一元二次方程综合提高

一、考点突熟练掌握一元二次方程的解法、根的判别式及根与系数的关系（定理熟练运用根的判别式和根与系数的关系（定理）解决综合性的相关问题二、重难点提熟练运用根的判别式和定理解决综合性的相关问题一、知识结

已知方程，求含有两根的代数式已知方程一个根、不解方程，求另一个一元二次方程根已知方程两根特征，求字母系数的取值范已知含两根的代数式的值，探究满足条件的字母系数的存在与不等式、函数知识结合，证明不等关二、解题策略与方 根的判别式和定理—元二次方程ax2bxc0（a,bc是常数，且a0）的根的判别式是b24ac当0当0当0时，方程没有实数根；ax2bxc0x，x xxbxxc 定理，这是因为该定理是16世纪最杰出的数学家发现的根的判别式和定理的应结合根的判别式，根的符号特征能力提升例1 若k为正整数，且关于x的方程(k21)x26(3k1)x720有两个不相等的正整数根，求k的值．一点通：由根的判别式列出关于k的不等式或者求出方程的解来解：原方程变形、因式分解为(k1)(k1)x26(3k1)x720[(k1)x12][(k1)x6]0x1

k

，

k由k6由k

k2,347所以k23x1x2k3x1x23，与题目不符，所以，只有k2为所求．例2 求k的值，使得两个一元二次方程x2kx10，x2x(k2)0有相同的一点通：不妨设出相同的根，代入求解解：不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义a2ka10，a2a(k2)0．ka1ak20，即(k1)(a10，k1a1。当k1x2x10

152当a1k0x210，x2x20解这两个方程，x210x1x1x2x20

1 x42x1综合运用例 设一元二次方程x22ax6a0的根分别满足下列条件，⑴两根均大于⑵一根大于1，另一根小于1。试求实数a的范围一点通x1，x21x11x2111x11x21解x1x2x1x22ax1x26a14a24(6a)(x11)(x21)2a2(x1)(x1)6a(2a)1 7a114a24(6a)(x11)(x21)6a(2a)1a例 求正整数n，使4n25n为完全平方数一点通：n为正整数4n25nn的一元二次方程，解：设4n25nk2（k0，且k为整数（n为正整数∴方程4n25nk20的根的判别式2516k2应为完全平方数。又设2516k2m2（m为非负整数）∴(m4k)(m4k)mkm4k∴m4km4k

m4k或m4km

m4k或m4k解m4km4k解m4km4k

得km得km

解m4k

得k

∴n思维拓展例 已知实数x、y、z满足x6y，z2xy9，求证：xy一点通：xy6xyz29，联证明xy6xyz29xy是二次方程t26tz290两个实根，于是这方程的判别式364(z29)4z20z20zz20z0，从而0，故上述关于t的二次方程xy．例6 设a，b，c为ABC的三边，且二次三项式x22axb2与x22cxb2有一次公因式，证明：ABC一定是直角三角形．一点通：x22axb2x22cxb2x的二次三项式，且证明x22axb200x22cxb20必有公共根，设公共根为 ，0 x22axx2

b20，b20 2x22(a

0x0[x0(ac)]x00，代入①式得b0，这与b为ABCx0(acx0(ac代入①式得(ac)2a(acb0 a2b2所以ABC一定是直角三角形ax2bxc

(a

有整数解的前提是b24ac个完全平方数，①根据判别式b24ac，设b24ac

（m为整数，xxa a性质，分 求解；②根 定理

x1x2x1x2xx关系式求解

1 x2x2(xx)22x 1(xx)24x 1x(xx)24x 1 1

x1x3x3(xx)33xx(xx 1 ax2bxc

xabc0x1，xcx1，xc abc0abc0x1xcx1 xcabc0 ax2bxc①有两个正数根，必须x1x2

(a0)两个实数根的符号 ；xx ②有两个负数根，必须x1x2 xx ③有两个异号根，必须xx01④有两个异号根，且正数根绝对值大，必须x1x2 xx ⑤有两个异号根，且负数根绝对值大，必须x1x2 xx 则b0aax2bxc0m

x1m0

x2m0x

(x1m)(x2m0，(x1mx2m0，联立方程来解决；也可以利用换元的方法，把方程ax2bxc0a0转化成aym)2bymc0yxm来解决。（答题时间：45分钟x的一元二次方程x2x3m0m m

m

m

m关于x的一元二次方程(2a1)x2(a1)x10的两个根相等，那么a等于 A.1或 B.－1或 C.1或 D.－1或若关于x的方程x22xk0有实数根，则 A. B.k C.k D.k设x1、

是关于x的方程x2m1)xm0（m0）1＋ x20m3已知首项系数不相等的两个方程(a1)x2a22)xa22a)0(b1)x2(b22)xb22b0②（a、b为正整数）有一个公共根.求a、b的xx22px10的两个实数根一个大于1，另一个小于1p的取值范围x35x24k)xk0的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，求k的值。C12413m∴m故选A解a1)24(2a1a22a18aa26aa26a5∴a11，a2故选B2241k4kk故选x1x2m1，x1x21

3x1x2x1x2

3m1 ∴m1

，3m3 aa2；方程②的两个根是bb2aa1、b1abab2或ba2

bb aabab2abab13∵a、b都是正整数 ∴a1b1

(a1)(b1)a1 b1ab

a b又解：设公共根为x0，那(a1)x2(a22)x(a22a) (b1)x0(b2)x0(b2b)0[(a22)(b1)(b22)(a1)]x(a22a)(b1)(b22b)(a1)0整理得(ab)(abab2)(x01∵ax01abab2x01a1，∴a10∴方程①不是二次方程x0不是公共根abab20时，得(a1)(b1x1，x22x2－9x＋8=0的两根，则解法同上xx9 x1x2x1x22px1x2111的条件为(x11)(x21所以x1x2(x1x21所以2p2px