上海市高境第一中学2023届高一上数学期末检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知，且，则的值为（）A. B.C. D.2．设函数的定义域，函数的定义域为，则（）A. B.C. D.3．下列直线中，倾斜角为45°的是（）A. B.C. D.4．已知，则A.2 B.7C. D.65．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃6．已知函数，，则的值域为（）A. B.C. D.7．若，则（）A. B.aC.2a D.4a8．已知，，函数的零点为c，则（）A.c＜a＜b B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.a＜b＜c9．已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（）A. B.C. D.10．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A. B.C. D.11．下列函数中与是同一函数的是（）（1）（2）（3）（4）（5）A.（1）（2） B.（2）（3）C.（2）（4） D.（3）（5）12．已知，则（）A. B.C. D.的取值范围是二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若，则=_________.14．函数的值域为_____________15．已知函数(，且)的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则__________.16．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数，函数的图像与的图像关于对称.（1）求的值；（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k取值范围；（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.18．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）设，已知，求的值.19．设为奇函数，为常数.（1）求的值（2）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的侧面积．21．袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.（1）写出样本空间；（2）求取出两球颜色不同的概率；（3）求取出两个球中至多一个黑球的概率.22．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】先通过诱导公式把转化成，再结合平方关系求解.【详解】，又，.故选：B.2、B【解析】求出两个函数的定义域后可求两者的交集.【详解】由得，由得，故，故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.3、C【解析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，对于A，直线斜率为，对于B，直线无斜率，对于C，直线斜率，对于D，直线斜率，故选：C4、A【解析】先由函数解析式求出，从而，由此能求出结果【详解】，，，故选A【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值5、B【解析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；故选：B6、A【解析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.【详解】由题意知，，由，得，又函数在上单调递增，在上单调递减，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，有，所以，故的值域为.故选：A7、A【解析】利用对数的运算可求解.【详解】，故选：A8、B【解析】由函数零点存在定理可得，又，，从而即可得答案.【详解】解：因为在上单调递减，且，，所以的零点所在区间为，即．又因为，，所以a＜c＜b故选：B.9、D【解析】根据题意，由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，又由函数在，单调递增且f(3)，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：D10、C【解析】由题意可得，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则可得到一个棱长为2的小正四面体，该小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心是重合的，所以小正四面体的中心到底面的距离是，正四面体的中心到底面的距离是，所以可知正四面体的高的最小值为，故选择C考点：几何体的体积11、C【解析】将5个函数的解析式化简后，根据相等函数的判定方法分析，即可得出结果.【详解】（1）与定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；（2）与的定义域相同，对应关系一致，是同一函数；（3）与定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；（4）与定义相同，对应关系一致，是同一函数；（5）与对应关系不同，不是同一函数；故选：C.12、B【解析】取判断A；由不等式的性质判断BC；由基本不等式判断D.【详解】当时，不成立，A错误．因为，所以，，B正确，C错误．当，时，，当且仅当时，等号成立，而，D错误故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】分析和的关系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.【详解】∵，∴.故答案为：.14、【解析】利用二倍角余弦公式可得令，结合二次函数的图象与性质得到结果.【详解】由题意得：令，则∵在上单调递减，∴的值域为：故答案为：【点睛】本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域．着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题15、【解析】先求出定点的坐标，再代入幂函数，即可求出解析式.【详解】令可得，此时，所以函数(，且)的图象恒过定点，设幂函数，则，解得，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出，设幂函数，代入即可求得，.16、【解析】首先根据函数的解析式确定，再利用换元法将函数在区间上有两个不同的零点的问题，转化为方程区间上有两个不同根的问题，由此列出不等式组解得答案.【详解】函数在区间上有两个不同的零点，则，故由可知：，当时，，显然不符合题意，故，又函数在区间上有两个不同的零点，等价于在区间上有两个不同的根，设，则函数在区间上有两个不同的根，等价于在区间上有两个不同的根，由得，要使区间上有两个不同的根，需满足a2-5a+1>06a故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）（2）或（3）存在，【解析】（1）由题意，将代入可得答案.（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.【小问1详解】由题意，，所以【小问2详解】由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设，作出函数在上的图像（如下图），，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k的取值范围是或【小问3详解】记，其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，若存在实数m，使得的值域为，则，即a，b是方程的两个不等正根，即a，b是的两个不等正根，所以解得，所以实数m的取值范围是.【点睛】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）利用代入法，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】，当时，函数单调递增，即，所以函数的单调递增区间为；【小问2详解】由，因为，所以，而，所以，于是有，19、（1）；（2）.【解析】（1）根据函数为奇函数求参数值，注意验证是否符合题设.（2）将问题转化为在上恒成立，根据解析式判断的区间单调性，即可求的范围.小问1详解】由题设，，∴，即，故，当时，，不成立，舍去；当时，，验证满足.综上：.【小问2详解】由，即，又为增函数，由（1）所得解析式知：上递增，∴在单调递增-故，故.20、（1）；（2）【解析】（1）根据四棱锥的体积得PA=，进而得正视图的面积；（2）过A作AE∥CD交BC于E，连接PE，确定四个侧面积面积S△PAB，S△PAD，S△PCD，S△PBC求和即可.试题解析：(1)如图所示四棱锥P－ABCD的高为PA，底面积为S＝·CD＝×1＝∴四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，∴PA=∴正视图的面积为S＝×2×＝.(2)如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连接PE.根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝.∴四棱锥P－ABCD的侧面积为S＝S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC＝··+··1+·1·+·2·=.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.21、（1）答案见解析；（2）；（3）.【解析】（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率【小问1详解】将1个红球记为个白球记为个黑球记为，则样本空间，共15个样本点.【小问2详解】记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红