八年级数学下册第一章三角形的证明121直角三角形新版北师大版课件

八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证明

学习新知检测反馈2直角三角形（第1课时）编辑ppt八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证11课堂讲解直角三角形中角的关系直角三角形中边角关系逆命题、逆定理2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标编辑ppt1课堂讲解直角三角形中角的关系2课时流程逐点课堂小结作业21知识点直角三角形中角的关系想一想(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？导入新课编辑ppt1知识点直角三角形中角的关系想一想导入新课编辑ppt3定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.感悟新知编辑ppt定理直角三角形的两个锐角互余.感悟新知编辑ppt4如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．例编辑ppt如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于5由题意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.∵AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.解：编辑ppt由题意可知，解：编辑ppt6总

结

三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半．编辑ppt总结三角形中一个角的平分线和过这个角71一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是(

)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形B随堂练习编辑ppt1一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定82小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(

)A．180°B．210°C．360°D．270°B编辑ppt2小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝92知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于

斜边的平方.ACB编辑ppt2知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直10反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.已知：如图(1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形编辑ppt反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我11证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,则A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.因此，△ABC是直角三角形.编辑ppt证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′，使编辑ppt12例A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(

)编辑ppt例A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝113导引：方法一：∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∴AB＝15.过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.∴CD2＝92－5.42＝51.84.∴CD＝7.2＝

，即点C到AB的距离为.编辑ppt导引：方法一：编辑ppt14方法二：过点C作CD⊥AB于点D，则S△ABC＝

AC·BC＝

AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，∴CD＝

，即点C到AB的距离为

.编辑ppt方法二：过点C作CD⊥AB于点D，编辑ppt15总

结应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．编辑ppt总结应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长161在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.因为∠A＝∠B＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形．所以AC＝BC＝3.所以解：随堂练习编辑ppt1在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长172已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC.如图，因为AD是BC边上的中线，所以BD＝

BC＝×10

＝5(cm)．解：编辑ppt2已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边18在△ABD中，因为AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，所以AB2＝AD2＋BD2.所以△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.编辑ppt在△ABD中，编辑ppt193如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(

)A．3B．6C．3D.A编辑ppt3如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼204“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(

)A．3B．4C．5D．6C编辑ppt4“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数215如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是(

)A．13B．26C．47D．94C编辑ppt5如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的226我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是________．25尺编辑ppt6我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周233知识点逆命题、逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.编辑ppt3知识点逆命题、逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的24（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.编辑ppt（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；编辑ppt251．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称

为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆

命题．2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么

它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理

的逆定理，这两个定理称为互逆定理．编辑ppt1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别2．如果一个定26例判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．编辑ppt例判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：导引：27解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命题是假命题．(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为

零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命题是真命题．编辑ppt解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有编辑pp28总

结写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了．编辑ppt总结写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结编辑ppt29总

结判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可；如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理．编辑ppt总结判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作编辑pp301说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.(1)逆命题：多边形是四边形．原命题真，逆命题假．(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．原命题真，

逆命题真．(3)逆命题：如果

a＝0，b＝0，那么ab＝0.原命题假，

逆命题真．解：随堂练习编辑ppt1说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：(1)逆命题：312下列说法正确的是(

)A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题D．真命题的逆命题是真命题B编辑ppt2下列说法正确的是()B编辑ppt323已知下列命题：①若>1，则a>b；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(

)A．1个B．2个C．3个D．4个A编辑ppt3已知下列命题：A编辑ppt33直角三角形角的关系：定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.1知识小结课堂小结编辑ppt直角三角形角的关系：1知识小结课堂小结编辑ppt34(2)勾股定理及其逆定理：勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.(3)互逆命题、互逆定理：编辑ppt(2)勾股定理及其逆定理：编辑ppt35一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(

)A．5B.C.D．5或易错点：考虑问题不全面而漏解2易错小结D编辑ppt一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为()易错36因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为.故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．编辑ppt因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨37八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证明

学习新知检测反馈2直角三角形（第1课时）编辑ppt八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证381课堂讲解直角三角形中角的关系直角三角形中边角关系逆命题、逆定理2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标编辑ppt1课堂讲解直角三角形中角的关系2课时流程逐点课堂小结作业391知识点直角三角形中角的关系想一想(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？导入新课编辑ppt1知识点直角三角形中角的关系想一想导入新课编辑ppt40定理直角三角形的两个锐角互余.定理有两个角互余的三角形是直角三角形.感悟新知编辑ppt定理直角三角形的两个锐角互余.感悟新知编辑ppt41如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．例编辑ppt如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于42由题意可知，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.∵AE为∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝40°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.解：编辑ppt由题意可知，解：编辑ppt43总

结

三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半．编辑ppt总结三角形中一个角的平分线和过这个角441一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是(

)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形B随堂练习编辑ppt1一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定452小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(

)A．180°B．210°C．360°D．270°B编辑ppt2小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝462知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于

斜边的平方.ACB编辑ppt2知识点直角三角形中边角关系勾股定理直角三角形两条直47反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.已知：如图(1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.求证：△ABC是直角三角形编辑ppt反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我48证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′

，使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,则A′B′

2＋A′C′2

＝B′C′2（勾股定理）.∵AB2＋AC2＝BC2

，∴BC2

＝B′C′2.∴BC＝B′C′.∴△ABC≌

△A′B′C′(SSS).∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.因此，△ABC是直角三角形.编辑ppt证明：如图(2)，作Rt△A′B′C′，使编辑ppt49例A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(

)编辑ppt例A如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝150导引：方法一：∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225.∴AB＝15.过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝122－(15－x)2.∴92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.∴CD2＝92－5.42＝51.84.∴CD＝7.2＝

，即点C到AB的距离为.编辑ppt导引：方法一：编辑ppt51方法二：过点C作CD⊥AB于点D，则S△ABC＝

AC·BC＝

AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，∴CD＝

，即点C到AB的距离为

.编辑ppt方法二：过点C作CD⊥AB于点D，编辑ppt52总

结应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．编辑ppt总结应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长531在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.因为∠A＝∠B＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形．所以AC＝BC＝3.所以解：随堂练习编辑ppt1在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长542已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC.如图，因为AD是BC边上的中线，所以BD＝

BC＝×10

＝5(cm)．解：编辑ppt2已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边55在△ABD中，因为AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，所以AB2＝AD2＋BD2.所以△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC.在Rt△ADC中，AC＝

＝13(cm)，所以AB＝AC.编辑ppt在△ABD中，编辑ppt563如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(

)A．3B．6C．3D.A编辑ppt3如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼574“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(

)A．3B．4C．5D．6C编辑ppt4“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数585如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是(

)A．13B．26C．47D．94C编辑ppt5如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的596我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是________．25尺编辑ppt6我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周603知识点逆命题、逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.编辑ppt3知识点逆命题、逆定理观察上面第一个定理和第二个定理，它们的61（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.编辑ppt（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；编辑ppt621．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称

为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆

命题．2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么

它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理

的逆定理，这两个定理称为互逆定理．编辑ppt1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别2．如果一个定63例判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．编辑ppt例判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：导引：64解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命题是假命题．(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为

零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命题是真命题．编辑ppt解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有编辑pp65总

结写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可以了．编辑ppt总结写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结编辑ppt66总

结判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一