课件解决思路利用两个函数乘积求导法则

4.5

分部积分法1

xe

xdx

uv

(uv)

uv

x

arcsin

xdx

特点被积函数是两个不同函数的乘积

解决思路

利用两个函数乘积的求导法则.设函数u

u(x)及v

v(x)具有连续导数.2(uv)

uv

uv

uvdx

uv

uvdx

udv

uv

vdu分部积分公式两边积分

x

ln

xdx

3

udv

uv

vdu

分部积分公式

uvdx

uv

uvdx恰当选取v是一个关键,一般原则是:v要易求;

vdu

uvdx

易求.

udv

uv

vdu例求积分

x

cos

xdx

.选择不当，积分更难进行.解（二）x2解（一）

x

cos

xdx

cos

xd

22

2

2

2显然，v42

2

2

2

x

cos

x

x

dcos

x

x

cos

x

x

sin

xdxv

x

cos

xdx

xdsin

xv

x

sin

x

sin

xdx

x

sin

x

cos

x

C

.

udv

uv

vdu求积分

x2exdx.解

x2exdx

x2dex

2

xexdx

x2ex

exdx2

x2ex

x2ex

2

xdex

x2ex

2(

xex

exdx)

x2ex

2(

xe

x

ex

)

C.v5例求积分

x

arctan

xdx.解122x2

arctan

x

x2

x2d(arctan

x)2

x

arctan

x

1

dx2

2 1

x2221

12 1

x(1

)dxarctan

x

2

x122(

x

arctan

x)

C

.arctan

x

2

x2

x

arctan

xdx

1

arctan

xdx2v6求积分

x3

ln

xdx.解4

4

1

x4

ln

x

1

x4d

ln

x

1

x4

ln

x

1

x4

C

.4

164

x3

ln

xdx

1

ln

xdx4

1

x4

ln

x

1

x3dx4

47按“指三幂”的顺序.指:

指数函数三:

三角函数幂:

幂函数8例求积分

arcsin

xdx.解

x

arcsin

x

xd(arcsin

x)

x

dx

x

arcsin

x

12

x

arcsin

x

1

x

2

(1

x2

)

2

d(1

x2

)

11

x2

C.

x

arcsin

x

dv9v

1v

x1

arcsin

xdx求

x

tan2

xdx解

x

tan2

xdx

x(sec2

x

1)dx2

x

tan

x

ln

cos

x

Cx2

x

sec2

xdx

xdxv

xdtan

x

xdx

x

tan

x

tan

xdx

xdx10求积分

x

arctan

x

dx.1

x2解,x1

x2

1

x2

x

arctan

x

dx

arctan

xd 1

x21

x2

d(arctan

x)1

x2

1

x2

arctan

x

dx11

x21

x2

1

x2

arctan

x

11dx11

x

2

1

x2

arctan

x

令x

tan

t

1

x2

arctan

x

ln

x

1

x2

C.dx11

x21

x2

1

x2

arctan

x

dx

ln(

x

x2

a2

)

C1x2

a212例求积分

ex

sin

xdx.解1

ex

sin

xdx

sin

xdex

ex

sin

x

exd(sin

x)

ex

sin

x

ex

cos

xdx

ex

sin

x

cos

xdex

ex

sin

x

(ex

cos

x

exdcos

x)

ex

(sin

x

cos

x)

ex

sin

xdx213x

ex

sin

xdx

e

(sin

x

cos

x)

C

.注意循环形式例求积分

ex

sin

xdx.解2

ex

sin

xdx

exdcos

x

ex

cos

x

cos

xdex

ex

cos

x

ex

cos

xdx

ex

cos

x

exdsin

x

ex

cos

x

(ex

sin

x

sin

xdex

)

ex

sin

xdx

ex

(sin

x

cos

x)

(sin

x

cos

x)

C

.214x

ex

sin

xdx

e注意循环形式求

sin(ln

x)dx.解

sin(ln

x)dx

x

sin(ln

x)

xd[sin(ln

x)]1

sin(ln

x)dx

x[sin(ln

x)

cos(ln

x)]

sin(ln

x)dx

x

[sin(ln

x)

cos(ln

x)]

C2dv

x

sin(ln

x)

x

cos(ln

x)

x

dx

x

sin(ln

x)

cos(ln

x)dx

x

sin(ln

x)

x

cos(ln

x)

xd[cos(ln

x)]15解1162

2x2e

x

C.2

e

x

C

C2

x(2

xe

x

)

e

x22

2f

(

x)

(e

x

)

2

xe

x

,解2

xf

(

x)dx

xdf

(

x)

xf

(

x)

f

(

x)dx

x(e

x

2

)

e

x

22例

已知

f

(

x)的一个原函数是

e

x

,求

xf

(x)dxIn

sin

xdx

sin

xdcosxn

n1

cos

x

sinn1

x

(n

1)

cos2

x

sinn2

xdx

cos

x

sinn1

x

(n

1)

(1

sin2

x)sinn2

xdx

cos

x

sinn1

x

(n

1)I

(n

1)In2

nn217nn

n

I

1

cos

x

sinn1

x

n

1

I例利用分部积分法可以得到一些递推公式:递推型如

cosn

xdx,

tann18cn2

xdtanxIn

sec

xdx

nIn

tan

xdx

tan

x(sec

x

n

n2

2

tann2

xdtanx

In2cn

xd

cscn

xdx定积分的分部积分公式则19ab

baba

vduudv

uv定积分的分部积分公式设u(x),v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,例

计算120arcsin

xdx.解120arcsin

xdx120120xd

arcsin

x2

61

120

1

x212

2

3

1

120

x

arcsin

x

20

x

arcsin

x12021

xxdx例

计算解.041

cos2xxdx04

xdx

1

cos2x04

xdx

2cos2

xx

d

tan

x2041240x

tan

xtan

xdx20

1404

18

2

ln

cos

x

ln

2

.8

421解01

ln(1

x)

dx10

ln

21031ln(1

x)

ln(2

x)

ln

2

3

1

ln

2原式=(2

x)2ln(1

x)

d2

x12

xln(1

x)10dx1

110

2

x

1

x1dx

10

1

x

2

x

11322例解dt,tx2

sint设f

(x)

110xf

(

x)dx.求102dx10221

[

x f

(

x)]10212x

df

(

x)12f

(1)10212x

f

(

x)dx注意被积函数中含有“积分上限的函数”时用,分部积分法做.vxf

(

x)dx

10f

(

x)1221xdttsin

tf

(

x)

11

f

(1)

0x2sin

x2f

(

x)

x232

2sin

x

2

x

10122

x

sin

x2dx

102

212sin

x

dx02

2

1

cos

x2

1

1

(cos1

1).12f

(1)0

121x2

f

(

x)dx10xf

(

x)dx

xf

(1)

02sin

x2f

(

x)

24解10xf

(2x)dx

1012xdf

(2

x)

1012xf

(2x)

1

5

1

f

(2)

f

(0)

2.2

402

11f

(2

x)dx0xf

(2

x)dx.f

(2)

3,f

(2)

5,求设f

(x)在[0,1]上连续,且f

(0)

1,102f

(2)

2

2

1

f

(2

x)

12526例

证明定积分公式00In

2sin

xdx

2

cos

xdxn

n

0022f

(cos

x)dxf

(sin

x)dx

n为大于1的正奇数4

2

23

1

,

n为正偶数

n n

2n

1

n

35

34

21,

n

2

nn

1

n

3

00

sin2x

cos

x

2

cos

xdsinn1

xn102I

nnsin

xdx

02sin

xdcos

xn102n2

0

(n

1)20sin

x

cos

xdx271

sin2

xn2nn

n

1

II积分I

关于下标的递推公式n

3In2

n

2

In402sin

xdxI

nnnsin

xdx0(n

1)2

(n

1)

In2

(n

1)

In002dx

012sin

xdx

I

因为

I

,2nn换成n

2直到下标减到0或1为止sin

x

cos

xdx02n2

(n

1)2nsin

xdx

I

(n

1)0n22

1,20[

cos

x]n2nn

n

1

II

n4n n

2

n

1

n

3

I0n n

2

4

2n

n

2 4 2 2

n

1

n

3

3

1

I

n

1

n

3

3

1

n2nn

n

1

II

n4n n

2

n

1

n

3

I1n

n

2

5

3n n

2

5

3

n

1

n

3

4

2

I

n

1

n

3

4

2

1n2nn

n

1

IIn4n2n

2

n

3

I,

I所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,2829例sin

xdx

cos

xdx

010010222002I

sin

xdx

cos

xdxnnn.注上公式在计算其它积分时可以直接4

25

3

17

58

6

42

23 1

n

为大于1的正奇数n

为正偶数n n

2

n

1

n

3

4

2n n

2

4

2

2

1,5

3

n

1

n

3

3

1