遥感图像处理-第6章图像变换new

第6章图像变换（1）引言

图像的数学变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图像处理技术的基础。在这些变换中，一种是在空间域上进行的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和几何运算，它们都是利用对输入图像进行加工而得到输出图像。另一种重要的数学变换则是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析。最典型的变换有离散

变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频率域来分析图像的频谱特性。图像变换将图像看成是线性叠加系统(成像原理)图像在空域上相关性很强图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数学变换空域与频域一幅图像中像元的亮度值在空间上的差异与变化，可以看作是复杂的波形，是由具有不同的振幅、频率和相位的许多正弦或余弦波叠合而成。短距离内的亮度变化相当于高频波，而长距离内的变化相当于低频波。频谱图像是空间图像的离散变换，通常为复数值。可以分解为波幅图像和相位图像。空间频率信息的分布是按极坐标表示，任意一点到频谱图像原点的距离代表该点空间频率的高低，而与原点连线的方位角决定线性特征的，明暗度表示相应频率上振幅大小。变换的重要问题原始的坐标系是什么？变换后的坐标系是什么？变换的目的是什么？对数据集有什么样的假设？其它问题变换如何实现（变换公式是什么）？图像变换的目的使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。常用的图像变换方法变换：针对特定波段，周期性噪声的去除；主成分变换：针对多波段，产生新的“波段”，数据的压缩或噪声的去除；缨帽变换：适用于LANDSAT图像的多波段经验性变换方法，更好地突出主体的地物特征；代数运算：简单的代数运算产生新的“波段”，增强特定的地物信息；色彩变换：RGB彩色空间转换到其他彩色空间显示，突出RGB空间中难以表达的内容。6.1变换把变换是变换域分析中广泛使用的工具。变换的理论与遥感图像的物理解释相结合,有利于解决大多数遥感图像处理问题。变换是一种正交变换，它广泛地应用于

很多领域，取得了良好的效果。由于它不仅能把空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中的乘积运算，还能在频率域中简单而有效地实现增强处理和进行

特征抽取，故而在图像处理中也得到了广泛的应用。变换是一种线性的积分变换能将(满足一定条件的)函数分解成三角函数

(正弦、余弦)的线性组合，或者它们的积分的线性组合变换(Fourier

Transform)变换(DFT,Discrete

Fourier连续离散Transform)快速二维离散变换(FFT,FastFourier

Transform)变换变换的提出变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。程，1822年整理成《热分析理论》1807年

黎 提出《热的》 ，将 变换用于解热量 的微分方。Jean

Baptiste

Joseph

Fourier(1768-1830)级数展开nb

1na

1n

nf

(

x

)cos

nxdx,n

1,2,...f

(

x

)

a0

a (sin

nx

)

b

(cos

nx

)假设f(x)是周期函数

，且周期为2π，则

有：n1

n1f

(

x

)

sinnxdx,n

0,1,2,...2正弦波的振幅不同的正弦波正弦波sinnx，n越大，频率越高正弦波asinnx，a越大，振幅越高级数展开(一般周期函数)f(x

)cos

nwxdx

,n

1,2,...1T122假设f(x)是周期函数，且周期为T

，则有：f(x

)sin

nwxdx

,n

0,1,2,...(x

)

a0

a

(sin

nwx

)

b

(cos

nw2TT2n

1

n

1T2TTnnn

nw=2π/Tw是什么？TT

,则w

2T

/10,则w

10w代表第一个（最低频的）正弦（或余弦）函数在2π的长度上振动的次数w

1

2

f

2基本概念设x(t)为（-∞，+∞）上连续函数，在一定条件下，有如下关系：X（f）

x(t)ei2ftdt（1）x(t)

X

(

f

)ei

2ft

df公式(1)称为 变换，公式(2)称为逆变换。X(f)为x(t)的连续频谱，简称频谱。公式(1)中，可以由信号x(t)求出相应的频谱X(f)，这个过程称为频谱分析。在图像处理中，该过程称为 变换。通过传感器所接收到的信号x(t),一般包括两种成分：有效信号s(t)，和干扰信号n(t)。信号处理的目的就是削弱干扰信号n(t)，保持或增强信号s(t)。在许多情况下，干扰信号n(t)的频谱N(f)与有效信号s(t)的频谱S(t)是不同的。因此，可以有针对性的设计不同的频率函数H(f)，即滤波器，对信号x(t)进行滤波，以削弱干扰增强信号。变换定义定义：令为实变量的连续函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：（1）有有限个间断点；（2）有有限个极值点；（3）绝对可积；则有以下二式成立：

式中x为时域变量，u为频率变量，i为虚数单位xF

u

xuf

f

exp

i2uxdx

F

exp

i2uxdu变换定义函数的表示如下式中：

和分别是实部和虚部。谱，变换通常是一个复数，它可Fu

Ru

iI

u谱的平方：，一般称为的能量谱。uRu

I如果表示成指数形式则为：Fu

Fu

exp

uFu

R2

u

I

2

u幅度函数被称为的而u

arctgI

u/Ru

为相角。u

uE

F22

R

u

I

u2将随时间（或空间）变化的周期信号从原始图像变换到频率域的图像(t,f(t))->

(频率,振幅)一维离散

变换对 续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散 变换定义为：N

1

j

2

uxNF

(u)

f(x)ex0一维离散变换反变换定义由表示：f

(x)j

2

ux

NN

1N

u

01

F

(u)e可以证明离散 变换对总是存在的。其 谱、相位和能量谱如下：|

F

(u)

|

[R2

(u)

I

(u)]12/R(u)

(u)

arctan

I

(u)E(u)

|

F

(u)

|2

R2

(u)

I

2

(u)一维离散

变换离散

变换（DFT）的矩阵表示法由DFT的定义，N＝4的原信号序列f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的 变换F(u)展开为：u

0

:

F

(0)

[

f

(0)e0

f

(1)e0

f

(2)e0

f

(3)e0

]

j

22

j

32

j

2u

1:

F

(1)

[

f

(0)e0

f

(1)e

f

(2)e

f

(3)e

]

j

42

j

62

j

22u

2

:

F

(2)

[f

(0)e0

f

(1)e

f

(2)e

f

(3)e

]

j

62

j

92

j

32u

3

:

F

(3)

[

f

(0)e0

f

(1)e

f

(2)e

f

(3)e

]一维离散

变换将e指数项化简可写成矩阵形式：2F

(0)

F

(3)ee

j

2e

je0

e0

e0

e0

j

je

2

e

j

e

2e

j

e0

e

j

j

33

f

(0)

F

(1)

e0

f

(1)

F

(2)

f

(2)

f

(3)e0e0

记作：F

Wf可用复平面的单位圆来求W的各元素。当N=4时，把单位圆分为N=4份， 变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。一维离散变换4W

14W

23W48W

08W

1W

23W88W

0

W

48W

58W

67W84(a)8(b)复平面单位圆(a)N＝4(b)N＝8一维离散变换00

3

2W

3

1j

W

W

0

W

0

W

0

W

0

W

1

W

2W

0

W

2

W

0

W

2

1

1

1

1 1

j

1

1

1

1

11

j

1

jW

W

W

W

同理N=8的W阵应把单位圆分为8份，顺时顺次转0份,1份、…,7份，可得W阵为:一维离散变换03WW

WW

0

W

40

W

50

W

6W

7W

0

W

2W

0图像的变换图像理论把通信中的一维问题推广到二进行研究。通信研究的是一维时间信息，图像研究的是二

信息；通信研究的是时间域和频率域之间的关系，图像理论研究的是空间域和频率域之间的关系。图像理论认为：平面图像是由许多相位、振幅不同的x-y方向的空间频率叠加的结果。空间上高频率波决定图像的细节，空间上低频率波决定图像的背景和动态范围。二维连续函数（图像）变换二维离散（图像）变换二维连续函数变换若f(x,y)为(x,y)二元连续函数（图像函数），则它的 变换为：F(u,v)

f(x,y)ej2(uxvydxd)

yF(u,v)的 逆变换为：

udvxvufyedFuyj(),,()

v2)x(F(u,v)为f(x,y)的频谱。离散变换由于遥感图像是由灰度值组成的二维离散数据矩阵，对它进行 变换就必须知道离散的 变换。一维变换如下u1NF

NN

1x0

i2ux

f

x

exp

xNN

1u0i2ux

f

F

u

exp

1M

1

N

1MN

x0

y0ux

vy

M

N

F

u,v

f

x,y

exp

i2M

1

N

1u0

v0ux

vy

M

N

F

x,y

F

u,v

exp

i2二维离散

变换在一幅 的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。

如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二维 变换可用下面二式表示。x0

y0

ux

N2()/v/

y

MMNN

1

M

1F

(u,)

v

1

f x

(y),e

j

N v

M

111u

其逆变换为：N

1

M

1f

(x,

y)

F

(u,

v)e

j

2

(ux/

N

vy

/

M

)u

0

v0(x

1,2, ,

N

1;

y

1,2,,

M

1)X和y分别代表图像的空间坐标，u和v分别代表x和y轴方向的空间频率分量。空间频率是指单位长度内亮度周期性变化的数量。二维离散变换在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是M=N。正逆变换对具有下列对称的形式：1NF

(u,

v)

u,

v

0,1,

2,,

N

1NN

1

N

1

j

2

(

uxvy

)

f

(x,

y)ex0

y

0j

2

(

uxvy

)N

1

N

1N

u0

v01f

(x,

y)

F

(u,

v)ex,

y

0,1,

2,,

N

1N二维离散变换变换的性质二维离散二维离散

变换有一些重要的性质，这些性质为使用提供了极大的方便。1）分离性1NNN

1

N

1

j

2

(

uxvy

)x0

y0二维离散

变换具有分离性F

(u,

v)

f

(x,

y)e1NNNN

1N

1

j

2

ux

j

2

vyex0

f

(x,

y)ey

01NNN

1

j

2

uxx0

F

(x,

v)eN

1

j

2

vy

1F

(x,

v)

N

N

f

(x,

y)ey

0

N二维离散变换分离性质的主要优点是可借助一系列一维 变换分两步求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。二维离散变换f(x,y)(0,0)

N-1N-1xyF(x,v)(0,0) N-1N-1vx

u变换作为一系列一维的计算方法F(u,v)(0,0) N-1N-1v行变换列变换把二维二维离散

变换对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。u

0

v0u

0v0M

NM

1

N

1j

2

(

ux

vy

)f

(x,

y)

F

(u,

v)eNj

2

uxj

2

vyN

1N

1

e

N

F

(u,

v)eNj

2

uxN

1

f

(u,

y)eu

02）平移性变换和逆变换对的位移性质是指：F

(u

u0

,

v

v0

)

f(x,

y)ej

2

(

u0

xv0

y

)NNf

(x

x0

,

y

y0

)

F

(u,

v)e

j

2

ux0

vy0由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的

变换，使频率平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当u0=v0=N/2时，指数项为：j

2

(

u0

xv0

y

)

e

j

(

x

y

)

(1)(

x

y

)Ne即为：2020/11/26f

(x,

y)(1)(

x

y)

F

(u

N

,

v

N

)2

2这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其 变换的幅值。此外，与连续二维变换一样，二维离散变换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有重要意义。3.DFT应用中的问题1）频谱的图像显示DFT在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图像化。对DFT来讲不但f(x,y)是图像,F(u,v)也要用图像来显示其结果。谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其高频项只看到一两个峰，其余皆不清楚。由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号为D(u,v),D(u,v)

log(1

|

F(u,v)

|

)2020/11/26即用显示D(u,v)来代替只显示|F(u,v)|不够清楚的补救方法。谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可干扰的空间频率并可方便地从频域去除。2020/11/264.7

图像的

频谱图像，原始图像，(b)频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果2020/11/26(b)(c).2.频谱图像的移中显示常用的 正反变换公式都是以零点为中心的公式，其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的零点移到显示的中心。当周期为N时，应在频域移动N/2。利用DFT的平移性质，先把原图像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再进行

变换，，而实际F(u,v)数据仍保留其结果谱就是移N/2的F(u,v)。应当注意，显示是为了为原来的值。频谱图像的移中显示

(a)未移至中心的频谱图像，(b)移至中心后的频谱图像(a)(b)3.旋转性应用中，对两幅图像进行变换后，为求两幅图，则变换对为：像的相似性，常须对频域图进行旋转寻找匹配。此时FT公式常用极坐标表示为 变换对。设f(x,y)为原图中任一点的坐标，

x

cos

y

sin

，θ为(x,y)点与x轴的夹角若空域

y

sin

x

cosF

(R,

)

f

(,

)u

R

cos

v

R

sin

频域则旋转不变性质为：F

(R,

0

)

f

(,

0

)上式表明，在空域中对图像f(x,y)旋转θ0对应于将其叶变换F(u,v)也旋转θ0，类似的，对F(u,v)旋转θ0也对应于将其 反变换f(x,y)旋转θ0。(a)(b)变换的旋转性，对比频谱图像的移中显示4.

数字图像1)数字图像变换的频谱分布和统计特性变换的频谱分布数字图像的二维离散变换所得结果的频率成分如图所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的，可采用图示的换位方法，根据因子进行频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。二维变换的频谱分布2020/11/26频率位移示例围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在数据和传输时，仅和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。2）图像（1）量，根据变换的统计分布变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分变换公式有：x0

y0MN1

N

1F

(0,0)

1

M

f

(x,

y)它反映了原始图像的平均亮度。（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85％的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变

换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。2020/11/26假设f(x,y)代表原始图像，g(x,y)代表处理后的图像则：(5)g(x,

y)

h(x,

y)

f

(x,

y)式中：h(x,y)为响应函数如果G(u,v),H(u,v),F(u,v)分别是g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)的傅里叶变换，由卷积定理可知，上面的卷积关系可表示为频率域的乘积关系：G(u,

v)

H

(u,

v)

F(u,

v)

(6)式中：H(u,v)为传递函数，或滤波器，直接影响变换的结果。给定了原始图像f(x,y)，计算得到F(u,v)之后，目的是要选择H(u,v)，然后通过下式：g(x,

y)

F

1H

(u,

v)

F

(u,

v)计算后得到所需的图像效果。F-1表示 逆变换。利用函数H(u,v)强调F(u,v)的高频分量，使f(x,y)的边缘得到增强，也可以强调F(u,v)的低频分量，使图像颗粒噪声得以消除。一维和二维离散函数的

谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行 变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用

变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高

变换算法的速度，从

角度来讲，要不断改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。原图离散变换后的频域图快速

变换减少运算步骤和节省时间用两次一维的FFT进行快速运算处理，把遥感图像转换为一系列不同频率的二维的正弦/余弦波。有专门的

包，使用方便。周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),

f(x,y)=f(x+aN,y+bN)共轭对称性：f

*

(x,

y)

F

*

(u,v)变换的性质平均值平均值定义：x0

y0N

1

N

1f

(x,

y)

1

f

(x,

y)N

2变换定义：由x0

y0N

2N

1

N

1F

(0,0)

1

f

(x,

y)因此，f(x,y)的平均值与 变换系数的关系为：F

(0,0)

f

(x,

y)频率域图像线性的地物为高频部分，大块面状的地物为低频部分；频率域图像以图像的中心为坐标原点，左上-右下、右上-左下对称。图像中心为原始图像的平均亮度值，频率为0；从图像中心向外，频率增高；高亮度表明频率特征明显；频率域图像中明显的频率变化方向与原始图像中地物分布方向垂直。SPOT图像及其频率域图像变换之后的频谱图像1.频率图像中心对称；2.低频在中心，离中心越远频率越高变换之后的频谱图像3.频谱图像中高亮度的方向与地物分布的方向垂直变换之后的频谱图像3.频谱图像中高亮度的方向与地物分布的方向垂直变换之后的频谱图像3.频谱图像中高亮度的方向与地物分布的方向垂直图像中的高频和低频变换流程正向FFT定义滤波器逆向FFT6.2主成分变换（K-L变换）

K—L变换（

Karhunen-Loeve

Transform）也常称为主成分变换(PCA)或

（Ho

ling）变换是利用变换距阵对多光谱图像进行线性组合，最终产生一组新的多光谱图像，它的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零，消除了数据之间的相关性，其目的是数据压缩和图像增强。每个象元点在多光谱空间中的位置都可以表示为一个

n维向量X

。K-L变换的意义在模式识别和图像处理中一个主要的问题就是降维，在实际的模式识别问题中，我们选择的特征经常彼此相关，在识别这些特征时，数量很多，大部分都是无用的。如果我们能减少特征的数量，即减少特征空间的维数，那么 以更少的

和计算复杂度获得更好的准确性。如何寻找一种合理的综合性方法，使得：1.减少特征量的个数。2.尽量不损失或者稍损失原特征中所包含的信息。3.使得原本相关的特征转化为彼此不相关（用相关系数阵衡量）

K-L变换即主成分分析就可以简化大维数的数据集合。它还可以用于许多图像的处理应用中，例如：压缩、分类、特征选择等。K-L变换的意义遥感影像中不同波段的数据之间往往存在着一定的相关性，因此总体数据集存在着冗余。主成分分析的目的是通过线性正交变换把多个波段数据集的信息量集中到数量尽可能少的主成分影像数据中，而这些主成分之间相互无关，这样就减少总的数据量并使影像的特 息得到增强。在遥感应用领域，主成分分析常用作数据压缩(去相关)的一种 ，它将过多的波段数据压缩进较少的波段内。一幅主成分图像中包含了比一幅原始波段内容丰富的信息，起到图像增强作用。K-L变换基本思想目的是寻找任意统计分布的数据集合主要分量的子集。基向量满足相互正交性，且由它定义的空间最优的考虑了数据的相关性。将原始数据集合变换到主分量空间使单一数据样本的互相关性(cross-correlation)降低到最低点。多波段(N波段)图像可以看作是N

。每个象元点在多光谱空间中的位置都可以表示为一个n维向量XK-L变换的原理对某一n个波段的多光谱图像实行一个线性变换，即对该多光谱图像组成的光谱空间X乘以一个线性变换矩阵A，产生一个新的光谱空间Y，即产生一幅新的n个波段的多光谱图像。其表达式为：Y

=

AX式中：X为变换前多光谱空间的像元矢量；Y为变换后多光谱空间的像元矢量；

A为一个n×n的线性变换矩阵。对于K-L变换中的矩阵A，必须满足以下要求：A为n×n正交矩阵，A=[φ1,φ2,φ3,…,φn]对正交矩阵A来说，取φi为X的协方差矩阵∑x的特征向量，协方差矩阵除对角线以外的元素都是零变换Y=ATX与反变换X=AY即为K-L变换的变换公式。根据K-L变换的原理，A是X空间的协方差矩阵∑x的特征向量矩阵的转置矩阵，即A=

ΦT

=由Y=AX因此当n=3时,Φ从上式可以看出，A的作用实际上对各分量加一个权重系数，实现线性变换。Y的各分量的信息的线性组合，它综合了原有各分量的信息而不是简单的取舍，这使得新的n维随机向量Y能够较好的反映事物的本质特征。变换后的矢量Y的协方差矩阵∑y是对角矩阵，且作为Y的各分量

yi

的方差的对角元素就是

∑x的特征值，即∑y

=这里λ按由小到大的顺序排列。K-L变换后新的坐标轴的

y1,y2,y3…yn为个特征矢量的方向，由上式表明这实际上是选择分布的主要分量作为新的坐标轴，对角化表明了新的分量彼此之间是互不相关的，即变换后的图像Ｙ的各分量之间的信息是相互独立的。

n

...

λ

0...

......λ1

0

... 0

0

λ2

... 0

...0协方差和数据冗余一维K-L变换一种可以去掉随机向量中各元素间相关性的线性变换。STEP1：定义协方差矩阵。,

fn

1N即fi都是随

量,f

的均值可统计N个样本向量估计。iNTCf

E

f

f

Ti1

f

f

TTi

iNi1N

E

f

1

ff

fN

i1

1

N

假设f

是一个N

1的随机向量集合f

f1

,f2

,f3

,其协方差矩阵定义为STEP2：求协方差矩阵的特征值和特征向量。i

iCf

i

式中i是特征值，相应的特征向STEP3：定义变换核矩阵和反变换。因此变换核矩阵为特征向量组成

1

2

n

正交化后为*，将*T

记作A。因此定义一维K

L变换为F

*T

f

A

f

反变换定义为

f

*

F

AT

F图像K-L变换fl

x,

y

f

x,

y

f1

x,

y

i,1Step2:采用行堆叠将每一个M

N大小样本表为向量iiijif

j,1f

fi,0

fi

j,0

f

f

j,

N

1

fi,M

1

思想：将二维图像采用行堆叠或列堆叠转换为一维处理。Step1：同一幅图象l次传送，形成图象集合其中元素f

Step4：定义二维K

-L变换。F

A

f

-u

f

1

MNe2

...

eA

eTf

f

f

-

f

-

1

LStep3：定义f

向量的协方差阵和相应变换核矩阵fi

if

fTf f

T

-

TMN

C

E

i1

显然Cf

阵是MN

MN维。令i和ei为C

f

阵的特征值和特征向