习题1 抛物线的几何性质

抛物线的几何性质一、选择题1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A.(6，＋∞) B.[6，＋∞)C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为eq\f(p,2)，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．答案：D2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无穷多条 D．不存在解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案：B3．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A.2eq\r(2) B.4C.eq\r(2) D.eq\f(3\r(2),2)＋1解析：本题主要考查抛物线的性质的应用．将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为eq\f(|1＋0＋3|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，故选A.答案：A4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±2eq\r(2)) B．(1，±2)C．(1,2) D．(2,2eq\r(2))解析：F(1,0)，设A(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－eq\f(y\o\al(2,0),4)，－y0)，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－4得到y0＝±2.∴A(1，±2)．答案：B二、填空题5．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为__________．解析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线的方程为x2＝±16y.答案：x2＝±16y6．抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是__________．解析：把直线2x－y－4＝0平移至与抛物线y＝x2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x－y＋b＝0，联立y＝x2，得x2－2x－b＝0，由题意得Δ＝4＋4b＝0，b＝－1.即x2－2x＋1＝0，解x＝1，y＝1.答案：(1,1)7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝eq\f(\r(3),3)p，∴B点坐标为(eq\f(\r(3),3)p，－eq\f(p,2))．又点B在双曲线上，故eq\f(\f(1,3)p2,3)－eq\f(\f(p2,4),3)＝1，解得p＝6.答案：6三、解答题8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，－eq\f(p,2))，∵|AF|＝3，∴y0＋eq\f(p,2)＝3，∵|AM|＝eq\r(17)，∴xeq\o\al(2,0)＋(y0＋eq\f(p,2))2＝17，∴xeq\o\al(2,0)＝8代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2p(3－eq\f(p,2))，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.准线方程为y＝－1或y＝－2.9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于eq\f(\r(5),5).若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝－2x＋t，))得y2＋2y－2t＝0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直线OA与直线l的距离等于eq\f(\r(5),5)可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∴t＝±1，由于－1∉eq