辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（含答案解析）

第17页/共17页2022-2023学年度上学期高二年级四校期中联考试题数学试卷命题人：李媛媛一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A.120° B.60° C.30° D.150°【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系求倾斜角即可.【详解】设倾斜角为，由直线方程得斜率，即，因为，所以.故选：C.2.椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先化成椭圆的标准方程，再根据求解即可．【详解】解：由得，，，∴焦点坐标为，．故选：C．3.圆和圆的公切线条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数.【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.圆心距为，由于，即，所以，两圆相交，公切线的条数为，故选B.【点睛】本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置的关系如下：①两圆相离条公切线；②两圆外切条公切线；③两圆相交条公切线；④两圆内切条公切线；⑤两圆内含没有公切线.4.已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．5.已知直线，.当时，的值为（）A.1 B. C.或1 D.【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行的充要条件即得.【详解】由直线，，∴，得.故选：B.6.圆上恰有两点到直线的距离为，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心以及半径，进而可得求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得，变形可得：，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆即圆，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，若圆上恰有两点到直线的距离为，则有，即，变形可得：，解可得：或，又由，则，即的取值范围为；故选：．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把直线与双曲线方程联立消去，利用和联立，即可求得的范围.【详解】联立方程组，整理得，设方程的两根为，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，则满足，解得，又由，解得,所以的取值范围是.故选：D.8.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合即可求解出a、b，进而求出面积.【详解】设，，则有，两式作差得：，即，弦中点坐标为，则，又∵，∴，∴，又∵，∴可解得，，故椭圆的面积为.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知曲线C的方程为，则（）A.曲线C可以表示圆 B.曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【答案】CD【解析】【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可.【详解】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确；若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确.故选：CD10.直线与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（）A. B. C.1 D.【答案】AC【解析】【分析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b的取值范围即可解题.【详解】解：曲线，整理得，，画出直线与曲线的图象，如图，直线与曲线恰有一个交点，则故选：AC.【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.11.已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（）A.的周长为B.当时，的边C.当时，的面积为D.椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求得，进而求得，；根据，可求得；根据余弦定理可求得，进而求得面积；根据为直角三角形分情况求得满足题意的点P的个数即可．【详解】解：由易得，∴的周长为，故A对；令得，，故B错；设，由余弦定理得，，，∴，故C对；当，由选项B的分析知满足题意的点P有2个；同理当，满足的点P也有2个；当，有，解得，所以满足题意的点P为椭圆的上下两顶点，综上满足的点P共6个，故D对．故选：ACD．12.已知双曲线：的左右顶点分别为、，圆：，点在双曲线上，过点做圆的切线，切点分别为、．若四边形面积为，且这样的点有四个，则的值可能为（）A.1 B. C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】根据四边形面积为可求得，结合这样的点有四个可求得．【详解】解：由四边形面积为得，解得，，由双曲线的对称性知要这样的点P有四个，只要第一象限存在一个，则其它三个象限必各存在一个，又双曲线上到原点距离最小的点为左右顶点，当时，这样的点P只有两个，．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，若，则实数的值为____.【答案】2【解析】【分析】由向量垂直知向量的数量积为零，建立方程可得解.【详解】因，所以，，，解得故答案为:2.14.过点作圆的切线方程是__________．【答案】【解析】【分析】分析可知点在圆上，求出直线的斜率，可得出所求切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则点在圆上，且圆心为，直线的斜率为，故所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即.故答案为：.15.已知椭圆的焦距是2，则____________________【答案】5或3【解析】【分析】分焦点在轴和轴两种情况求即可.【详解】设焦距为，则，当焦点在轴时，，当焦点在轴时，.故答案为：5或3.16.在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______.【答案】①.②.【解析】【分析】先根据在椭圆内部得到的取值范围，再求出的取值范围，根据得到关于的不等式组，两者结合可求的取值范围，当取得最大值时，可根据公式计算其离心率.【详解】因为点是椭圆内一点，故，由可得.为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则，而，当且仅当三点共线时等号成立，故，所以，所以，故.的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为，故分别填：，.【点睛】点与椭圆的位置关系可通过与的大小关系来判断，若，则在椭圆的内部；若，则在椭圆上；若，则在椭圆的外部．椭圆中与一个焦点有关的线段和、差的最值问题，可以利用定义转化到另一个焦点来考虑．四、解答题：本题共6小题，共70分．17.（1）已知的三个顶点分别为，，，求的外接圆的方程．（2）已知点在圆：外，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据三点确定一个圆，把三点坐标代入圆一般式列方程求解即可；（2）根据圆的一般式条件及点在圆外分别建立m的不等式，解之即可求得．【详解】（1）解：设的外接圆的方程为，由，解得，故的外接圆的方程为．（2）解：若方程表示圆，则，解得，根据点在圆外，可得，则，．18.一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．（1）与直线垂直；（2）交轴、轴的正半轴于A，两点，且使取得最小值的直线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据待定系数法把代入求解即可；（2）先求得，再根据基本不等式取等条件求得斜率．【小问1详解】解：设与直线垂直的直线方程为，将带入可得，∴与直线垂直的直线方程为．【小问2详解】解：设直线方程为，．时，．时，．，当时取等号，所以使取得最小值的直线方程为．19.如图，在四面体中，，，两两垂直，，，分别为棱，的中点．求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)因为，，两两垂直，所以以为原点建立空间直角坐标系，求出的坐标，代入公式即可；(2)求出平面的法向量，找平面内的点和点相连，然后代入公式即可求解.【小问1详解】如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．【小问2详解】设平面的法向量为，由，，得，所以，所以是平面的一个法向量．因为平面，，所以点到平面的距离．20.在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知倾斜角为的直线经过点，且与曲线交于两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的概念可知曲线为双曲线的一支，进而根据已知数据可求双曲线的方程；（2）由（1）知：，即直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理､弦长公式及三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】由题意可知：，得，所以点的轨迹即的方程为以点为焦点，实轴为，虚轴为2的双曲线的右支，即.【小问2详解】由（1）知：，即直线的方程为.设，联立，得，满足且，由弦长公式得：，点到直线的距离，所以.21.如图，在四棱锥中，平面平面，．（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件及面面、线面垂直的性质可得，，再由线面垂直的判定可证平面.（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角求得PB的值，由平面的法向量求得二面角的正切值.【小问1详解】在四边形中，，所以△，△都为等腰直角三角形，即，又平面PBC平面，平面平面所以直线平面，又平面所以，又，所以平面.【小问2详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，由因为直线与底面所成的角的正切值为，由面知：为直线与底面所成角的平面角，所以在中，，则，设平面PBC和平面PDC法向量分为易知可取因为，所以，令，解得，若锐二面角为则，故22.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，