高等数学函数的凹凸性与拐点第3节课1课件

曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法一、曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?凹（上凹）凸（下凹）一、曲线的凹凸性问题:定义

如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）；

如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）.定义如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线x1x2xyo12凹（上凹）x1x2xyo12凹（上凹）凸（下凹）xyo12x2x1凸（下凹）xyo12x2x1定理2.12定理2.12例1例1解解例2例2例2解注意到,例2解注意到,例3例3例3解例3解定义：

连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。定义：说明：拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数f(x)由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数f

"(x)一定等于零或者不存在.说明：的凹凸性.例4.判断函数的凹凸性.例4.判断函数解:故曲线在上是凹的.说明:

若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变..解:故曲线在上是凹的.说明:若在某点二阶导数判定曲线y=f(x)的凹凸及拐点的步骤：1、确定函数的定义域；2、求出函数的二阶导函数f(x)；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点；3、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，并写出凹凸区间和拐点坐标。判定曲线y=f(x)的凹凸及拐点的步骤：1、确定函数的定例5.例5.解拐点凸凹凹非拐点不存在解拐点凸凹凹非拐点不存在例6例6例6解凹的凸的凹的拐点拐点例6解凹的凸的凹的拐点拐点内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上思考题1.思考题1.2.

2.

.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

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;.曲线的凹区练习题练习题练习题答案练习题答案曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法一、曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?凹（上凹）凸（下凹）一、曲线的凹凸性问题:定义

如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）；

如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）.定义如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线x1x2xyo12凹（上凹）x1x2xyo12凹（上凹）凸（下凹）xyo12x2x1凸（下凹）xyo12x2x1定理2.12定理2.12例1例1解解例2例2例2解注意到,例2解注意到,例3例3例3解例3解定义：

连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。定义：说明：拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数f(x)由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数f

"(x)一定等于零或者不存在.说明：的凹凸性.例4.判断函数的凹凸性.例4.判断函数解:故曲线在上是凹的.说明:

若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变..解:故曲线在上是凹的.说明:若在某点二阶导数判定曲线y=f(x)的凹凸及拐点的步骤：1、确定函数的定义域；2、求出函数的二阶导函数f(x)；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点；3、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，并写出凹凸区间和拐点坐标。判定曲线y=f(x)的凹凸及拐点的步骤：1、确定函数的定例5.例5.解拐点凸凹凹非拐点不存在解拐点凸凹凹非拐点不存在例6例6例6解凹的凸的凹的拐点拐点例6解凹的凸的凹的拐点拐点内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上思考题1.思考题1.2.

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.曲线的凹区间是凸区间