m(4,6)P4=∑m(8,10)P5=∑m(6,14)P6=∑m(13,15)P7=∑m(10,11,14,15)P\mim0m4

m6m8

m10m11m13m14

m15P1XXP2XXP3X

XP4X

XP5XXP6XXP7XXX

X表四第三步：找出函数的必要质蕴含项（用行列消去法）P\mim0m4

m6m8

m10m11m13m14

m15P1XXP2XXP3X

XP4X

XP5XXP6XXP7XXX

X表四行列P\mim0m4m6m8m11m13行列P1XXP2XX若I五P3XX若IP4XP5XP6XP7X表分析表四：m11列同时包含在

m10、m14、m15列，因此，可删除该三列，得表五。P\mim0m4m6m8m11m13P1XXP2XXP3XXP4XP5XP6XP7X表五分析表五：根据行规则，P5行含在P3行中，P4行含在P2行中，因此，可消去P4、P5行，得表六。P\mim0m4m6m8

m11

m13P1P2P3XXXXXXP6XP7X表六XP\mi

m0

m4

m6

m8

m11

m13P1

X

XP2

XP3X

XXP6P7X表六表七因此，可消去m0、m4列，得表第四步：找出函数最小覆盖由表七得知：必要质蕴含项为P2、P3、P6、P7由表二、表三得知：P2=ABC、P3=ACD、P6=ACD、P7=BD最后

F=P2+P3+P6+P7

=ABC+ACD+ACD+BD

为最小覆盖。组号

∑mi

DCBA0,8 -000P1P2810 10-0,1-1-

P710,14,11,15 1-1-

P72

10,11,14,15DCBA∑mi组分析表六：根据列规则，m6列号0

0,4 0-001

4,6 01-0

表三第三章数字逻辑系统建模数字逻辑系统建模的概念代数法化简函数图解法化简函数列表法化简函数逻辑函数简化中的几个实际问题时序逻辑状态化简逻辑函数简化中