2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（原卷版）

【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．图4图5图6【典例分析】例1如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2)．点M(m,n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当S△MFQ∶S△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．例2如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点、和点，动点从原点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点从点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点、同时出发，当动点到达原点时，点、停止运动．直接写出抛物线的解析式：________；求的面积与点运动时间的函数解析式；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？当的面积最大时，在抛物线上是否存在点（点除外），使的面积等于的最大面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．例3如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．例4如图，．（1）求此二次函数的解析式；（2）x（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方．例5如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．例6如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1备用图

【变式训练】1．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（）A．2B．+1C．-1D．22．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．3．如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．4．如图，在中，，，，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，设的面积为运动时间为，则下列图象能反映y与x之间关系的是A．B．C．D．5．如图，在正方形中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为（秒），则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（）A．B．C.D．6．如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）①求与之间的函数关系式；②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？7．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。（1）求B点坐标；（2）设运动时间为t秒。①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积。③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动。在②的条件下，PM＋PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。8．如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；当移动几秒时，的面积为．设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）求该抛物线的解析式及点E的坐标；（2）若D点运动的时间为t，△CED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出△CED的面积的最大值．11．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结AC，若（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上有一动点P，当时，求出点的坐标；（3）如图2所示，连结，是线段上（不与、重合）的一个动点.过点作直线，交抛物线于点，连结、，设点的横坐标为．当t为何值时，的面积最大？最大面积为多少？12．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E是边AC上的一动点，点F是边BC上的一动点．（1）若AE=CF，试证明DE=DF；（2）在点E、点F的运动过程中，若DE⊥DF，试判断DE与DF是否一定相等？并加以说明．（3）在（2）的条件下，若AC=2，四边形ECFD的面积是一个定值吗？若不是，请说明理由，若是，请直接写出它的面积．13．如图，在中，已知，，，直线，动点D从点C开始以每秒2cm的速度运动到B点，动点Ｅ也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒1cm的速度运动．AAＢＤＣＥＭ（1）问运动多少秒时，，并说明理由．（2）设运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积．（3）运动多少秒时，与的面积比为3:1．14．在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．15．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，①若△POA的面积是△POB面积的倍．求点P的坐标；②当四边形AOBP的面积最大时，求点P的坐标；（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．16．（2015秋•随州期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（0，3）及C（3，0）点，动点D从原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点O时，点D、E停止运动．（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△DEF的面积最大？最大面积是多少？（3）当△DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其对称轴为．求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；若动点在第二象限内的抛物线上，动点在对称轴上．①当，且时，求此时点的坐标；②当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．求抛物线的解析式；如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标和面积的最大值？在的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．